1. 개요
시어핀스키 삼각형의 모습
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2. 상세
- 1단계: 한 변의 길이가 1인 정삼각형의 각 중점을 이어 4등분된 정삼각형 중 가운데 1개를 지운다.
- 2단계: 남은 3등분의 정삼각형에 대하여 1단계와 같이 행한다.
- 이후의 단계는 전 단계에 남은 정삼각형에 대하여 단계 1과 같이 행한다.
2.1. 성질
아무런 조작을 하지 않은 처음의 정삼각형을 0단계라고 하자. 앞서 말한 조작을 한 번 하는 것을 하나의 '단계'로 하자. 각 단계의 정삼각형들은 모두 합동이므로
(정삼각형의 개수)[math(,times,)](한 정삼각형의 넓이)[math(,=,)](정삼각형들의 총 넓이)
가 된다. 곧,
(정삼각형의 개수)[math(,times,)](한 정삼각형의 넓이)[math(,=,)](정삼각형들의 총 넓이)
가 된다. 곧,
단계
| 정삼각형의 개수
| 한 정삼각형의 넓이
| 정삼각형들의 총 넓이
|
[math(0)]
| [math(1)]
| [math(displaystylefrac{sqrt{3}}{4})]
| [math(displaystylefrac{sqrt{3}}{4})]
|
[math(1)]
| [math(3)]
| [math(displaystylefrac{sqrt{3}}{4}·frac{1}{4})]
| [math(displaystylefrac{sqrt{3}}{4}·frac{3}{4})]
|
[math(2)]
| [math(3^2)]
| [math(displaystylefrac{sqrt{3}}{4}·left(frac{1}{4}right)^2)]
| [math(displaystylefrac{sqrt{3}}{4}·left(frac{3}{4}right)^2)]
|
[math(3)]
| [math(3^3)]
| [math(displaystylefrac{sqrt{3}}{4}·left(frac{1}{4}right)^3)]
| [math(displaystylefrac{sqrt{3}}{4}·left(frac{3}{4}right)^3)]
|
[math(vdots)]
| |||
[math(n)]
| [math(3^n)]
| [math(displaystylefrac{sqrt{3}}{4}·left(frac{1}{4}right)^n)]
| [math(displaystylefrac{sqrt{3}}{4}·left(frac{3}{4}right)^n)]
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