[[분류:프랙탈 이론]][[분류:삼각형]][[분류:나무위키 수학 프로젝트]] [include(틀:기하학·위상수학)] [include(틀:삼각형)] [목차] == 개요 == {{{+1 Sierpinski triangle ・ Sierpinski [[三]][[角]][[形]]}}} ||<tablealign=center><bgcolor=#ffffff><table width=300> [[파일:나무_시어핀스키_삼각형_NEW.png|width=70%&align=center]] || || '''시어핀스키 삼각형의 모습''' || '''시어핀스키 삼각형'''은 [[폴란드]]의 [[수학자]] 바츨라프 시어핀스키(Waclaw Sierpinski; 1882-1969)가 창작한 프랙탈 도형이다. 그의 이름을 따 '시어핀스키 삼각형'이라고 하며, '시어핀스키 개스킷'이라고도 한다. 간혹 '시에르핀스키'라고도 표기한다. == 상세 == [[파일:나무_시어핀스키_삼각형_단계.png|width=350&align=center]] * '''1단계''': 한 변의 길이가 1인 [[정삼각형]]의 각 중점을 이어 4등분된 정삼각형 중 가운데 1개를 지운다. * '''2단계''': 남은 3등분의 정삼각형에 대하여 1단계와 같이 행한다. * 이후의 단계는 전 단계에 남은 정삼각형에 대하여 단계 1과 같이 행한다. === 성질 === 아무런 조작을 하지 않은 처음의 정삼각형을 0단계라고 하자. 앞서 말한 조작을 한 번 하는 것을 하나의 '단계'로 하자. 각 단계의 정삼각형들은 모두 합동이므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br]{{{+1 (정삼각형의 개수)}}}[math(\,\times\,)]{{{+1 (한 정삼각형의 넓이)}}}[math(\,=\,)]{{{+1 (정삼각형들의 총 넓이)}}} }}} 가 된다. 곧, ||<table align=center><table bgcolor=#ffffff,#000000><rowbgcolor=#efefef,#555555> '''단계''' || '''정삼각형의 개수''' || '''한 정삼각형의 넓이''' || '''정삼각형들의 총 넓이''' || || [math(0)] || [math(1)] || [math(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4})] || [math(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4})] || || [math(1)] || [math(3)] || [math(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}·\frac{1}{4})] || [math(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}·\frac{3}{4})] || || [math(2)] || [math(3^2)] || [math(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}·\left(\frac{1}{4}\right)^2)] || [math(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}·\left(\frac{3}{4}\right)^2)] || || [math(3)] || [math(3^3)] || [math(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}·\left(\frac{1}{4}\right)^3)] || [math(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}·\left(\frac{3}{4}\right)^3)] || ||<-4> [math(\vdots)] || || [math(n)] || [math(3^n)] || [math(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}·\left(\frac{1}{4}\right)^n)] || [math(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}·\left(\frac{3}{4}\right)^n)] || 따라서 조작을 무한히 거듭한다면, 정삼각형의 개수는 무한히 많아지고, 한 정삼각형의 넓이는 0에 수렴하고, 정삼각형들의 총 넓이는 0에 수렴한다. 이는 무한대로 발산하는 수열과 0으로 수렴하는 수열의 각 항을 곱하여 나온 수열이 0으로 수렴하는 예가 된다. 흔히 말하는, [math(\infty×0)] 꼴의 [[부정형]]이 0으로 수렴하는 [[극한]]이다. === [[하우스도르프 차원]] === * 시어핀스키 삼각형의 [[하우스도르프 차원]]은 다음과 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \frac{\ln{3}}{\ln{2}} \simeq 1.585)] }}} == [[파스칼의 삼각형]]과의 관계 == 특정 규칙에 따라 파스칼의 삼각형의 수를 색칠하면 시어핀스키 삼각형과 유사한 모양이 나온다.[[https://terms.naver.com/entry.nhn?docId=3534059&cid=60209&categoryId=60209|#]] == 관련 문서 == * [[수학 관련 정보]] * [[기하학]] * [[프랙탈 이론]] * [[시어핀스키 사각형]] * ~~[[트라이포스]]~~[* 1단계 시어핀스키 삼각형과 비슷하게 생겼다. 시어핀스키 삼각형을 보고 이걸 떠올리는 사람도 굉장히 많다.]