여러 종류의 일반화된 평균들, 특히 멱평균(power mean)에 대한 부등식으로 몇 가지의 버전이 있다.

중등과정 내에서는 수학Ⅱ 초반부에서 배우는 AM-GM을 좀 더 확장시켜 온갖 평균을 다 집어넣은 버전으로 소개된다. 수학을 좀 하는 아이들은 AM-GM에 더해 조화평균까지 알고 있는 경우가 많지만 그 뒤의 확장은 모르는 경우가 많다. 자세한 부등식에 들어가기 전에 먼저 몇가지 정의를 설명한다. $n$개의 양수[1] $x_1,x_2,\cdots,x_n$에 대하여,

이 셋팅에서 평균부등식은 간단히 말해 다음을 일컫는다.

교과 외 고등과정에선 다음 일반화된 버전을 보통 의미한다. 멱평균(power mean) 혹은 일반화된 평균(generalized mean)은, 확장된 실수(즉 실수에 +무한대와 -무한대를 첨가한것) $p$에 대해 다음과 같이 정의될 수 있다.

p가 0이나 무한대일 때는 극한으로 생각한다. (물론 극한이 수렴함을 증명하여아 한다.)

위의 모든 평균들은 다 이 멱평균의 특수한 예로, 최대값/제곱평균제곱근/산술평균/기하평균/조화평균/최소값은 각각 $p=+\infty, 2, 1, 0, -1, -\infty$에 대응된다. 윗버전의 완벽한 일반화라 볼 수 있는 것. 더욱 일반화하면 이런 류의 것이 다 그렇듯 가중치가 있는 버전, 적분형 버전 등도 당연히 생각할 수 있고, 가장 일반적인 측도버전은 다음일 것이다.

주의할 점은 대학 수학 이상의 정규 교과과정에서 이걸 부르는 정해진 이름은 딱히 없다는 것이다. 즉 멱평균/일반화된 평균 등의 용어가 공식적으로 확인되진 않는다. 다만, 확률변수 버전에서부터 느낄 수 있듯이 이게 필요하다면 횔더 부등식의 특수한 경우로 간주되어 등장하게 된다.

1. WLOG $a\geq b$라 가정한다. 그러면 $\max\left(a,b\right)=a=\sqrt{\frac{2a^2}{2}}\geq\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$. 즉, MAX ≥ RMS.
2. $\frac{a^2+b^2}{2}-\left(\frac{a+b}{2}\right)^2=\left(\frac{a-b}{2}\right)^2\geq0$. 즉, RMS ≥ AM.
3. $\frac{a+b}{2}- \sqrt{ab}=\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{2}\geq0$. 즉, AM ≥ GM.
4. $\sqrt{ab}-\frac{2ab}{a+b}=\frac{\sqrt{ab}}{a+b}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\geq0$. 즉, GM ≥ HM.
5. WLOG $a\geq b$라 가정한다. 그러면 $\min\left(a,b\right)=b=\frac{2}{\frac{1}{b}+\frac{1}{b}}\leq\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}=\frac{2ab}{a+b}$. 즉, HM ≥ MIN.

1. WLOG $x_1\geq x_2\geq\cdots\geq x_n$이라 가정한다. 그러면 $\max\left(x_1,x_2,\cdots,x_n\right)=x_1=\sqrt{\frac{n{x_1}^2}{n}}\geq\sqrt{\frac{{x_1}^2+{x_2}^2+\cdots+{x_n}^2}{n}}$. 곧, MAX ≥ RMS.
2. 코시-슈바르츠 부등식에 의해, $\left({x_1}^2+{x_2}^2+\cdots+{x_n}^2\right)\left(1+1+\cdots+1\right)\geq\left(x_1+x_2+\cdots+x_n\right)^2$이다. 양변을 $n^2$으로 나눠주고 정리하면, $\frac{{x_1}^2+{x_2}^2+\cdots+{x_n}^2}{n}\geq\left(\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\right)^2$. 양변에 제곱근을 씌워주면, $\sqrt{\frac{{x_1}^2+{x_2}^2+\cdots+{x_n}^2}{n}}\geq\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}$. 즉, RMS ≥ AM이 성립한다.
3. 항목 참조.[4]
4. AM-GM을 활용한다. $\frac{\sum_{k=1}^n\sqrt[n]{\frac{x_1x_2\cdots x_n}{{x_k}^n}} }{n}$$\geq1$이므로, 이를 잘 정리해주면, $\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}$$\frac{\sum_{k=1}^n\frac{1}{x_k}}{n}$$\geq1$이고, 곧, $\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}\geq\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots+\frac{1}{x_n}}$. 즉, GM ≥ HM이 성립한다.
5. WLOG $x_1\geq x_2\geq\cdots\geq x_n$이라 가정한다. 그러면 $\min\left(x_1,x_2,\cdots,x_n\right)=x_n=\frac{n}{\frac{1}{x_n}+\frac{1}{x_n}+\cdots+\frac{1}{x_n}}\leq\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots+\frac{1}{x_n}}$. 즉, HM ≥ MIN이 성립한다.

