[[분류:기하학]][[분류:수학 용어]][[분류:한자어]][[분류:나무위키 수학 프로젝트]] [include(틀:기하학·위상수학)] [목차] == 개요 == {{{+1 solid angle · [[立]][[體]][[角]]}}} '''입체각'''은 [[각]]을 3차원으로 확장한 개념으로, 각이 평면상에서 벌어진 정도를 나타내는 것처럼 입체각은 공간상에서 퍼진 정도를 나타낸다. 일반적으로 그리스 문자 [[Ω|[math(\Omega)]]](오메가)로 나타낸다. == 정의 == 스테라디안(steradian, [math(\rm sr)])을 단위로 하는 정의와 평방도(平方度, square degree; [math(\deg^2)] 혹은 [math(\degree^2)])를 단위로 하는 정의가 있다. 전자가 입체각에 [[무차원량|차원이 없음]]을 단적으로 드러내는, 좀 더 엄밀한 방식이며 그래서인지 [[SI 단위계]]의 유도 단위로 등록된 쪽은 스테라디안이다. === 스테라디안을 단위로 하는 경우 === [[호도법]]에서 각을 정의할 때 반지름과 호의 길이를 이용한다. 즉, 호의 길이가 [math(l)]인 부채꼴의 반지름이 [math(r)]일 때, 각 [math(\theta)]는 다음과 같이 정의된다. ||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(\theta=\dfrac lr)] || 특히, 반지름이 [math(1)]인 단위원에서 각의 크기는 결국 호의 수치와 같다. 이와 유사하게, 반지름이 [math(r)]인 구면 위 한 영역의 면적이 [math(A)]일 때, 입체각 [math(\Omega)]는 다음과 같이 정의된다. 아래 그림을 참고하라. ||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(\Omega=\dfrac A{r^2})] || [[파일:나무_입체각_정의.png|width=200&align=center]] 호도법과 마찬가지로 구의 반지름이 [math(1)]이라면, 입체각의 크기는 구면 위의 [math(A)]의 넓이 수치가 된다. [[차원#측정학]]이 [math(\sf L^2)]으로 동일한 넓이, 반지름 제곱의 비로 정의되므로 입체각은 [[무차원량|차원이 없다.]] 단위인 [[스테라디안]]([math(\rm sr)])은 [[라디안]]과는 달리 일반적으로 생략하지 않는다. 예를 들어 입체각의 측정치를 [math(\pi)]라고만 적어놓으면 이게 평면각([math(\rm\pi\,rad)])인지, 입체각([math(\rm\pi\,sr)])인지 구분이 되지 않기 때문이다. [math(A)]의 넓이는 아래와 같은 부채꼴의 회전체에서 길이가 [math(r_0\alpha)]인 호가 회전하여 얻어지는 도형의 넓이이므로 구 좌표계를 이용하여 다음과 같이 구할 수 있다. [[파일:나무_부채꼴회전체_수정.png|width=70&align=center]] 중심각 [math(\theta)]가 [math(\theta=\alpha)]인 부채꼴에서 회전축을 중심으로 회전하는 각을 [math(\phi)]라고 하면 [math(\phi)]의 범위는 [math([0,\,2\pi])]이고, [math(A)]의 미소 넓이 [math({\rm d}A)]는 두 변의 길이가 [math(r_0\,{\rm d}\theta)], [math(r_0\sin\theta\,{\rm d}\phi)]인 사각형의 넓이 [math({r_0}^2\sin\theta\,{\rm d}\theta\,{\rm d}\phi)]와 같다. 따라서 [math(A)]의 넓이는 [math({\rm d}A = {r_0}^2\sin\theta\,{\rm d}\theta\,{\rm d}\phi)]를 적분한 값으로, 다음과 같다. ||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(\displaystyle \begin{aligned}A &= \iint_A\,{\rm d}A \\&= \iint_A{r_0}^2\sin\theta\,{\rm d}\theta\,{\rm d}\phi \\&= \int_0^{2\pi}\int_0^\alpha{r_0}^2\sin\theta\,{\rm d}\theta\,{\rm d}\phi \\ &= 