[include(틀:해석학·미적분학)] [목차] == 부정적분 == === 개요 === 복잡한 [[합성함수]]를 적분할 때 사용되는 방법이다. 보통 합성함수를 적분할 때 먼저 치환적분을 해본 후 치환적분이 먹히지 않으면 [[부분적분]]법을 쓴다. 다만, 이 방법을 적용했을 때 초등함수로 결과가 나오지 않는 함수들이 있다. 단적인 예로 [math(\dfrac{\sin x}{x} )]라거나 [math(e^{-x^2} )]이라거나..[* 이런 함수를 이른바 [[초등함수]] 표현이 불가능한 부정적분이 있다고 한다. 전자는 [[삼각 적분 함수|사인 적분 함수]], 후자는 [[오차함수]]라는 [[특수함수]]를 이용해서 적분을 표현해야 한다.] 만약 초등함수로 나타나지 않는다면 [[급수]]로 나타내서 적분하거나 [[수치해석]]을 이용할 수 있다. [math(x=g(t) )] 이고 [math(g(t) )]가 미분 가능할 때, 치환적분법은 다음과 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \int f(x) \,\mathrm{d}x = \int f\{g(t)\} \,g'(t) \,\mathrm{d}t )][* 보통 [math(t=)]([math(x)]에 관한 함수)꼴로 두는데, 이럴 때에 다시 양변에 [math(x)]에 관한 함수의 역함수를 먹여도 된다. 그러면 이 꼴이 된다.]}}} 대부분의 고등학생이라면 '''분명 기호에 불과하다고 배웠던 [math(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} )]를''', 마치 분수처럼 계산해서 [math(\mathrm{d}x = g'(t) \,\mathrm{d}t)]와 같은 식으로 [math(\mathrm{d}x)]나 [math(\mathrm{d}y)]라는 단독표현을 써서 치환적분법을 배웠을 것이다. 이것은 사실 [math(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} )]가 단순한 기호가 아닌 [[미분형식]]이라는 엄연한 [[연산자]][* 쉽게 말하면 함수]이기 때문이다. 그런데 이 미분형식은, 해당 문서를 들어가보면 알겠지만 여러 가지 미분 개념을 미리 마스터한 뒤에 배운다. 즉, 대학교를 가도 [[공업수학]]을 배우는 공대생이나, 수학과 신입생까지는 대게 고등학교와 마찬가지로 그냥 그런 게 있다 정도로만 알려준다. 이런 판국이니 고교 교육과정 입장에선 저 기호를 제대로 알려줄 수가 없는 것. 물론 지나치게 어려운 내용은 아니고 맘만 먹으면 고교 수준에서도 충분히 정의할 수 있는 개념이긴 하다. 여튼 교육 과정에는 벗어나는 방법이지만, 위 방법도 수학적으로는 문제가 없다. 추가로 치환적분법이 한 참고서[* 숨마쿰라우데 미적분2 4단원 적분법 360쪽]에 따르면 '[math(x=g(t) )]가 일대일 대응이어야 한다'라고 고교과정에서 배운다고 하는데, 이는 잘못된 내용이며 고등학교 교과서에서도 [math(x=g(t) )]라는 말 밖에 없다. Thomas 미적분학 교재에서도 [math(x=g(t) )]가 미분가능해야 한다고 설명하지, 절대로 일대일 대응 관련 이야기는 없다. 위와 같은 말이 나온 이유는, [math(x=g(t) )]가 일대일대응이 아닐경우, [math(x=g(t) )]의 증감에 따라 구간을 나눠야 하는 경우가 생기기 때문이다. 따라서 모든 경우를 생각하여 오류 없이 구간을 잘 나눈 경우에는 [math(x=g(t) )]의 일대일대응 여부는 치환적분과 상관이 없다. ==== 예제 1 ==== 다음 부정적분을 구하시오. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \int \frac{f'(x)}{f(x)} \,\mathrm{d}x )]}}} 1. 일단 [math(t=f(x) )]로 둔다. 1. 그러면 [math(f'(x)=\dfrac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x} )]이다. 1. 따라서 [math(\displaystyle \int \frac{f'(x)}{f(x)} \,\mathrm{d}x = \int \frac1t \,\mathrm{d}t)]이다. 1. 이것의 부정적분은 [math(\displaystyle \int \frac{f'\left( x \right)}{f\left( x \right)}\,\mathrm{d}x=\ln\left| f\left( x \right) \right|+ \mathsf{const.})]이다. (단, <math>\mathsf{const.}</math>는 적분상수이다.) 1. 위에서 [math(t=f(x) )]라 하였으므로, 그대로 대입하면 최종적으로 [math(\ln{|f(x)|}+C)]이 된다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \therefore \int \frac{f'(x)}{f(x)} \,\mathrm{d}x = \ln{|f(x)|}+C )]}}} ===== 예제 1-1 ===== 다음 부정적분을 구하시오. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \int \tan x \,\mathrm{d}x )]}}} '''[풀이 1]''' {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \int \tan x \,\mathrm{d}x &= \int \frac{\sin x}{\cos x} \,\mathrm{d}x \\ &= -\int \frac{(\cos x)'}{\cos x} \,\mathrm{d}x \\ &= -\ln{\left|\cos x\right|}+C \end{aligned} )]}}} '''[풀이 2]''' {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \int \tan x \,\mathrm{d}x &= \int \frac{\sec x \tan x}{\sec x} \,\mathrm{d}x \\ &= \int \frac{(\sec x)'}{\sec x} \,\mathrm{d}x \\ &= \ln{\left|\sec x\right|}+C \end{aligned} )]}}} 이 때 [math(\displaystyle \ln{\left|\sec x\right|} = \ln{\left|\frac1{\cos x}\right|} = \ln{\left|\cos x\right|^{-1}} = -\ln{\left|\cos x\right|} )]이므로 두 결과는 일치한다. ==== 치환 적분을 두 번 이상하는 경우 ==== ===== 예제 2[* 이 예제에서 [math(a=2)], [math(b=0)]이면 [math(e^x)]의 곡선의 길이를 구하는 함수가 된다.] ===== 다음 부정적분을 구하시오. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \int \sqrt{1+e^{ax+b}} \,\mathrm{d}x )]}}} [math(e^{ax+b}=t)]라고 두면 [math(\dfrac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x} = ae^{ax+b} = at)]이므로 [math(\mathrm{d}x= \dfrac{\mathrm{d}t}{at} )]로 바꾸어 대입하면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \int \sqrt{1+e^{ax+b}} \,\mathrm{d}x = \frac1a \int \frac{\sqrt{1+t}}t \,\mathrm{d}t )]}}} [math(\displaystyle \sqrt{1+t}=k)]라고 두면, [math(t=k^2-1)]이고 [math(\mathrm{d}t = 2k\,\mathrm{d}k)]이므로 이를 대입하면 ||<bgcolor=#ffffff>{{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \int \sqrt{1+e^{ax+b}} \,\mathrm{d}x &= \frac1a \int \frac{\sqrt{1+t}}t \,\mathrm{d}t \\ &= \frac1a \int \frac k{k^2-1} \cdot 2k \,\mathrm{d}k \\ &= \frac1a \int \frac{2k^2}{k^2-1} \,\mathrm{d}k \\ &= \frac1a \int \biggl( 2+\frac1{k-1}-\frac1{k+1} \biggr) \mathrm{d}k \\ &= \frac1a \biggl( 2k + \ln{\biggl| \frac{k-1}{k+1} \biggr|} \biggr) +C \\ &= \frac1a \biggl( 2\sqrt{1+t} - \ln{\biggl| \frac{\sqrt{1+t}-1}{\sqrt{1+t}+1} \biggr|} \biggr) +C \\ &= \frac1a \biggl( 2\sqrt{1+e^{ax+b}} - \ln{\biggl| \frac{\sqrt{1+e^{ax+b}}-1}{\sqrt{1+e^{ax+b}}+1} \biggr|} \biggr) +C \end{aligned} )]}}}|| 셋째줄에서 넷째줄로 넘어갈 때 [[부분분수분해]]법을 사용했다. ==== 삼각 치환 ==== 변수를 [[삼각함수]]로 치환하여 적분하는 방법이다. 대개 [math(\displaystyle \int \sqrt{a^2-x^2} \,\mathrm{d}x)]는 [math(x = a\sin t)]로, [math(\displaystyle \int \sqrt{a^2+x^2} \,\mathrm{d}x)]는 [math(x = a\tan t)]로 치환하여 적분한다. [math(\displaystyle \int \sqrt{x^2-a^2} \,\mathrm{d}x)]는 [math(x>0)]일 땐 [math(x = a\sec t)]로, [math(x<0)]일 땐 [math(x = a\csc t)]로 치환하거나 [[역삼각함수|아크시컨트, 아크코시컨트]]의 도함수를 이용하여 적분한다. 