[[분류:프랙탈 이론]][[분류:나무위키 수학 프로젝트]] [include(틀:기하학·위상수학)] [include(틀:사각형)] [목차] == 개요 == {{{+1 Sierpinski carpet ・ Sierpinski [[四]][[角]][[形]]}}} ||<tablealign=center><bgcolor=#ffffff><table width=300> [[파일:나무_시어핀스키_사각형_수정.png|width=70%&align=center]] || || '''시어핀스키 사각형의 모습''' || '''시어핀스키 사각형'''은 폴란드의 수학자 바츨라프 시어핀스키(Waclaw Sierpinski, 1882~1969)가 창작한 프랙탈 도형이며, 그의 이름을 따 시어핀스키 사각형('시어핀스키 카펫'이라고도 한다.)이라고 한다. [[멩거 스펀지]]의 2차원 버전이라고 할 수 있다. 멩거 스펀지의 한 면은 정확히 시어핀스키 사각형이다. == 상세 == [[파일:나무_시어핀스키_사각형_단계.png|width=350&align=center]] * '''1단계''': 한 변의 길이가 1인 [[정사각형]]을 가로, 세로를 3등분하여, 9등분하고, 가운데 한 등분을 지운다. * '''2단계''': 남은 8등분의 정사각형에 대하여 1단계와 같이 행한다. * 이후의 단계는 전 단계에 남은 정사각형에 대하여 1단계와 같이 행하면 된다. === 성질 === 아무런 조작을 하지 않은 처음의 정사각형을 0단계이라고 하자. 앞서 말한 조작을 한 번 하는 것을 하나의 '단계'로 하자. 그러면 다음과 같이 된다. ||<table align=center><table bgcolor=#ffffff,#000000><rowbgcolor=#efefef,#555555><|2> '''단계''' ||<-2> '''해당 단계에서 제거되는 정사각형''' ||<|2> '''해당 단계까지 제거되는'''[br]'''총 넓이''' || ||<rowbgcolor=#efefef,#555555> '''한 개의 넓이''' || '''총 개수''' || || [math(0)] || [math(0)] || [math(0)] || [math(1)] || || [math(1)] || [math(\displaystyle\frac{1}{9})] || [math(1)] || [math(\displaystyle{1-\frac{8}{9}})] || || [math(2)] || [math(\displaystyle\left(\frac{1}{9}\right)^2)] || [math(8)] || [math(\displaystyle{1-\left(\frac{8}{9}\right)^2})] || || [math(3)] || [math(\displaystyle\left(\frac{1}{9}\right)^3)] || [math(8^2)] || [math(\displaystyle{1-\left(\frac{8}{9}\right)^3})] || ||<-4> [math(\vdots)] || || [math(n)] || [math(\displaystyle\left(\frac{1}{9}\right)^n)] || [math(8^{n-1})] || [math(\displaystyle{1-\left(\frac{8}{9}\right)^n})] || 각 단계에서 제거되는 정사각형들은 모두 합동이므로, 정사각형 한 개의 넓이와 총 개수를 곱하면 총 넓이가 된다. 따라서, [math(n)]단계에서 제거되는 총 넓이는 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \left(\frac{1}{9}\right)^{n}·8^{n-1}=\left(\frac{8}{9}\right)^{n}·\frac{1}{8})] }}} 이다. 이에 따라, '''처음부터 [math(\boldsymbol{n})]단계까지''' 제거되는 총 넓이 [math(\Delta S_{n})]를 구할 수 있다. 이는 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \begin{aligned} \Delta S_{n}&=\sum_{k=1}^n\left[\left(\frac{8}{9}\right)^{k}·\frac{1}{8}\right] \\&=\frac{1}{8}·\frac{8}{9}·{\cfrac{1-\left( \dfrac{8}{9} \right)^{n}​}{1-\dfrac{8}{9} }} \\& =1-\left(\frac{8}{9}\right)^n \end{aligned})] }}} 따라서 0단계의 총 넓이 1에서 [math(\Delta S_{n})]를 빼면, 단계 [math(n)]의 총 넓이 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \begin{aligned} S_{n}&=1-\Delta S_{n}\\&=\left(\frac{8}{9}\right)^n \end{aligned} )] }}} 해당 단계를 무한히 반복하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \lim_{n \to \infty}S_{n}=0 )] }}} 이므로, 결국 시어핀스키의 사각형은 조작을 무한히 거듭한다면 넓이가 0에 수렴한다. === [[하우스도르프 차원]] === * 시어핀스키 사각형의 [[하우스도르프 차원]]은 다음과 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \frac{\ln{8}}{\ln{3}} \simeq 1.8928)] }}} == 관련 문서 == * [[수학 관련 정보]] * [[기하학]] * [[프랙탈]] * [[시어핀스키 삼각형]] * [[멩거 스펀지]]