2\pi{r_0}^2(1-\cos\alpha)\end{aligned})] || 정의에 따라 입체각은 ||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(\begin{aligned} \Omega&=\dfrac A{{r_0}^2} \\&=2\pi(1-\cos\alpha)\,{\rm sr} \\&= 4 \pi \sin^2\dfrac\alpha2\,{\rm sr} \end{aligned})] || 이고 역시 입체각에 [[무차원량|차원이 없음]]을 확인할 수 있다. [math(\alpha=\pi)]인 경우, 즉 반원을 회전시키면 구가 되므로 구의 입체각은 [math(\rm4\pi\,sr)]이 된다. [math(\Omega = 1\,\rm sr)]이 되게 하는 각 [math(\alpha)]의 값은 다음과 같다. ||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(\begin{aligned}\alpha &= \arccos\left(1-\dfrac1{2\pi}\right) \\&= 2\arcsin\dfrac1{2\sqrt\pi} \\ &\fallingdotseq 0.57195\,{\rm rad} \\ &\fallingdotseq 32.7705\degree\end{aligned})] || 나아가, 구의 겉넓이를 반지름에 대해 적분하면 구의 부피가 되듯이, [math(A)]를 반지름에 대해 적분해주면 회전체의 부피 [math(V)]가 나오는데 ||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(\begin{aligned}V &= \int_0^rA\,{\rm d}r_0 \\&= \int_0^r 2\pi{r_0}^2(1-\cos\alpha)\,{\rm d}r_0 \\ &= \dfrac23\pi r^3(1-\cos\alpha)\end{aligned})] || 위 식에서 [math(\alpha = \pi)]를 대입하면 구의 부피 [math(4 \pi r^3/3)]이 나온다. ==== 분석 ==== 이제 우리는 임의의 곡면의 입체각을 구하는 방법을 알아보고자 한다. 원점을 [math(\rm O)]라고 하자. 우리는 분석에 앞서 우선 임의의 곡선에 대한 2차원 각을 구하는 방법을 간략히 알아보고자 한다. 위 내용을 잘 이해했다면, 2차원 각은 반지름이 [math(1)]인 단위원에서 호의 수치와 같다는 것을 이해했을 것이다. 따라서 임의의 곡선에 대한 각은 그 곡선을 단위원의 호 상에 투사했을 때, 그 길이가 그 곡선에 대한 각이 된다. 아래의 그림을 참고하자. [[파일:나무_평면각_구하는법_수정.png|width=200&align=center]] 그렇다면, 임의의 곡면에 대한 입체각은 결국 그 곡면을 반지름이 [math(1)]인 구면 위로 투사시켰을 때의 그 면적과 같다는 것을 알 수 있다. 아래의 그림을 참고하자. [[파일:나무_입체각_구하는법.png|width=200&align=center]] 이를 토대로 우리는 곡면 [math(S)] 상의 미소 면적소 [math({\rm d}a)]를 고려하고, 이 면적소에 대한 미소 입체각 [math({\rm d}\Omega)]를 고려하자. [[파일:나무_입체각_구하는법_상세_재수정.png|width=185&align=center]] 즉, [math({\rm d}\Omega)]는 반지름이 [math(1)]인 구면 위의 영역임을 알 수 있다. [math(S)] 상의 미소 면적소 [math({\rm d}a)]를 반지름이 [math(r)]인 구면 위로 투사시킨 영역의 넓이를 [math({\rm d}a')]이라 하자. 그리고 [math({\rm d}a)]의 면적소 법선 벡터를 [math(\bf\hat n)]이라 하자. 면적소 [math({\rm d}a')]은 구면 위에 있으므로 이 면적소에 대한 면적소 법선 벡터는 [math(\bf\hat r)]이 될 것이다. 사실상 [math({\rm d}a')]은 [math({\rm d}a)]의 정사영이므로 ||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math({\rm d}a'={\rm d}a\cos({\bf\hat n},\,{\bf\hat r}))] || 으로 쓸 수 있다. 