1. 개요
solid angle · 立體角
입체각은 각을 3차원으로 확장한 개념으로, 각이 평면상에서 벌어진 정도를 나타내는 것처럼 입체각은 공간상에서 퍼진 정도를 나타낸다. 일반적으로 그리스 문자 [math(Omega)](오메가)로 나타낸다.
입체각은 각을 3차원으로 확장한 개념으로, 각이 평면상에서 벌어진 정도를 나타내는 것처럼 입체각은 공간상에서 퍼진 정도를 나타낸다. 일반적으로 그리스 문자 [math(Omega)](오메가)로 나타낸다.
2. 정의
2.1. 스테라디안을 단위로 하는 경우
호도법에서 각을 정의할 때 반지름과 호의 길이를 이용한다. 즉, 호의 길이가 [math(l)]인 부채꼴의 반지름이 [math(r)]일 때, 각 [math(theta)]는 다음과 같이 정의된다.
[math(theta=dfrac lr)]
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특히, 반지름이 [math(1)]인 단위원에서 각의 크기는 결국 호의 수치와 같다.
이와 유사하게, 반지름이 [math(r)]인 구면 위 한 영역의 면적이 [math(A)]일 때, 입체각 [math(Omega)]는 다음과 같이 정의된다. 아래 그림을 참고하라.
이와 유사하게, 반지름이 [math(r)]인 구면 위 한 영역의 면적이 [math(A)]일 때, 입체각 [math(Omega)]는 다음과 같이 정의된다. 아래 그림을 참고하라.
[math(Omega=dfrac A{r^2})]
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파일:나무_입체각_정의.png
호도법과 마찬가지로 구의 반지름이 [math(1)]이라면, 입체각의 크기는 구면 위의 [math(A)]의 넓이 수치가 된다. 차원이 [math(sf L^2)]으로 동일한 넓이, 반지름 제곱의 비로 정의되므로 입체각은 차원이 없다.
단위인 스테라디안([math(rm sr)])은 라디안과는 달리 일반적으로 생략하지 않는다. 예를 들어 입체각의 측정치를 [math(pi)]라고만 적어놓으면 이게 평면각([math(rmpi,rad)])인지, 입체각([math(rmpi,sr)])인지 구분이 되지 않기 때문이다.
[math(A)]의 넓이는 아래와 같은 부채꼴의 회전체에서 길이가 [math(r_0alpha)]인 호가 회전하여 얻어지는 도형의 넓이이므로 구 좌표계를 이용하여 다음과 같이 구할 수 있다.
파일:나무_부채꼴회전체_수정.png
중심각 [math(theta)]가 [math(theta=alpha)]인 부채꼴에서 회전축을 중심으로 회전하는 각을 [math(phi)]라고 하면 [math(phi)]의 범위는 [math([0,,2pi])]이고, [math(A)]의 미소 넓이 [math({rm d}A)]는 두 변의 길이가 [math(r_0,{rm d}theta)], [math(r_0sintheta,{rm d}phi)]인 사각형의 넓이 [math({r_0}^2sintheta,{rm d}theta,{rm d}phi)]와 같다. 따라서 [math(A)]의 넓이는 [math({rm d}A = {r_0}^2sintheta,{rm d}theta,{rm d}phi)]를 적분한 값으로, 다음과 같다.
호도법과 마찬가지로 구의 반지름이 [math(1)]이라면, 입체각의 크기는 구면 위의 [math(A)]의 넓이 수치가 된다. 차원이 [math(sf L^2)]으로 동일한 넓이, 반지름 제곱의 비로 정의되므로 입체각은 차원이 없다.
단위인 스테라디안([math(rm sr)])은 라디안과는 달리 일반적으로 생략하지 않는다. 예를 들어 입체각의 측정치를 [math(pi)]라고만 적어놓으면 이게 평면각([math(rmpi,rad)])인지, 입체각([math(rmpi,sr)])인지 구분이 되지 않기 때문이다.
