분류
1. 개요
Schur's Inequality.
슈어의 부등식이라고도 한다. 이름은 독일의 수학자 이사이 슈어의 이름을 땄다. 참고로 이 수학자는 잘 알려지지는 않았지만 그의 이름을 딴 여러가지 개념이 많다. 슈어 대수학, 슈어 곱, 슈어 테스트 등등... 이 중 슈르 부등식은 KMO와 같은 수학 경시대회를 준비한다면 보게 될 것이다. 대학 수학과에서도 슈르 부등식을 자세하게 가르치는 경우는 드물다. 그냥 수많은 부등식 중 하나이기 때문.안습 자세한 부등식의 내용은 아래와 같다.
슈어의 부등식이라고도 한다. 이름은 독일의 수학자 이사이 슈어의 이름을 땄다. 참고로 이 수학자는 잘 알려지지는 않았지만 그의 이름을 딴 여러가지 개념이 많다. 슈어 대수학, 슈어 곱, 슈어 테스트 등등... 이 중 슈르 부등식은 KMO와 같은 수학 경시대회를 준비한다면 보게 될 것이다. 대학 수학과에서도 슈르 부등식을 자세하게 가르치는 경우는 드물다. 그냥 수많은 부등식 중 하나이기 때문.
음이 아닌 실수 [math(a,b,c)][2]'에 좀 더 제한을 두어 양의 실수 [math(a,b,c)]'에 대한 따름정리를 슈르 부등식이라고 하기도 한다. 만약 [math(a,b,c)]중 하나가 0이라면 증명이 너무 간단해지기 때문.]와 [math(r>0)]에 대하여, [math(a^rleft(a-bright)left(a-cright)+b^rleft(b-cright)left(b-aright)+c^rleft(c-aright)left(c-bright)geq0)]이다. 등호는 [math(a=b=c)] 또는 [math(a,b,c)] 중 두 개는 같고 나머지 하나는 0일 때 성립한다.
2. 증명
[math(a^rleft(a-bright)left(a-cright)+b^rleft(b-cright)left(b-aright)+c^rleft(c-aright)left(c-bright))]가 대칭식이기 때문에 [math(cleq bleq a)]라고 두어도 된다.[3] 이 때, [math(fleft(aright)=a^rleft(a-cright))]라고 정의하면, 음이 아닌 실수 [math(a,b,c)]에 대하여
[math(frac{text{d}}{text{d}a}fleft(aright)={left(a^{r+1}-ca^rright)}'=left(r+1right)a^r-cra^{r-1}=left(r+1right)a^{r-1}left(a-frac{r}{r+1}cright)geq 0)]가 성립한다. 따라서 [math(fleft(aright))]는 [math(a)]에 대하여 증가함수이고, [math(fleft(aright)geq fleft(bright))]이다. 따라서
[math(a^rleft(a-bright)left(a-cright)-b^rleft(a-bright)left(b-cright)=left(a-bright)left(fleft(aright)-fleft(bright)right)>0)]이고, 여기에 항상 음이 아닌 실수 [math(c^rleft(c-aright)left(c-bright)geq 0)]를 더하면 증명하고자 하는 바가 증명된다.
[math(frac{text{d}}{text{d}a}fleft(aright)={left(a^{r+1}-ca^rright)}'=left(r+1right)a^r-cra^{r-1}=left(r+1right)a^{r-1}left(a-frac{r}{r+1}cright)geq 0)]가 성립한다. 따라서 [math(fleft(aright))]는 [math(a)]에 대하여 증가함수이고, [math(fleft(aright)geq fleft(bright))]이다. 따라서
[math(a^rleft(a-bright)left(a-cright)-b^rleft(a-bright)left(b-cright)=left(a-bright)left(fleft(aright)-fleft(bright)right)>0)]이고, 여기에 항상 음이 아닌 실수 [math(c^rleft(c-aright)left(c-bright)geq 0)]를 더하면 증명하고자 하는 바가 증명된다.
3. 일반화
이 슈르 부등식은 일반화가 존재한다. 내용은 아래와 같다.
[math(a,b,c)]가 양의 실수라 하자. 또한 [math(a,b,c)]와 [math(x,y,z)]가 비슷하게 정렬되어 있다고 가정하자.[5]이면 [math(xleq yleq z)]를 뜻한다.] 그러면, [math(aleft(x-yright)left(x-zright)+bleft(y-zright)left(y-xright)+cleft(z-xright)left(z-yright)geq0)]이 성립한다.
그런데 여기서 또 일반화가 존재한다. 아래 일반화는 2007년 루마니아의 한 수학자에 의해 증명되었다.
실수 [math(a,b,c,x,y,z)]에 대하여, [math(ageq bgeq c)]이고 [math(xgeq ygeq z)]라고 가정하자.[7]라 가정해도 된다.] 양의 실수 [math(k)]에 대하여 함수 [math(f:)]ℝ[math(to)]ℝ[math(^+_0)]가 볼록함수이거나 단조함수라 가정하자. 그러면, [math(fleft(xright)left(a-bright)^kleft(a-cright)^k+fleft(yright)left(b-aright)^kleft(b-cright)^k+fleft(zright)left(c-aright)^kleft(c-bright)^kgeq0)]이 성립한다.
제일 위에 있는 슈르의 부등식은 여기서 [math(x=a,y=b,z=c,k=1,fleft(xright)=x^r)]인 경우임을 알 수 있다.