여기서 [math(\bf(\hat n,\,\hat r))]는 두 벡터가 이루는 각이며, 각각이 단위 벡터임을 이용하면 ||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math({\rm d}a'=({\bf\hat n}\cdot{\bf\hat r})\,{\rm d}a)] || 이고, [math({\bf\hat n}\,{\rm d}a\equiv{\rm d}{\bf a})]이므로 ||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math({\rm d}a'={\bf\hat r}\cdot{\rm d}{\bf a})] || 로 쓸 수 있다. 그런데 닮음에 의해 ||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math( \begin{aligned} {\rm d}\Omega&=\dfrac{{\rm d}a'}{r^2}\\&=\dfrac{{\bf\hat r}\cdot{\rm d}{\bf a}}{r^2} \end{aligned})] || 로 쓸 수 있으므로, 곡면 [math(S)]에 대한 입체각은 ||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(\displaystyle \Omega=\iint_S\frac{{\bf\hat r}\cdot{\rm d}{\bf a}}{r^2})] || 로 구할 수 있다. 참고로 위 식은 점 [math(\rm O)]가 원점이 아니라도 성립한다. 예를 들어 [math(\bf v)]가 원점에서부터 [math(\rm O)]까지의 위치 벡터라면, [math(\bf r\to r-v)]이므로 ||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(\displaystyle \Omega=\iint_S\frac{({\bf r-v})\cdot{\rm d}{\bf a}}{|{\bf r-v}|^3})] || 도 성립한다. ==== 폐곡면에 대한 입체각 ==== [[파일:namu_soild_angle_5.png|width=180&align=center]] 폐곡면에 대한 입체각을 구할 때는 기준이 되는 점 [math(\rm O)][* 즉, 단위 구의 중점이 되는 점]의 위치를 주의해야 한다.(위 그림 참조) 폐곡면 [math(S)] 내부에 점 [math(\rm O)]가 있다고 해보자. 폐곡면의 면적을 단위구의 표면으로 투사시킨다면 단위구 전체를 매워쌀 수 있을 것이므로, 계산해보지 않더라도 그 입체각은 단위구 전체의 면적과 같다는 것을 알 수 있다. 즉, ||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(\Omega=4\pi)] || 이다. 그러나 [math(\rm O)]가 폐곡면 [math(S)]의 외부에 있다면 입체각은 [math(0)]이 된다. 이것은 아래와 같이 정성적으로 살펴볼 수 있다. [[파일:나무_입체각_123.png|width=220&align=center]] 위 그림은 우리가 살펴보는 상황을 나타낸 것이다. 구면을 기준으로 폐곡면 [math(S)]는 두 부분으로 나뉘게 된다. 나뉘는 기준은 나눠진 영역에 대해 각각 전체적으로 봤을 때 면적소 법선 벡터 [math({\rm d}{\bf a})]가 양이 되는 부분(적색 영역)인지, 아니면 음이 되는 부분(청색 부분)[* 사실 어디를 양의 부분이라 잡아도 상관 없다. 그러나, 명백히 두 부분이 구면을 기준으로 면적소 법선 벡터의 전체적인 방향이 다르다는 것은 사실이다.]인지이다. 그런데 이 두 부분을 각각의 열린 곡면이라 생각하고 각 영역에 대한 입체각을 구해본다면, 구면에 투사된 넓이는 같으므로 입체각은 같다. 그러나, 구면을 기준으로 법선 벡터의 방향이 다르게 되고, 결국 두 기여분이 상쇄되기 때문에 입체각은 [math(0)]이 된다.[* 이 정성적인 분석은 사람에 따라 더 어려울 수 있다. 다만, 이해만 할 수 있다면 입체각이 [math(0)]이 될 수밖에 없음을 얻으므로 이해하려고 노력해보라.] 나아가 점 [math(\rm O)]가 폐곡선 안에 있을 때는 구면을 기준으로 모든 면적소 법선 벡터가 '나가는 방향'으로 보이게 되므로 값이 구해진다. ==== 참고 거리 ==== 구면좌표계를 고려해보도록 하자. 