삼각치환을 할 때는 범위를 지정하는 것이 중요하다. ===== ∫ √(a²-x²) dx 꼴 ===== 다음 부정적분을 구하시오. {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle \int \sqrt{a^2-x^2} \,\mathrm{d}x )]}}} 일단 [math(\displaystyle x = a\sin t)]로 두고, [math(t)]의 범위는 [math(-\dfrac{\pi}2 \le t \le \dfrac{\pi}2)]로 둔다. 양 변을 [math(t)]에 대해서 미분하면 [math(\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = a\cos t)]이고, 이 식을 [math(\mathrm{d}x = a\cos t \,\mathrm{d}t)]로 바꾸어 본래의 적분에 대입하면 아래처럼 진행할 수 있다. ||<bgcolor=#ffffff>{{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \int \sqrt{a^2-x^2} \,\mathrm{d}x &= \int \sqrt{a^2-a^2\sin^2t} \cdot a\cos t \,\mathrm{d}t \\ &= \int \sqrt{a^2(1-\sin^2t)} \,a\cos t \,\mathrm{d}t \\ &= \int a\cos t \,\sqrt{a^2\cos^2t} \,\mathrm{d}t \\ &= a \int \cos t \cdot a\cos t \,\mathrm{d}t \qquad \biggl( \because -\frac{\pi}2 \le t \le \frac{\pi}2 \Rightarrow \cos t \ge 0 \biggr) \\ &= a^2 \int \cos^2t \,\mathrm{d}t \\ &= a^2 \int \frac{1+\cos{2t}}2 \,\mathrm{d}t \\ &= \frac{a^2}2 \biggl( t + \frac12\sin{2t} + C \biggr) \\ &= \frac{a^2}2 (t + \sin t\cos t) + C \\ &= \frac{a^2}2 \biggl( \arcsin{\frac xa} + \frac xa\cos\biggl(\arcsin{\frac xa}\biggr) \biggr) + C \\ &\quad \biggl( \because x=a\sin t \Rightarrow \frac xa=\sin t \Rightarrow t=\arcsin{\frac xa}\biggr) \end{aligned} )]}}}|| [math(\cos\biggl( \arcsin \dfrac xa \biggr) )]를 구하기 위해 [math(\sin^2t+\cos^2t=1)]에 [math(t=\arcsin{\dfrac xa} )]를 대입하면 ||<bgcolor=#ffffff>{{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \sin^2\biggl(\arcsin{\frac xa}\biggr) + \cos^2\biggl(\arcsin{\frac xa}\biggr) &= 1 \\ \biggl(\frac xa\biggr)^2 + \cos^2\biggl(\arcsin{\frac xa}\biggr) &= 1 \\ \cos^2\biggl(\arcsin{\frac xa}\biggr) &= 1 - \frac{x^2}{a^2} \\ \therefore \cos\biggl(\arcsin{\frac xa}\biggr) &= \sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}} \\ \quad \biggl( \because -\frac{\pi}2 \le t=\arcsin{\frac xa} \le \frac{\pi}2 &\Rightarrow \cos\biggl(\arcsin{\frac xa}\biggr) \ge 0 \biggr) \end{aligned} )]}}}|| 이 식을 위의 적분 결과에 대입하면 다음과 같다. ||<bgcolor=#ffffff>{{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \int \sqrt{a^2-x^2} \,\mathrm{d}x &= \frac{a^2}2 \biggl( \arcsin{\frac xa} + \frac xa\cos{\biggl(\arcsin{\frac xa}\biggr)} \biggr) + C \\ &= \frac{a^2}2 \arcsin{\frac xa} + \frac{ax}2 \sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}} + C \\ &= \frac{a^2}2 \arcsin{\frac xa} + \frac x2 \sqrt{a^2-x^2} + C \end{aligned} )]}}}|| ==== ∫ f(lnx)/x dx 꼴 ==== ===== 예제 4 ===== 다음 부정적분을 구하시오. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \int \frac{\sin{(\ln x)}}x \,\mathrm{d}x )]}}} [math(\ln x=t)]로 두면 [math(x=e^t)]이고, [math(\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=e^t)]이므로 [math(\mathrm{d}x=e^t\,\mathrm{d}t)]가 된다. 이를 위의 적분식에 대입하면 아래처럼 진행할 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \int \frac{\sin{(\ln x)}}x \,\mathrm{d}x &= \int \frac{\sin{(t)}}{e^t} \cdot e^t\,\mathrm{d}t \\ &= \int \sin t \,\mathrm{d}t \\ &= -\cos t + C \end{aligned} )]}}} [math(\ln x=t)]로 치환했었으니 다시 [math(x)]에 관한 식으로 나타내면 다음 결과를 얻을 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \therefore \int \frac{\sin{(\ln x)}}x \,\mathrm{d}x = -\cos{(\ln x)}+C )]}}} == 정적분 == === 개요 === 닫힌 구간 [math(\left[a,\,b\right] )]에서 연속인 함수 [math(f(x) )]에 대하여 미분가능한 함수 [math(g(t) )] 의 도함수 [math(g'(t) )]가 닫힌 구간 [math([\alpha,\,\beta] )]에서 연속이고 [math(a=g(\alpha),\,b=g(\beta) )]이면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \int_a^b f(x) \,\mathrm{d}x = \int_{\alpha}^{\beta} f(g(t)) \,g'(t) \,\mathrm{d}t )]}}} ==== 예제 1 ==== 다음 정적분을 구하시오. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \int_0^a \sqrt{a^2-x^2} \,\mathrm{d}x )]}}} [math(\displaystyle x = a\sin t)]로 두고 [math(t)]의 범위는 [math(-\dfrac{\pi}2 \le t \le \dfrac{\pi}2)]로 두자. 그러면 [math(x=0)]일 때 [math(t=0)]이고, [math(x=a)]일 때 [math(t=\dfrac{\pi}2 )]이다. 또한 [math(\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=a\cos t)]이므로 위의 정적분은 아래와 같이 진행 가능하다. ||<bgcolor=#ffffff>{{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \int_0^a \sqrt{a^2-x^2} \,\mathrm{d}x &= \int_0^{\pi/2} \sqrt{a^2-a^2\sin^2t} \cdot a\cos t \,\mathrm{d}t \\ &= \int_0^{\pi/2} \sqrt{a^2(1-\sin^2t)} \,a\cos t \,\mathrm{d}t \\ &= \int_0^{\pi/2} \sqrt{a^2\cos^2t} \,a\cos t \,\mathrm{d}t \\ &= \int_0^{\pi/2} a\cos t \cdot a\cos t \,\mathrm{d}t \\ &= a^2 \int_0^{\pi/2} \cos^2t \,\mathrm{d}t \\ &= a^2 \int_0^{\pi/2} \frac{1+\cos{2t}}2 \,\mathrm{d}t \\ &= \frac{a^2}2 \biggl[ t + \frac12\sin{2t} \biggr]_0^{\pi/2} \\ &= \frac{a^2}2 \biggl[ \biggl( \frac{\pi}2 + \frac12\sin{\pi} \biggr) - (0+0) \biggr] \\ &= \frac{a^2}2 \cdot \frac{\pi}2 \\ &= \frac{\pi a^2}4 \end{aligned} )]}}}|| 참고로, 이 정적분 값은 반지름이 [math(a)]인 사분원의 넓이와 같으므로[* [math(\displaystyle y=\sqrt{a^2-x^2} )]이라고 두고 양변을 제곱하면 [math(x^2+y^2=a^2 \, (y\ge0) )]이 되므로], 이를 4배하면 반지름이 [math(a)]인 원의 넓이가 [math(\pi a^{2})]이 됨을 알 수 있다. [[분류:해석학(수학)]][[분류:미적분]][[분류:나무위키 수학 프로젝트]]