[math(A)]의 넓이는 아래와 같은 부채꼴의 회전체에서 길이가 [math(r_0alpha)]인 호가 회전하여 얻어지는 도형의 넓이이므로 구 좌표계를 이용하여 다음과 같이 구할 수 있다.
파일:나무_부채꼴회전체_수정.png
중심각 [math(theta)]가 [math(theta=alpha)]인 부채꼴에서 회전축을 중심으로 회전하는 각을 [math(phi)]라고 하면 [math(phi)]의 범위는 [math([0,,2pi])]이고, [math(A)]의 미소 넓이 [math({rm d}A)]는 두 변의 길이가 [math(r_0,{rm d}theta)], [math(r_0sintheta,{rm d}phi)]인 사각형의 넓이 [math({r_0}^2sintheta,{rm d}theta,{rm d}phi)]와 같다. 따라서 [math(A)]의 넓이는 [math({rm d}A = {r_0}^2sintheta,{rm d}theta,{rm d}phi)]를 적분한 값으로, 다음과 같다.
[math(displaystyle begin{aligned}A &= iint_A,{rm d}A \&= iint_A{r_0}^2sintheta,{rm d}theta,{rm d}phi \&= int_0^{2pi}int_0^alpha{r_0}^2sintheta,{rm d}theta,{rm d}phi \ &= 2pi{r_0}^2(1-cosalpha)end{aligned})]
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정의에 따라 입체각은
[math(begin{aligned} Omega&=dfrac A{{r_0}^2} \&=2pi(1-cosalpha),{rm sr} \&= 4 pi sin^2dfracalpha2,{rm sr} end{aligned})]
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이고 역시 입체각에 차원이 없음을 확인할 수 있다. [math(alpha=pi)]인 경우, 즉 반원을 회전시키면 구가 되므로 구의 입체각은 [math(rm4pi,sr)]이 된다. [math(Omega = 1,rm sr)]이 되게 하는 각 [math(alpha)]의 값은 다음과 같다.
[math(begin{aligned}alpha &= arccosleft(1-dfrac1{2pi}right) \&= 2arcsindfrac1{2sqrtpi} \ &fallingdotseq 0.57195,{rm rad} \ &fallingdotseq 32.7705degreeend{aligned})]
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나아가, 구의 겉넓이를 반지름에 대해 적분하면 구의 부피가 되듯이, [math(A)]를 반지름에 대해 적분해주면 회전체의 부피 [math(V)]가 나오는데
[math(begin{aligned}V &= int_0^rA,{rm d}r_0 \&= int_0^r 2pi{r_0}^2(1-cosalpha),{rm d}r_0 \ &= dfrac23pi r^3(1-cosalpha)end{aligned})]
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위 식에서 [math(alpha = pi)]를 대입하면 구의 부피 [math(4 pi r^3/3)]이 나온다.
2.1.1. 분석
이제 우리는 임의의 곡면의 입체각을 구하는 방법을 알아보고자 한다. 원점을 [math(rm O)]라고 하자.
우리는 분석에 앞서 우선 임의의 곡선에 대한 2차원 각을 구하는 방법을 간략히 알아보고자 한다. 위 내용을 잘 이해했다면, 2차원 각은 반지름이 [math(1)]인 단위원에서 호의 수치와 같다는 것을 이해했을 것이다. 따라서 임의의 곡선에 대한 각은 그 곡선을 단위원의 호 상에 투사했을 때, 그 길이가 그 곡선에 대한 각이 된다. 아래의 그림을 참고하자.
파일:나무_평면각_구하는법_수정.png
그렇다면, 임의의 곡면에 대한 입체각은 결국 그 곡면을 반지름이 [math(1)]인 구면 위로 투사시켰을 때의 그 면적과 같다는 것을 알 수 있다. 아래의 그림을 참고하자.