반지름 [math(r)]인 구면에 대해 ||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math({\rm d}{\bf a}={\bf\hat r}\,r^2\sin\theta\,{\rm d}\theta\,{\rm d}\phi)] || 임을 알고 있으므로, 반지름 [math(r)]인 구면에 대해 입체각은 ||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math({\rm d}\Omega=\sin\theta\,{\rm d}\theta\,{\rm d}\phi)] || 로 쓸 수 있다. 따라서 구면 좌표계의 부피소를 ||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(r^2\,{\rm d}r\,{\rm d}\Omega)] || 로 쓸 수 있다. 만약 적분되는 함수 [math(V(r))]이 명백히 [math(r)]에만 의존한다면, 적분항은 다음과 같이 분리될 수 있을 것이다. ||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(\displaystyle \int V(r) \cdot r^2\,{\rm d}r\int{\rm d}\Omega)] || === 평방도를 단위로 하는 경우 === [[육십분법]]을 단위로 하는 평면각의 직교좌표계를 바탕으로, 넓이를 구하듯이 평면각을 적분하여 얻어진다. 이해하기 쉽게 말하자면 위도, 경도 방향으로 각각 [math(x\degree)], [math(y\degree)]씩 벌어져서 생기는 호 4개로 이루어진 도형[* 얼핏 사각형으로 투영되는 것 같지만 곡률이 있기 때문에 사각형은 아니다.]을 만드는 입체각은 [math(xy\,\deg^2)]이다. 따라서 [math(1)]평방도는 [math(1\degree)]씩 직교하면서 벌어진 영역의 입체각에 해당한다. 평면각 자체가 단위에 관계없이 [[무차원량|차원이 없는 물리량]]이기 때문에([[각]] 문서 참조) 평방도도 역시 차원이 없다. 예로부터 [[천구좌표계]]에 위치한 별자리의 크기를 재는 데에 이 평방도 단위가 쓰이고 있다. 평방도 값이 가장 큰 별자리는 [[바다뱀자리]]로 약 [math(1303\,\deg^2)]이며 이는 천구의 약 [math(1/32)]을 차지하는 넓이이다. 반면 평방도 값이 가장 작은 별자리는 [[남십자자리]]로 약 [math(68\,\deg^2)]이다. 구의 반지름을 [math(r)]이라고 하면, 육십분법으로 나타낸 직교하는 두 평면각 [math(z)], [math(w)]로 만들어지는 호의 길이는 각각 [math({z\pi r}/{180\degree})], [math({w\pi r}/{180\degree})]이므로, 해당 영역의 넓이 [math(A)]는 ||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math( \begin{aligned} A &= r^2zw\left(\dfrac\pi{180\degree}\right)^2 \\&= r^2zw\left(\dfrac\pi{180}\right)^2\deg^{-2} \end{aligned})] || 이 영역의 입체각은 [math(zw)]이고 구의 겉넓이가 [math(4\pi r^2)]이므로 다음과 같은 비례식을 통해 구 표면 전체로 퍼지는 입체각의 평방도 값 [math(\Omega_{\deg^2})]을 구할 수 있다. ||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(zw : r^2zw\left(\dfrac\pi{180}\right)^2\deg^{-2} = 1 : r^2\left(\dfrac\pi{180}\right)^2\deg^{-2} = \Omega_{\deg^2} : 4\pi r^2 \Longleftrightarrow~ \left(\dfrac\pi{180}\right)^2\deg^{-2}\Omega_{\deg^2} = 4\pi)] || 따라서 다음과 같은 관계가 나온다. ||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math( \begin{aligned} \Omega_{\deg^2} &= \dfrac{360^2}\pi\deg^2 \\ &= 41\,252.961\cdots\,\deg^2 \end{aligned} )] || === 평방도와 스테라디안, 라디안의 관계 === 입체각이 구 표면 전체로 퍼질 때, 평방도를 단위로 하는 입체각 [math(\Omega_{\deg^2})], 스테라디안 단위로 하는 입체각 [math(\Omega)]는 각각 ||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(\Omega_{\deg^2} = \dfrac{360^2}\pi\deg^2, \qquad \Omega = 4\pi\rm\,sr)] || 이므로, 스테라디안과 평방도 사이에는 다음과 같은 비례식이 성립한다. ||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(\begin{aligned} \Omega_{\deg^2}/\deg^2 : \dfrac{360^2}\pi &= \Omega/{\rm sr} : 4\pi \\ \Omega_{\deg^2}/\deg^2 &= \left(\dfrac{180}\pi\right)^2\Omega/{\rm sr} \\ \therefore \Omega/{\rm sr} &= \left(\dfrac\pi{180}\right)^2\Omega_{\deg^2}/\deg^2 \end{aligned})] || 좀 더 일반적으로 다음의 환산식이 성립한다. ||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(\begin{aligned} \deg^2 &= \left(\dfrac\pi{180}\right)^2{\rm sr} \\ \rm sr &= \left(\dfrac{180}\pi\right)^2\deg^2\end{aligned})] || [* 맨 처음 관계식에서 좌변에 단위만 남도록 이항해주면 [math(\deg^2 = \left(\dfrac\pi{180}\right)^2{\rm sr}\,\dfrac{\Omega_{\deg^2}}\Omega)]이 얻어지는데 여기에서 [math(\dfrac{\Omega_{\deg^2}}\Omega)]은 단위가 다르다는 것을 명시하기 위한 기호일 뿐 본질적으론 동일한 입체각을 나타내는 물리량의 비이므로 [math(\dfrac{\Omega_{\deg^2}}\Omega = 1)]이 되어 단위만 남는 환산식이 얻어진다.] 나아가 이 관계식으로부터 [[라디안]]과 [[스테라디안]]의 관계도 도출해낼 수 있는데 ||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(\begin{aligned}\rm1\,\deg^2 &= (1\degree)^2 \\&=\rm \left(\dfrac{\pi\,rad}{180}\right)^2 \\&=\rm \left(\dfrac\pi{180}\right)^2rad^2 \\&=\rm \left(\dfrac\pi{180}\right)^2 \,sr \end{aligned})] || 에서 [math(\rm sr = rad^2)], 즉 '''[[라디안]]의 제곱이 곧 스테라디안'''이다.[* 사실 해석학적인 방법으로 구할 때에도 이 성질을 유도할 수 있다. 앞서 입체각의 미소량 [math(\rm d\Omega)]는 [math({\rm d}\Omega = \sin\theta\,{\rm d}\theta\,{\rm d}\phi)]였는데 [math(\rm d\theta)]와 [math(\rm d\phi)]의 단위가 [math(\rm rad)]이기 때문에 [math({\rm d}\Omega)]의 단위가 [math(\rm rad^2)]임을 알 수 있다. 적분을 통해 단위는 바뀌지 않으므로 [math(\rm rad^2 = sr)]이 된다.] 그러나 이 관계가 [math(\rm rad^2)]이 단위에 포함되는 모든 물리량에 대해 성립하는 것은 아니다. 이를테면 [[구심력]]의 구심 가속도는 원운동의 반지름 [math(r)], 각속도 [math(\omega)]를 이용하여 [math(r\omega^2)]으로 주어지는데, 단위를 엄밀하게 적용하면 [math(\rm m\!\cdot\!rad^2/s^2)]이지만 구심 가속도는 입체각과 아무런 연관이 없다.