1. 우선 멱평균이 $(0,\infty)$에서 단조증가함을 보인다. 멱평균을 $p$에 대해 로그미분한 뒤, 식을 정리해 다음처럼 변형시킨다.
$\frac{d}{dp} \log M_p(x_1, \cdots, x_n) = \frac{d}{dp} \frac{ \log (\frac{x_1^p + \cdots + x_n^p}{n})}{p} = \frac{ \frac{d}{dp} \log (x_1^p + \cdots + x_n^p) }{p} - \frac{ \log (\frac{x_1^p + \cdots + x_n^p}{n})}{p^2}$
$=\frac{1}{p^2}\left( \frac{ x_1^p \log x_1^p + \cdots + x_n^p \log x_n^p} {(x_1^p + x_2^p + \cdots + x_n^p)} -\log( \frac{x_1^p + x_2^p + \cdots + x_n^p}{n} ) \right)$
형태가 복잡해 보이지만, 볼록함수 $f(x) = x \log x$와 실수쌍 $y_i = \frac{x_i^p}{x_1^p + \cdots+ x_n^p}$들에 대해 젠센 부등식을 적용하면 바로 위 식이 0 이상임을 얻을 수 있다.

2. $p<0$인 경우는 $M_p(x_1, \cdots, x_n) = M_{-p}(x_1^{-1}, x_2^{-1}, \cdots, x_n^{-1})^{-1}$을 관찰한다. 우변이 $p$에 대해 단조증가이므로 좌변도 단조증가여야 한다.

3. 마지막으로 특수값 $p=\infty, 0, -\infty$에 대해 $M_p$의 극한값이 원하는 값으로 수렴함을 보인다.
(a) 최대값: 최대값을 $M$이라고 하면 $p>0$일 때 $M^p \le (x_1^p + \cdots + x_n^p) \le nM^p$가 성립한다. 양변을 $n$으로 나누고 p제곱근을 씌운 뒤, $p \rightarrow \infty$의 극한을 보내고 샌드위치 정리를 사용한다.
(b) 최소값: 최소값을 $m$이라 하면 $p<0$일 때는 비슷하게 $m^p \le (x_1^p + \cdots + x_n^p) \le n m^p$가 성립한다. 방법은 대동소이하지만 $p$가 음수이므로 p제곱근을 씌울때 부등호방향이 바뀌는 것만 유의하면 된다.
(c) 기하평균: 로그형태 $\log M_p = \frac{ \log (x_1^p + \cdots + x_n^p)- \log n}{p}$로 바꾸어 극한 $p \rightarrow 0$을 취하면 되는데, 늘 그랬듯이 로피탈의 정리 혹은 미분계수의 정의식을 사용하면 된다. 분자를 $p$로 미분하면 $\frac{x_1^p \log x_1 + \cdots + x_n^p \log x_n}{x_1^p + \cdots + x_n^p}$이고 $p=0$일 때의 이 값은 $\frac{\log x_1 + \cdots + \log x_n}{n} = \log \sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}$이므로 $M_0(x_1, \cdots, x_n) = \sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}$이 증명된다.

실수 $\alpha>\beta$에 대해 $\mathbb{E}[X^\alpha]^{1/\alpha} \ge \mathbb{E}[X^\beta]^{1/ \beta}$을 보이면 된다.
(a) $\alpha>\beta>0$일 경우: 횔더 부등식의 기본형태 $\mathbb{E}[x^p]^{1/p} \mathbb{E}[y^q]^{1/q} \le \mathbb{E}[xy]$에서 $x = X^\beta, y = 1, p = \alpha/\beta$로 놓자. 그러면 $\mathbb{E}[X^{\alpha}]^{\beta/\alpha} \le \mathbb{E}[X^\beta]$를 얻을 수 있다.
(b) $\alpha>0>\beta$일 경우: $\gamma = (\alpha^{-1} - \beta^{-1})^{-1}$에 대해 $x = X^\gamma, y = X^{-\gamma}, p = 1 - \alpha/\beta , q = 1 - \beta/ \alpha$로 맞춰주자.
(c) $0 > \alpha > \beta$일 경우: $X^{-1}$을 대신 생각하면 (a)의 경우가 된다.

양의 실수 $a,b,c$에 대하여, $\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\geq9$가 성립한다. AM-HM에 의해, $\frac{a+b+c}{3}\geq\frac{3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}$이 성립하고, 이를 정리해주면 구하고자 하는 부등식이 증명된다. 등호는 $a=b=c$일 때 성립한다. 코시-슈바르츠 부등식이 훨씬 더 쉬운 것 같은데...?[5]