||<tablealign=center><tablewidth=100%><tablebordercolor=#000000><tablebgcolor=#FFFFFF,#191919> {{{#!wiki style="margin: -5px -10px; padding: 7px 10px; background-image: linear-gradient(to right, #C60C30 20%, #003478)" {{{#FFFFFF '''신발끈 공식 관련 틀'''}}}}}} || || {{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ] [include(틀:기하학·위상수학)] [include(틀:선형대수학)] [include(틀:다각형)] }}} || [목차] == 개요 == {{{+1 shoelace formula}}} [[좌표평면]] 상 점의 좌표를 이용하여 볼록 및 오목 다각형의 넓이를 계산하는 공식으로, [math(n)]각형의 각 꼭짓점을 시계 반대 방향 순서대로 [math({\rm P_{1}}(x_{1},\,y_{1}))], [math({\rm P_{2}}(x_{2},\,y_{2}))], [math({\rm P_{3}}(x_{3},\,y_{3}))], [math(\cdots)], [math({\rm P}_{n}(x_{n},\,y_{n}))]이라 할 때, 그 넓이는 아래와 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \frac{1}{2} \begin{vmatrix} x_{1}~ &x_{2}~ &x_{3}~&\cdots~&x_{n}~&x_{1} \\ y_{1}~ &y_{2}~ &y_{3}~&\cdots~&y_{n}~&y_{1} \end{vmatrix} )] }}} 신발끈 공식은 1769년에 마이스터 알베르트 루드비히 프레드리히(Meister Albrecht Ludwig Friedrich, 1724~1788)가 발견했으며, 1795년에 [[카를 프리드리히 가우스]](Carl Friedrich Gauss, 1777~1855) 또한 독자적으로 발견하였다. == 계산법 == [[파일:namu-신발끈공식_계산법.svg|width=240&align=center]] 위 그림과 같이 한 적색 화살표가 지나는 원소들의 곱의 합에서 한 청색 화살표가 지나는 원소들의 곱의 합을 빼어 [[절댓값]]을 취하면 된다. 즉, ||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:> [math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{1}{2} \begin{vmatrix} x_{1}~ &x_{2}~ &x_{3}~&\cdots~&x_{n}~&x_{1} \\ y_{1}~ &y_{2}~ &y_{3}~&\cdots~&y_{n}~&y_{1} \end{vmatrix} =\frac{1}{2}|(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+\cdots+x_{n-1}y_{n}+x_{n}y_{1})-(x_{2}y_{1}+x_{3}y_{2}+\cdots+x_{n}y_{n-1}+x_{1}y_{n})| \end{aligned} )] || 어디선가 많이 본 형태라면 정답이다. 이 식은 다름아닌 '''[[외적]]'''[* [[외적#s-3|Outer product([math(\otimes)])]]가 아닌 Cross product([math(\times)])임에 주의. 이는 Outer product와 Cross product를 똑같이 '외적'으로 옮겼기 때문.]으로, [math(x_{1})], [math(x_{2})], [math(\cdots)]를 [[벡터]] [math(\bold x)]로, [math(y_{1})], [math(y_{2})], [math(\cdots)]를 벡터 [math(\bold y)]로 합치면 아래와 같이 된다.[* 이 문서에서는 일반론적인 벡터는 [[볼드체]]([math(\bold x)]), 기하학적인 의미로 쓰인 벡터는 [[화살표]]([math(\overrightarrow{\rm AB})])로 표기한다.] {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\dfrac{1}{2}|{\bold x}\times{\bold y} |)]}}} 특히 [[삼각형]]에 대한 신발끈 공식을 많이 사용하게 되는데 이는 아래와 같다. ||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:> [math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{1}{2} \begin{vmatrix} x_{1}~ &x_{2}~ &x_{3}~ &x_{1} \\ y_{1}~ &y_{2}~ &y_{3}~ &y_{1} \end{vmatrix} =\frac{1}{2}|(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{1})-(x_{2}y_{1}+x_{3}y_{2}+x_{1}y_{3})| \end{aligned} )] || == 주의점 == * 각 변이 교차하는 다각형의 경우에는 사용할 수 없다. * 한 점을 [math({\rm P_{1}})]으로 잡고, 해당 점부터 시계 방향 또는 반시계 방향으로 [math({\rm P_{2}})], [math({\rm P_{3}})], [math(\cdots)], [math({\rm P}_{n})]을 정해주어야 한다. 