파일:나무_입체각_구하는법.png
이를 토대로 우리는 곡면 [math(S)] 상의 미소 면적소 [math({rm d}a)]를 고려하고, 이 면적소에 대한 미소 입체각 [math({rm d}Omega)]를 고려하자.
파일:나무_입체각_구하는법_상세_재수정.png
즉, [math({rm d}Omega)]는 반지름이 [math(1)]인 구면 위의 영역임을 알 수 있다. [math(S)] 상의 미소 면적소 [math({rm d}a)]를 반지름이 [math(r)]인 구면 위로 투사시킨 영역의 넓이를 [math({rm d}a')]이라 하자. 그리고 [math({rm d}a)]의 면적소 법선 벡터를 [math(bfhat n)]이라 하자. 면적소 [math({rm d}a')]은 구면 위에 있으므로 이 면적소에 대한 면적소 법선 벡터는 [math(bfhat r)]이 될 것이다. 사실상 [math({rm d}a')]은 [math({rm d}a)]의 정사영이므로
우리는 분석에 앞서 우선 임의의 곡선에 대한 2차원 각을 구하는 방법을 간략히 알아보고자 한다. 위 내용을 잘 이해했다면, 2차원 각은 반지름이 [math(1)]인 단위원에서 호의 수치와 같다는 것을 이해했을 것이다. 따라서 임의의 곡선에 대한 각은 그 곡선을 단위원의 호 상에 투사했을 때, 그 길이가 그 곡선에 대한 각이 된다. 아래의 그림을 참고하자.
파일:나무_평면각_구하는법_수정.png
그렇다면, 임의의 곡면에 대한 입체각은 결국 그 곡면을 반지름이 [math(1)]인 구면 위로 투사시켰을 때의 그 면적과 같다는 것을 알 수 있다. 아래의 그림을 참고하자.
파일:나무_입체각_구하는법.png
이를 토대로 우리는 곡면 [math(S)] 상의 미소 면적소 [math({rm d}a)]를 고려하고, 이 면적소에 대한 미소 입체각 [math({rm d}Omega)]를 고려하자.
파일:나무_입체각_구하는법_상세_재수정.png
즉, [math({rm d}Omega)]는 반지름이 [math(1)]인 구면 위의 영역임을 알 수 있다. [math(S)] 상의 미소 면적소 [math({rm d}a)]를 반지름이 [math(r)]인 구면 위로 투사시킨 영역의 넓이를 [math({rm d}a')]이라 하자. 그리고 [math({rm d}a)]의 면적소 법선 벡터를 [math(bfhat n)]이라 하자. 면적소 [math({rm d}a')]은 구면 위에 있으므로 이 면적소에 대한 면적소 법선 벡터는 [math(bfhat r)]이 될 것이다. 사실상 [math({rm d}a')]은 [math({rm d}a)]의 정사영이므로
[math({rm d}a'={rm d}acos({bfhat n},,{bfhat r}))]
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으로 쓸 수 있다. 여기서 [math(bf(hat n,,hat r))]는 두 벡터가 이루는 각이며, 각각이 단위 벡터임을 이용하면
[math({rm d}a'=({bfhat n}cdot{bfhat r}),{rm d}a)]
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이고, [math({bfhat n},{rm d}aequiv{rm d}{bf a})]이므로
[math({rm d}a'={bfhat r}cdot{rm d}{bf a})]
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로 쓸 수 있다. 그런데 닮음에 의해
[math( begin{aligned} {rm d}Omega&=dfrac{{rm d}a'}{r^2}\&=dfrac{{bfhat r}cdot{rm d}{bf a}}{r^2} end{aligned})]
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로 쓸 수 있으므로, 곡면 [math(S)]에 대한 입체각은
[math(displaystyle Omega=iint_Sfrac{{bfhat r}cdot{rm d}{bf a}}{r^2})]
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로 구할 수 있다. 참고로 위 식은 점 [math(rm O)]가 원점이 아니라도 성립한다. 예를 들어 [math(bf v)]가 원점에서부터 [math(rm O)]까지의 위치 벡터라면, [math(bf rto r-v)]이므로
[math(displaystyle Omega=iint_Sfrac{({bf r-v})cdot{rm d}{bf a}}{|{bf r-v}|^3})]
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도 성립한다.
