분류
1. 개요
Conservative force
어떤 힘이 한 일이 경로에 무관한 경우 그 힘을 보존력이라고 정의한다.
수학적으로 표현하면 보존력의 변위에 대한 적분은 경로독립이라는 것인데, 이 경우 이 적분한 물리량을 스칼라 함수로 나타낼 수 있다. 물리에서는 이를 퍼텐셜 에너지라고 부른다. 반면 그렇지 않은 힘을 비보존력이라고 부른다.
물체에 보존력만 작용하면 역학적 에너지가 보존되고, 비보존력이 작용해 일을 하게 되면 그 일부가 열에너지 등으로 바뀐다. 여기서 유의할 점은 비보존력이 작용해도 방향이 수직이면[1] 역학적 에너지는 보존된다.
일반적으로 중력, 탄성력, 전기력 등이 알려져 있으며, 윗 문단의 두 조건만 만족하면, 보존력이 된다.
비보존력의 가장 일반적인 예시는 마찰력 등이 있다.
어떤 힘이 한 일이 경로에 무관한 경우 그 힘을 보존력이라고 정의한다.
수학적으로 표현하면 보존력의 변위에 대한 적분은 경로독립이라는 것인데, 이 경우 이 적분한 물리량을 스칼라 함수로 나타낼 수 있다. 물리에서는 이를 퍼텐셜 에너지라고 부른다. 반면 그렇지 않은 힘을 비보존력이라고 부른다.
물체에 보존력만 작용하면 역학적 에너지가 보존되고, 비보존력이 작용해 일을 하게 되면 그 일부가 열에너지 등으로 바뀐다. 여기서 유의할 점은 비보존력이 작용해도 방향이 수직이면[1] 역학적 에너지는 보존된다.
일반적으로 중력, 탄성력, 전기력 등이 알려져 있으며, 윗 문단의 두 조건만 만족하면, 보존력이 된다.
비보존력의 가장 일반적인 예시는 마찰력 등이 있다.
2. 상세
2.1. 보존력의 조건
보존력 [math(mathbf{F} )]의 큰 특징은 퍼텐셜 에너지 [math(U )]와 다음과 같은 관계에 있다.
[math( displaystyle mathbf{F}=-boldsymbol{nabla}U )]
이 사실을 이용하면, 점 [math(mathbf{1} )]에서 점 [math(mathbf{2} )]로 이동했을 때, 보존력이 한 일 [math(W )]을 구할 수 있다.
[math( displaystyle W=int_{mathbf{1}}^{mathbf{2}} mathbf{F} cdot d mathbf{r}=int_{mathbf{1}}^{mathbf{2}} (-boldsymbol{nabla}U) cdot d mathbf{r} )]
이때,
[math( displaystyle boldsymbol{nabla}U cdot d mathbf{r}=sum_{i}frac{partial U }{partial x_{i}}dx_{i}=dU )]
가 성립한다. 이상에서
[math( displaystyle W=-int_{mathbf{1}}^{mathbf{2}} dU=-(U_{mathbf{2}}-U_{mathbf{1}}) )]
따라서 다음을 얻는다.
[math( displaystyle W=- mathit{Delta}U )]
즉, 보존력이 한 일은 퍼턴셜 에너지 변화량의 음의 값과 같다는 것을 얻는다.
윗 문단에서 보존력이 한 일은 경로에 의존하지 않는다고 하였다. 그렇기 때문에 경로가 폐곡선 형태 즉, 처음과 끝이 같다면, 보존력이 한 일은 [math( 0 )]이 돼야 한다. 즉,
[math( displaystyle oint mathbf{F} cdot d mathbf{r}=0 )]
스토크스 정리를 사용하면,
[math( displaystyle oiint (boldsymbol{nabla} times mathbf{F}) cdot d mathbf{a}=0 )]
가 되므로, 여기서 보존력이 만족해야할 조건이 나온다.
