[include(틀:특수함수의 목록)] '''브링 근호(Bring radical)''' 또는 초근호(Ultraradical)[* 공식 역어는 아니다. 이렇게 표현한 이유는 이미 [[테트레이션|초제곱근]]이라고 불리는 함수([math(\sqrt{x}_s = e^{(W \circ\,\ln)(x)})],테트레이션의 역함수)가 따로 있기 때문이다. 여기서 [math(W)]는 [[람베르트 W 함수|람베르트 [math(W)] 함수]]이다.]는 [[특수함수]]의 일종으로, [math(\mathrm{BR}(x))]로 표기한다. 오차 방정식(Quintic equation) {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(x^5+x+a=0 )] }}} 의 실근을 [math(\mathrm{BR}(a))]로 표기한다. [math(\mathrm{BR}(x))]의 정의는 다음과 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\mathrm{BR}(x) = -x \cdot {}_4{F}_3 \left(\dfrac{1}{5},\,\dfrac{2}{5},\,\dfrac{3}{5},\,\dfrac{4}{5};\,\dfrac{1}{2},\,\dfrac{3}{4},\,\dfrac{5}{4};\,-5\left(\dfrac{5x}{4}\right)^4\right))]}}} 여기서 [math({}_4{F}_3)]은 [[초기하함수]]이다. 해당 함수의 그래프는 아래와 같다. [[파일:브링근호_그래프_NeW.png|width=330&align=center]] [[테일러 급수]]로 전개하면 다음과 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \mathrm{BR}(-x) = \sum_{k=0}^{\infty} \dbinom{5k}{k}\frac{(-1)^{k} x^{4k+1}}{4x+1})]}}} 여기서 [math( \binom{5k}{k})]는 [[조합]]이다. 원점 대칭인 [[대칭함수|홀함수]][* 일반적인 홀함수와는 달리 [math(x > 0)]인 경우 [math(\mathrm{BR}(x) < 0)], [math(x < 0)]인 경우 [math(\mathrm{BR}(x) > 0)]이다.]로, 다음이 성립한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\mathrm{BR}(x) = -\mathrm{BR}(-x))] }}} 주 활용처는 5차 이상의 고차[[방정식]]의 풀이로, [[닐스 헨리크 아벨]]이 5차 방정식의 일반해를 구할 수 없다고 증명한 이래 뭇 수학자들이 여러 연구를 통해 찾아낸 것이다. [[Wolfram Alpha|울프럼알파]]에서는 [math(\mathrm{BR})] 대신 [[https://mathworld.wolfram.com/Ultraradical.html|5를 변형한 듯한 모양의 근호]]를 독자적으로 만들어 쓰는 듯하다. [[도함수]]는 [[역함수 정리|역함수의 미분법]] 또는 [[음함수|음함수의 미분법]]을 이용하여 다음과 같이 표현할 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\dfrac{\rm d}{{\rm d}x}\mathrm{BR}(x) =- \dfrac{1}{5[ \mathrm{BR}(x) ]^4+1})] }}} ||<table width=100%>{{{#!folding [증명] ------- 해당 함수의 정의에 따라 [math(y^5 + y + x=0)]이다. [[음함수|음함수의 미분법]]을 써 양변을 미분하면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\begin{aligned} 5y^4 \dfrac{{\rm d}y}{{\rm d}x} + \dfrac{{\rm d}y}{{\rm d}x} + 1&=0 \\ (5y^4+1)\dfrac{{\rm d}y}{{\rm d}x}&=-1 \\ \\ \therefore \dfrac{\mathrm d}{\mathrm {d} x}\mathrm{BR}(x)&=-\dfrac{1}{5y^4 +1}\\&=-\dfrac{1}{5[\mathrm{BR}(x) ]^4+1} \end{aligned})]}}} [math()] [math()] }}} || [[분류:비초등함수]][[분류:나무위키 수학 프로젝트]]