2.1.2. 폐곡면에 대한 입체각
파일:namu_soild_angle_5.png
폐곡면에 대한 입체각을 구할 때는 기준이 되는 점 [math(rm O)][1]의 위치를 주의해야 한다.(위 그림 참조)
폐곡면 [math(S)] 내부에 점 [math(rm O)]가 있다고 해보자. 폐곡면의 면적을 단위구의 표면으로 투사시킨다면 단위구 전체를 매워쌀 수 있을 것이므로, 계산해보지 않더라도 그 입체각은 단위구 전체의 면적과 같다는 것을 알 수 있다. 즉,
폐곡면에 대한 입체각을 구할 때는 기준이 되는 점 [math(rm O)][1]의 위치를 주의해야 한다.(위 그림 참조)
폐곡면 [math(S)] 내부에 점 [math(rm O)]가 있다고 해보자. 폐곡면의 면적을 단위구의 표면으로 투사시킨다면 단위구 전체를 매워쌀 수 있을 것이므로, 계산해보지 않더라도 그 입체각은 단위구 전체의 면적과 같다는 것을 알 수 있다. 즉,
[math(Omega=4pi)]
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이다. 그러나 [math(rm O)]가 폐곡면 [math(S)]의 외부에 있다면 입체각은 [math(0)]이 된다. 이것은 아래와 같이 정성적으로 살펴볼 수 있다.
파일:나무_입체각_123.png
위 그림은 우리가 살펴보는 상황을 나타낸 것이다. 구면을 기준으로 폐곡면 [math(S)]는 두 부분으로 나뉘게 된다. 나뉘는 기준은 나눠진 영역에 대해 각각 전체적으로 봤을 때 면적소 법선 벡터 [math({rm d}{bf a})]가 양이 되는 부분(적색 영역)인지, 아니면 음이 되는 부분(청색 부분)[2]인지이다. 그런데 이 두 부분을 각각의 열린 곡면이라 생각하고 각 영역에 대한 입체각을 구해본다면, 구면에 투사된 넓이는 같으므로 입체각은 같다. 그러나, 구면을 기준으로 법선 벡터의 방향이 다르게 되고, 결국 두 기여분이 상쇄되기 때문에 입체각은 [math(0)]이 된다.[3]이 될 수밖에 없음을 얻으므로 이해하려고 노력해보라.]
나아가 점 [math(rm O)]가 폐곡선 안에 있을 때는 구면을 기준으로 모든 면적소 법선 벡터가 '나가는 방향'으로 보이게 되므로 값이 구해진다.
파일:나무_입체각_123.png
위 그림은 우리가 살펴보는 상황을 나타낸 것이다. 구면을 기준으로 폐곡면 [math(S)]는 두 부분으로 나뉘게 된다. 나뉘는 기준은 나눠진 영역에 대해 각각 전체적으로 봤을 때 면적소 법선 벡터 [math({rm d}{bf a})]가 양이 되는 부분(적색 영역)인지, 아니면 음이 되는 부분(청색 부분)[2]인지이다. 그런데 이 두 부분을 각각의 열린 곡면이라 생각하고 각 영역에 대한 입체각을 구해본다면, 구면에 투사된 넓이는 같으므로 입체각은 같다. 그러나, 구면을 기준으로 법선 벡터의 방향이 다르게 되고, 결국 두 기여분이 상쇄되기 때문에 입체각은 [math(0)]이 된다.[3]이 될 수밖에 없음을 얻으므로 이해하려고 노력해보라.]