[math( displaystyle boldsymbol{nabla} times mathbf{F} = 0 )]
이상에서 어떤 힘이 보존력일 조건은 아래의 두 개로 정리된다.
[math( displaystyle mathbf{F}=-boldsymbol{nabla}U )]
이 사실을 이용하면, 점 [math(mathbf{1} )]에서 점 [math(mathbf{2} )]로 이동했을 때, 보존력이 한 일 [math(W )]을 구할 수 있다.
[math( displaystyle W=int_{mathbf{1}}^{mathbf{2}} mathbf{F} cdot d mathbf{r}=int_{mathbf{1}}^{mathbf{2}} (-boldsymbol{nabla}U) cdot d mathbf{r} )]
이때,
[math( displaystyle boldsymbol{nabla}U cdot d mathbf{r}=sum_{i}frac{partial U }{partial x_{i}}dx_{i}=dU )]
가 성립한다. 이상에서
[math( displaystyle W=-int_{mathbf{1}}^{mathbf{2}} dU=-(U_{mathbf{2}}-U_{mathbf{1}}) )]
따라서 다음을 얻는다.
[math( displaystyle W=- mathit{Delta}U )]
즉, 보존력이 한 일은 퍼턴셜 에너지 변화량의 음의 값과 같다는 것을 얻는다.
윗 문단에서 보존력이 한 일은 경로에 의존하지 않는다고 하였다. 그렇기 때문에 경로가 폐곡선 형태 즉, 처음과 끝이 같다면, 보존력이 한 일은 [math( 0 )]이 돼야 한다. 즉,
[math( displaystyle oint mathbf{F} cdot d mathbf{r}=0 )]
스토크스 정리를 사용하면,
[math( displaystyle oiint (boldsymbol{nabla} times mathbf{F}) cdot d mathbf{a}=0 )]
가 되므로, 여기서 보존력이 만족해야할 조건이 나온다.
[math( displaystyle boldsymbol{nabla} times mathbf{F} = 0 )]
이상에서 어떤 힘이 보존력일 조건은 아래의 두 개로 정리된다.
- 어떤 퍼텐셜의 음의 그레이디언트를 취하면, 해당 힘으로 환원돼야 한다: [math( displaystyle mathbf{F}=-boldsymbol{nabla}U )]
- 힘에 회전 연산을 가하면, [math(0 )]이 돼야한다: [math( boldsymbol{nabla} times mathbf{F} = 0 )]
2.2. 보존장의 에너지 보존
보존력이 작용하여 미치는 공간을 보존장(Conservative field)이라 한다. 보존장에서 총 에너지는 보존되는 지를 증명해보자.
물체가 갖는 총 에너지 [math(E )]는 운동 에너지 [math(T )]와 퍼텐셜 에너지 [math(U )]의 합이다. 즉,
[math( displaystyle E=T+U )]
으로 쓸 수 있다. 따라서
[math( displaystyle frac{dE}{dt} =frac{d}{dt}(T+U)= frac{dT}{dt}+frac{dU}{dt} )]
로 쓸 수 있다. 이때, 운동 에너지 문서에서
[math( displaystyle mathbf{F} cdot d mathbf{r}=dT )]
로 쓸 수 있음을 논의했다. 따라서
[math( displaystyle frac{dT}{dt}=mathbf{F} cdot frac{dmathbf{r}}{dt} )]
이 된다.
퍼텐셜이 위치와 시간을 의존하는 함수 즉, [math( U(mathbf{r},, t) )]로 주어진다면,
[math( displaystyle frac{dU}{dt}=sum_{i}frac{partial U }{partial x_{i}}frac{dx_{i}}{dt}+frac{partial U}{partial t}=boldsymbol{nabla}U cdot frac{dmathbf{r}}{dt}+frac{partial U}{partial t} )]
가 된다.
