[목차] == 개요 == {{{+1 Schur's Inequality.}}} 슈어의 부등식이라고도 한다. 이름은 독일의 수학자 이사이 슈어의 이름을 땄다. 참고로 이 수학자는 잘 알려지지는 않았지만 그의 이름을 딴 여러가지 개념이 많다. 슈어 대수학, 슈어 곱, 슈어 테스트 등등... 이 중 슈르 부등식은 [[KMO]]와 같은 수학 경시대회를 준비한다면 보게 될 것이다. 대학 수학과에서도 슈르 부등식을 자세하게 가르치는 경우는 드물다. 그냥 수많은 부등식 중 하나이기 때문. ~~안습~~ 자세한 부등식의 내용은 아래와 같다. >음이 아닌 [[실수]] [math(a,b,c)][* 음이 아닌 실수 [math(a,b,c)]'에 좀 더 제한을 두어 양의 실수 [math(a,b,c)]'에 대한 따름정리를 슈르 부등식이라고 하기도 한다. 만약 [math(a,b,c)]중 하나가 0이라면 증명이 너무 간단해지기 때문.]와 [math(r>0)]에 대하여, [math(a^r\left(a-b\right)\left(a-c\right)+b^r\left(b-c\right)\left(b-a\right)+c^r\left(c-a\right)\left(c-b\right)\geq0)]이다. 등호는 [math(a=b=c)] 또는 [math(a,b,c)] 중 두 개는 같고 나머지 하나는 0일 때 성립한다. == 증명 == [math(a^r\left(a-b\right)\left(a-c\right)+b^r\left(b-c\right)\left(b-a\right)+c^r\left(c-a\right)\left(c-b\right))]가 대칭식이기 때문에 [math(c\leq b\leq a)]라고 두어도 된다.[* 대칭식에 관한 설명은 [[인수분해]]를 참조하자.] 이 때, [math(f\left(a\right)=a^r\left(a-c\right))]라고 정의하면, 음이 아닌 실수 [math(a,b,c)]에 대하여 [math(\frac{\text{d}}{\text{d}a}f\left(a\right)={\left(a^{r+1}-ca^r\right)}'=\left(r+1\right)a^r-cra^{r-1}=\left(r+1\right)a^{r-1}\left(a-\frac{r}{r+1}c\right)\geq 0)]가 성립한다. 따라서 [math(f\left(a\right))]는 [math(a)]에 대하여 증가함수이고, [math(f\left(a\right)\geq f\left(b\right))]이다. 따라서 [math(a^r\left(a-b\right)\left(a-c\right)-b^r\left(a-b\right)\left(b-c\right)=\left(a-b\right)\left(f\left(a\right)-f\left(b\right)\right)>0)]이고, 여기에 항상 음이 아닌 실수 [math(c^r\left(c-a\right)\left(c-b\right)\geq 0)]를 더하면 증명하고자 하는 바가 증명된다. == 일반화 == 이 슈르 부등식은 일반화가 존재한다. 내용은 아래와 같다. >[math(a,b,c)]가 양의 실수라 하자. 또한 [math(a,b,c)]와 [math(x,y,z)]가 비슷하게 정렬되어 있다고 가정하자.[* 크기 순서가 같다는 뜻. 예로 [math(a\leq b\leq c)]이면 [math(x\leq y\leq z)]를 뜻한다.] 그러면, [math(a\left(x-y\right)\left(x-z\right)+b\left(y-z\right)\left(y-x\right)+c\left(z-x\right)\left(z-y\right)\geq0)]이 성립한다. 그런데 여기서 또 일반화가 존재한다. 아래 일반화는 2007년 루마니아의 한 수학자에 의해 증명되었다. >실수 [math(a,b,c,x,y,z)]에 대하여, [math(a\geq b\geq c)]이고 [math(x\geq y\geq z)]라고 가정하자.[* [math(z\geq y\geq x)]라 가정해도 된다.] 양의 실수 [math(k)]에 대하여 함수 [math(f:)]ℝ[math(\to)]ℝ[math(^+_0)]가 [[볼록함수]]이거나 단조함수라 가정하자. 그러면, [math(f\left(x\right)\left(a-b\right)^k\left(a-c\right)^k+f\left(y\right)\left(b-a\right)^k\left(b-c\right)^k+f\left(z\right)\left(c-a\right)^k\left(c-b\right)^k\geq0)]이 성립한다. 제일 위에 있는 슈르의 부등식은 여기서 [math(x=a,y=b,z=c,k=1,f\left(x\right)=x^r)]인 경우임을 알 수 있다. == 관련 문서 == * [[절대부등식]] * [[평균부등식]] * [[젠센 부등식]] [[분류:절대부등식]]