나아가 점 [math(rm O)]가 폐곡선 안에 있을 때는 구면을 기준으로 모든 면적소 법선 벡터가 '나가는 방향'으로 보이게 되므로 값이 구해진다.
2.1.3. 참고 거리
구면좌표계를 고려해보도록 하자. 반지름 [math(r)]인 구면에 대해
[math({rm d}{bf a}={bfhat r},r^2sintheta,{rm d}theta,{rm d}phi)]
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임을 알고 있으므로, 반지름 [math(r)]인 구면에 대해 입체각은
[math({rm d}Omega=sintheta,{rm d}theta,{rm d}phi)]
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로 쓸 수 있다. 따라서 구면 좌표계의 부피소를
[math(r^2,{rm d}r,{rm d}Omega)]
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로 쓸 수 있다. 만약 적분되는 함수 [math(V(r))]이 명백히 [math(r)]에만 의존한다면, 적분항은 다음과 같이 분리될 수 있을 것이다.
[math(displaystyle int V(r) cdot r^2,{rm d}rint{rm d}Omega)]
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2.2. 평방도를 단위로 하는 경우
육십분법을 단위로 하는 평면각의 직교좌표계를 바탕으로, 넓이를 구하듯이 평면각을 적분하여 얻어진다.
이해하기 쉽게 말하자면 위도, 경도 방향으로 각각 [math(xdegree)], [math(ydegree)]씩 벌어져서 생기는 호 4개로 이루어진 도형[4]을 만드는 입체각은 [math(xy,deg^2)]이다. 따라서 [math(1)]평방도는 [math(1degree)]씩 직교하면서 벌어진 영역의 입체각에 해당한다. 평면각 자체가 단위에 관계없이 차원이 없는 물리량이기 때문에(각 문서 참조) 평방도도 역시 차원이 없다.
예로부터 천구좌표계에 위치한 별자리의 크기를 재는 데에 이 평방도 단위가 쓰이고 있다. 평방도 값이 가장 큰 별자리는 바다뱀자리로 약 [math(1303,deg^2)]이며 이는 천구의 약 [math(1/32)]을 차지하는 넓이이다. 반면 평방도 값이 가장 작은 별자리는 남십자자리로 약 [math(68,deg^2)]이다.
구의 반지름을 [math(r)]이라고 하면, 육십분법으로 나타낸 직교하는 두 평면각 [math(z)], [math(w)]로 만들어지는 호의 길이는 각각 [math({zpi r}/{180degree})], [math({wpi r}/{180degree})]이므로, 해당 영역의 넓이 [math(A)]는
이해하기 쉽게 말하자면 위도, 경도 방향으로 각각 [math(xdegree)], [math(ydegree)]씩 벌어져서 생기는 호 4개로 이루어진 도형[4]을 만드는 입체각은 [math(xy,deg^2)]이다. 따라서 [math(1)]평방도는 [math(1degree)]씩 직교하면서 벌어진 영역의 입체각에 해당한다. 평면각 자체가 단위에 관계없이 차원이 없는 물리량이기 때문에(각 문서 참조) 평방도도 역시 차원이 없다.
예로부터 천구좌표계에 위치한 별자리의 크기를 재는 데에 이 평방도 단위가 쓰이고 있다. 평방도 값이 가장 큰 별자리는 바다뱀자리로 약 [math(1303,deg^2)]이며 이는 천구의 약 [math(1/32)]을 차지하는 넓이이다. 반면 평방도 값이 가장 작은 별자리는 남십자자리로 약 [math(68,deg^2)]이다.
구의 반지름을 [math(r)]이라고 하면, 육십분법으로 나타낸 직교하는 두 평면각 [math(z)], [math(w)]로 만들어지는 호의 길이는 각각 [math({zpi r}/{180degree})], [math({wpi r}/{180degree})]이므로, 해당 영역의 넓이 [math(A)]는
[math( begin{aligned} A &= r^2zwleft(dfracpi{180degree}right)^2 \&= r^2zwleft(dfracpi{180}right)^2deg^{-2} end{aligned})]
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이 영역의 입체각은 [math(zw)]이고 구의 겉넓이가 [math(4pi r^2)]이므로 다음과 같은 비례식을 통해 구 표면 전체로 퍼지는 입체각의 평방도 값 [math(Omega_{deg^2})]을 구할 수 있다.