[* 이를 반영하듯 일반적으로 구심 가속도의 단위는 [math(\rm rad^2)]을 생략한 [math(\rm m/s^2)]의 꼴로 많이 기술하는데, 구심 가속도가 가속도의 일종이라는 특성을 좀 더 직관적으로 드러내는 장점도 있는 한편 차원 분석 상으로도 아무런 하자가 없다.] == 응용 == 지구에서 위도 [math(\varphi_1)], [math(\varphi_2)], 경도 [math(\lambda_1)], [math(\lambda_2)](단, 단위는 모두 [math(\rm rad)])로 둘러싸인 영역의 입체각을 스테라디안의 정의에서 도출한 적분식으로 구할 수 있다. 전술한 구좌표계에서 [math(\phi = \lambda)]에 대응되며 위도는 적도, 즉 [math(xy)]평면이 기준이므로 적도에서 북극 방향을 양의 방향으로 잡으면 ||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(\theta = \dfrac\pi2-\varphi \qquad \biggl(-\dfrac\pi2\le\varphi\le\dfrac\pi2 \biggr))] || 이다. 따라서 ||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math( \begin{aligned} {\rm d}A &= r^2\sin\theta\,{\rm d}\theta\,{\rm d}\phi \\&= -r^2\cos\varphi\,{\rm d}\varphi\,{\rm d}\lambda \end{aligned})] || 이고 해당 영역의 넓이 [math(A)]는 ||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(\begin{aligned}A &= \biggl|-\int_{\lambda_1}^{\lambda_2}\int_{\varphi_1}^{\varphi_2} r^2\cos\varphi\,{\rm d}\varphi\,{\rm d}\lambda\biggr| \\ &= \biggl|r^2\int_{\varphi_1}^{\varphi_2}\cos\varphi\,{\rm d}\varphi\int_{\lambda_1}^{\lambda_2}{\rm d}\lambda\biggr| \\ &= r^2|\sin\varphi_2 - \sin\varphi_1||\lambda_2 - \lambda_1|\end{aligned})] || 로 주어지므로 입체각은 [math(|\sin\varphi_2 - \sin\varphi_1||\lambda_2 - \lambda_1|\,{\rm sr})]이 된다. 위도와 경도를 나타낼 때에는 보통 육십분법을 많이 쓰므로, [math(\varphi)], [math(\lambda)]가 육십분법 각이라고 하면 삼각함수의 변수가 [math({\varphi\pi}/{180\degree})]로 바뀌며 결과적으로 평방도 단위계에서는 다음과 같다. ||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math( \dfrac{180\degree}\pi\biggl|\sin\dfrac{\varphi_2\pi}{180\degree} - \sin\dfrac{\varphi_1\pi}{180\degree}\biggr||\lambda_2 - \lambda_1|)] || == 기타 == * 사람의 시야를 가늠해볼 수 있는 [[시야각]] 등 실생활에서 자주 떠올려볼 수 있는 개념임에도 불구하고 '고등학교 교육과정'에는 등장하지 않는다. * 물리학에서 선속과 관련된 물리량을 계산하다 보면 이 입체각이 등장하게 된다. 쉬운 예로, [[가우스 법칙]] 문서를 보라. * 광학에서 발광 광도를 논할 때 입체각의 개념이 사용된다. * 입체각을 이해했다면, 어떠한 물체를 단위 구면 상에 투사했을 때의 넓이라는 것도 알 수 있을 것이다. 지구 안의 관측자 입장에서 [[달]]과 [[태양]]은 거의 같은 크기로 관측되나, 지구로부터의 거리는 매우 다른데, 그렇게 관측되는 이유는 [[태양]]과 [[달]]의 입체각이 지구 안의 관측자에게 거의 같게 관측되기 때문이다. == 관련 문서 == * [[수학 관련 정보]] * [[기하학]] * [[각]], [[라디안]]