아래의 그림은 육각형을 예로 든 것이다. [br][[파일:namu-신발끈공식_점배치법.svg|width=180&align=center&bgcolor=#ffffff]] == 유도 == 우선 이 공식을 유도하기 전 꼭짓점이 [math({\rm A}(x_{1},\,y_{1}))], [math({\rm B}(x_{2},\,y_{2}))], [math({\rm C}(x_{3},\,y_{3}))]인 삼각형의 넓이를 구하는 방법을 고찰해볼 필요가 있다. [math({\rm A}(x_{1},\,y_{1}))]를 시점으로 하는 두 벡터 [math(\overrightarrow{\rm AB})], [math(\overrightarrow{\rm AC})]의 [[외적]]의 크기의 절반이 해당 삼각형의 넓이가 된다. 즉, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \triangle {\rm ABC}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{\rm AB} \times \overrightarrow{\rm AC} | )] }}} [[파일:namu-신발끈공식_유도.svg|width=150&align=center&bgcolor=#ffffff]] 위의 정보를 이용하여 다각형 [math({\rm P}_{1}{\rm P}_{2}{\rm P}_{3} \cdots {\rm P}_{n})]의 넓이 [math(S)]는 육각형을 예시로 든 위 그림과 같이 점 [math(\rm P_{1})]을 기준으로 잡아 해당 다각형을 삼각형 [math({\rm P_{1}}{\rm P}_{k-1}{\rm P}_{k} \, (k \geq 3, \,k \in \mathbb{Z}))]으로 모두 분할한 후 해당 삼각형의 넓이를 모두 합한 값이다. 다만, 분할된 영역의 넓이는 전체 넓이에 대하여 양의 기여를 하기도 하고, 음의 기여(위 그림에서 [math(\triangle \rm{P_{1}P_{3}P_{4}})])를 하기도 한다. 따라서 분할된 영역의 넓이를 구할 때는 절댓값을 취하지 않는다. 즉, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle [\triangle {\rm P_{1}}{\rm P}_{k-1}{\rm P}_{k}]=\frac{1}{2}\overrightarrow{ {\rm P_{1}}{\rm P}_{k-1}} \times \overrightarrow{{\rm P_{1}}{\rm P}_{k}} )] }}} 대괄호를 씌운 것은 일반적으로 넓이 구하는 법과 차이가 있음을 강조하기 위함이다. 따라서 이것을 모두 합한 뒤 절댓값을 취하면 [math(S)]가 된다. 이때, 점을 반시계 방향으로 명명하였고, 벡터의 외적 연산을 사용하기 때문에 오목한 영역과 볼록한 영역의 경우의 넓이는 서로 다른 부호의 기여를 한다. 이에 기여분에 대한 부호는 자동적으로 계산되므로 신경쓰지 않아도 된다. ||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:> [math(\displaystyle \begin{aligned} S&= \left| \sum_{k=3}^{n}[\triangle {\rm P_{1}}{\rm P}_{k-1}{\rm P}_{k}] \right| \\&=\frac{1}{2} \left| \sum_{k=3}^{n} \overrightarrow{ {\rm P_{1}}{\rm P}_{k-1}} \times \overrightarrow{{\rm P_{1}}{\rm P}_{k}}\right| \\&=\frac{1}{2} \left| \sum_{k=3}^{n} (\overrightarrow{ {\rm O}{\rm P}_{k-1}}-\overrightarrow{ {\rm O}{\rm P}_{1}}) \times (\overrightarrow{ {\rm O}{\rm P}_{k}}-\overrightarrow{ {\rm O}{\rm P}_{1}})\right| \\&=\frac{1}{2} \left| \sum_{k=3}^{n} \overrightarrow{ {\rm O}{\rm P}_{k-1}} \times \overrightarrow{ {\rm O}{\rm P}_{k}}+\left\{ \overrightarrow{ {\rm O}{\rm P_{1} }} \times \sum_{k=3}^{n} (\overrightarrow{ {\rm O}{\rm P}_{k-1}}-\overrightarrow{{\rm O}{\rm P}_{k}}) \right\} \right| \\&=\frac{1}{2} \left| \sum_{k=3}^{n} \overrightarrow{ {\rm O}{\rm P}_{k-1}} \times \overrightarrow{ {\rm O}{\rm P}_{k}}+\{\overrightarrow{{\rm O}{\rm P}_{1}} \times \overrightarrow{{\rm O}{\rm P}_{2}}-\overrightarrow{{\rm O}{\rm P}_{1}} \times \overrightarrow{{\rm O}{\rm P}_{n}} \} \right| \\&=\frac{1}{2} \left| \sum_{k=3}^{n} \begin{vmatrix} x_{k-1}~ &y_{k-1} \\ x_{k}~ &y_{k} \end{vmatrix}+\left\{ \begin{vmatrix} x_{1}~ &y_{1} \\ x_{2}~ &y_{2} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} x_{1}~ &y_{1} \\ x_{n}~ &y_{n} \end{vmatrix} \right\}\right| \\ &=\frac{1}{2} \left| \sum_{k=3}^{n}(x_{k-1}y_{k}-x_{k}y_{k-1})+\{(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})-(x_{1}y_{n}-x_{n}y_{1}) \} \right| \\&=\frac{1}{2}|(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+\cdots+x_{n-1}y_{n}+x_{n}y_{1})-(x_{2}y_{1}+x_{3}y_{2}+\cdots+x_{n}y_{n-1}+x_{1}y_{n})|\end{aligned} )] || == 변형 공식 == === 사루스 법칙 === {{{+1 rule of Sarrus}}} 위 공식을 [math(3 \times 3)] [[행렬(수학)|행렬]]에 적용한 것으로, [math(3 \times 3)] 행렬의 1, 2열을 그대로 4, 5열에 각각 써서 [math(5 \times 3)] 행렬로 변형한 뒤[* 열 대신 행을 늘린 [[https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8b/Sarrus_rule_vertical.svg/1280px-Sarrus_rule_vertical.svg.png|[math(3 \times 5)] 행렬]]을 사용해도 무방하다.] 신발끈 공식을 적용한 것이다. 차이점은 일직선상의 세 개의 성분을 연달아서 이어야 한다는 점과 실수배를 하지 않는다는 점, 결괏값의 부호는 그대로 놔둔다는 점(절댓값을 취하지 않음), 그리고 2행의 양 끝 성분은 버려지는 점이 있다. [math(3 \times 3)] 행렬이 아닐 경우 성립하지 않기 때문에 [[선형대수학]]에서는 [[사도(동음이의어)#s-1.4|사도]] 취급하지만[* 거의 [math(64/16 = \cancel{6}4/1\cancel{6} = 4)] 같은 방식으로 [[약분]]하는 것 같은 취급을 당한다.], [math(3 \times 3)] 행렬의 [[행렬식]]을 구하는 데 이것만큼 유용한 도구가 없다. 대표적인 사용례로 벡터장의 [[델(연산자)#s-3.3|회전]]이 있다. 이는 아래와 같이 계산할 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \boldsymbol{\nabla} \times \bold{a} = \begin{vmatrix} \hat{\bold{x}} & \hat{\bold{y}} & \hat{\bold{z}} & \hat{\bold{x}} & \hat{\bold{y}} \\ \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} & \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} \\ a_x & a_y & a_z & a_x & a_y \end{vmatrix})] }}} == 기타 == * 공식을 계산할 때 나오는 특별한 방법이 마치 신발끈을 묶는 것과 같아 '신발끈 공식'이라 부르며, '사선 공식'이라고도 한다. * [[고등학교 수학]]에서 잘 써먹게 되는 공식이다. == 관련 문서 == * [[다각형]] * [[헤론의 공식]] [[분류:해석 기하학]][[분류:선형대수학]][[분류:수학 용어]][[분류:나무위키 수학 프로젝트]]