[math(zw : r^2zwleft(dfracpi{180}right)^2deg^{-2} = 1 : r^2left(dfracpi{180}right)^2deg^{-2} = Omega_{deg^2} : 4pi r^2 Longleftrightarrow~ left(dfracpi{180}right)^2deg^{-2}Omega_{deg^2} = 4pi)]
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따라서 다음과 같은 관계가 나온다.
[math( begin{aligned} Omega_{deg^2} &= dfrac{360^2}pideg^2 \ &= 41,252.961cdots,deg^2 end{aligned} )]
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2.3. 평방도와 스테라디안, 라디안의 관계
입체각이 구 표면 전체로 퍼질 때, 평방도를 단위로 하는 입체각 [math(Omega_{deg^2})], 스테라디안 단위로 하는 입체각 [math(Omega)]는 각각
[math(Omega_{deg^2} = dfrac{360^2}pideg^2, qquad Omega = 4pirm,sr)]
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이므로, 스테라디안과 평방도 사이에는 다음과 같은 비례식이 성립한다.
[math(begin{aligned} Omega_{deg^2}/deg^2 : dfrac{360^2}pi &= Omega/{rm sr} : 4pi \ Omega_{deg^2}/deg^2 &= left(dfrac{180}piright)^2Omega/{rm sr} \ therefore Omega/{rm sr} &= left(dfracpi{180}right)^2Omega_{deg^2}/deg^2 end{aligned})]
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좀 더 일반적으로 다음의 환산식이 성립한다.
[math(begin{aligned} deg^2 &= left(dfracpi{180}right)^2{rm sr} \ rm sr &= left(dfrac{180}piright)^2deg^2end{aligned})]
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[5]이 얻어지는데 여기에서 [math(dfrac{Omega_{deg^2}}Omega)]은 단위가 다르다는 것을 명시하기 위한 기호일 뿐 본질적으론 동일한 입체각을 나타내는 물리량의 비이므로 [math(dfrac{Omega_{deg^2}}Omega = 1)]이 되어 단위만 남는 환산식이 얻어진다.] 나아가 이 관계식으로부터 라디안과 스테라디안의 관계도 도출해낼 수 있는데
[math(begin{aligned}rm1,deg^2 &= (1degree)^2 \&=rm left(dfrac{pi,rad}{180}right)^2 \&=rm left(dfracpi{180}right)^2rad^2 \&=rm left(dfracpi{180}right)^2 ,sr end{aligned})]
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에서 [math(rm sr = rad^2)], 즉 라디안의 제곱이 곧 스테라디안이다.[6]는 [math({rm d}Omega = sintheta,{rm d}theta,{rm d}phi)]였는데 [math(rm dtheta)]와 [math(rm dphi)]의 단위가 [math(rm rad)]이기 때문에 [math({rm d}Omega)]의 단위가 [math(rm rad^2)]임을 알 수 있다. 적분을 통해 단위는 바뀌지 않으므로 [math(rm rad^2 = sr)]이 된다.] 그러나 이 관계가 [math(rm rad^2)]이 단위에 포함되는 모든 물리량에 대해 성립하는 것은 아니다. 이를테면 구심력의 구심 가속도는 원운동의 반지름 [math(r)], 각속도 [math(omega)]를 이용하여 [math(romega^2)]으로 주어지는데, 단위를 엄밀하게 적용하면 [math(rm m!cdot!rad^2/s^2)]이지만 구심 가속도는 입체각과 아무런 연관이 없다.[7]을 생략한 [math(rm m/s^2)]의 꼴로 많이 기술하는데, 구심 가속도가 가속도의 일종이라는 특성을 좀 더 직관적으로 드러내는 장점도 있는 한편 차원 분석 상으로도 아무런 하자가 없다.]
3. 응용
지구에서 위도 [math(varphi_1)], [math(varphi_2)], 경도 [math(lambda_1)], [math(lambda_2)](단, 단위는 모두 [math(rm rad)])로 둘러싸인 영역의 입체각을 스테라디안의 정의에서 도출한 적분식으로 구할 수 있다. 전술한 구좌표계에서 [math(phi = lambda)]에 대응되며 위도는 적도, 즉 [math(xy)]평면이 기준이므로 적도에서 북극 방향을 양의 방향으로 잡으면
[math(theta = dfracpi2-varphi qquad biggl(-dfracpi2levarphiledfracpi2 biggr))]
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이다. 따라서
[math( begin{aligned} {rm d}A &= r^2sintheta,{rm d}theta,{rm d}phi \&= -r^2cosvarphi,{rm d}varphi,{rm d}lambda end{aligned})]
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이고 해당 영역의 넓이 [math(A)]는
[math(begin{aligned}A &= biggl|-int_{lambda_1}^{lambda_2}int_{varphi_1}^{varphi_2} r^2cosvarphi,{rm d}varphi,{rm d}lambdabiggr| \ &= biggl|r^2int_{varphi_1}^{varphi_2}cosvarphi,{rm d}varphiint_{lambda_1}^{lambda_2}{rm d}lambdabiggr| \ &= r^2|sinvarphi_2 - sinvarphi_1
| lambda_2 - lambda_1|end{aligned})]
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로 주어지므로 입체각은 [math(|sinvarphi_2 - sinvarphi_1||lambda_2 - lambda_1|,{rm sr})]이 된다. 위도와 경도를 나타낼 때에는 보통 육십분법을 많이 쓰므로, [math(varphi)], [math(lambda)]가 육십분법 각이라고 하면 삼각함수의 변수가 [math({varphipi}/{180degree})]로 바뀌며 결과적으로 평방도 단위계에서는 다음과 같다.
[math( dfrac{180degree}pibiggl|sindfrac{varphi_2pi}{180degree} - sindfrac{varphi_1pi}{180degree}biggr
| lambda_2 - lambda_1|)]
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4. 기타
- 사람의 시야를 가늠해볼 수 있는 시야각 등 실생활에서 자주 떠올려볼 수 있는 개념임에도 불구하고 '고등학교 교육과정'에는 등장하지 않는다.
- 물리학에서 선속과 관련된 물리량을 계산하다 보면 이 입체각이 등장하게 된다. 쉬운 예로, 가우스 법칙 문서를 보라.
- 광학에서 발광 광도를 논할 때 입체각의 개념이 사용된다.
5. 관련 문서
[1] 즉, 단위 구의 중점이 되는 점[2] 사실 어디를 양의 부분이라 잡아도 상관 없다. 그러나, 명백히 두 부분이 구면을 기준으로 면적소 법선 벡터의 전체적인 방향이 다르다는 것은 사실이다.[3] 이 정성적인 분석은 사람에 따라 더 어려울 수 있다. 다만, 이해만 할 수 있다면 입체각이 [math(0)[4] 얼핏 사각형으로 투영되는 것 같지만 곡률이 있기 때문에 사각형은 아니다.[5] 맨 처음 관계식에서 좌변에 단위만 남도록 이항해주면 [math(deg^2 = left(dfracpi{180}right)^2{rm sr},dfrac{Omega_{deg^2}}Omega)[6] 사실 해석학적인 방법으로 구할 때에도 이 성질을 유도할 수 있다. 앞서 입체각의 미소량 [math(rm dOmega)[7] 이를 반영하듯 일반적으로 구심 가속도의 단위는 [math(rm rad^2)