따라서, 본래의 식에서
[math( displaystyle frac{dE}{dt} = (mathbf{F}+boldsymbol{nabla}U) cdot frac{dmathbf{r}}{dt} + frac{partial U}{partial t} )]
이때, [math(mathbf{F} )]는 보존력이므로 [math(mathbf{F}=-boldsymbol{nabla}U )]를 만족하므로
[math( displaystyle frac{dE}{dt} = frac{partial U}{partial t} )]
가 나오게 된다.
그런데, 대부분의 퍼텐셜은 시간에 의존하지 않으므로 우변은 [math( 0 )]이 됨에 따라
[math( displaystyle frac{dE}{dt} =0 )]
따라서 보존장에서 물체의 총 에너지는 보존된다는 사실을 알 수 있다. 또한, 이것을 중등교육 수준으로 역학적 에너지 보존 법칙이라 한다.
해밀턴 역학으로 가면 이 보존력은 곧 해밀토니안 [math(mathcal H)]이 된다. 즉, 이 문단의 맨 위의 식은
[math( displaystyle mathcal{H}=T+U )]
로 바꿔 쓸 수 있다.
물체가 갖는 총 에너지 [math(E )]는 운동 에너지 [math(T )]와 퍼텐셜 에너지 [math(U )]의 합이다. 즉,
[math( displaystyle E=T+U )]
으로 쓸 수 있다. 따라서
[math( displaystyle frac{dE}{dt} =frac{d}{dt}(T+U)= frac{dT}{dt}+frac{dU}{dt} )]
로 쓸 수 있다. 이때, 운동 에너지 문서에서
[math( displaystyle mathbf{F} cdot d mathbf{r}=dT )]
로 쓸 수 있음을 논의했다. 따라서
[math( displaystyle frac{dT}{dt}=mathbf{F} cdot frac{dmathbf{r}}{dt} )]
이 된다.
퍼텐셜이 위치와 시간을 의존하는 함수 즉, [math( U(mathbf{r},, t) )]로 주어진다면,
[math( displaystyle frac{dU}{dt}=sum_{i}frac{partial U }{partial x_{i}}frac{dx_{i}}{dt}+frac{partial U}{partial t}=boldsymbol{nabla}U cdot frac{dmathbf{r}}{dt}+frac{partial U}{partial t} )]
가 된다.
따라서, 본래의 식에서
[math( displaystyle frac{dE}{dt} = (mathbf{F}+boldsymbol{nabla}U) cdot frac{dmathbf{r}}{dt} + frac{partial U}{partial t} )]
이때, [math(mathbf{F} )]는 보존력이므로 [math(mathbf{F}=-boldsymbol{nabla}U )]를 만족하므로
[math( displaystyle frac{dE}{dt} = frac{partial U}{partial t} )]
가 나오게 된다.
그런데, 대부분의 퍼텐셜은 시간에 의존하지 않으므로 우변은 [math( 0 )]이 됨에 따라
[math( displaystyle frac{dE}{dt} =0 )]
따라서 보존장에서 물체의 총 에너지는 보존된다는 사실을 알 수 있다. 또한, 이것을 중등교육 수준으로 역학적 에너지 보존 법칙이라 한다.
해밀턴 역학으로 가면 이 보존력은 곧 해밀토니안 [math(mathcal H)]이 된다. 즉, 이 문단의 맨 위의 식은
[math( displaystyle mathcal{H}=T+U )]
로 바꿔 쓸 수 있다.
2.3. 심화: 비보존력이 한 일
물체가 두 지점을 이동할 때, 일-운동에너지 정리에 따라 알짜힘이 한 일은 물체의 운동 에너지 변화량과 같다. 따라서 알짜힘이 한 일을 [math(W_{T})]라 놓으면,
[math( displaystyle W_{T}=Delta T )]
로 쓸 수 있다. 여기서 [math(T)]는 운동 에너지이다. 한편,
[math( displaystyle W_{T}=W_{N}+W_{C} )]
로 나눌 수 있는데, [math(W_{N})], [math(W_{C})]는 각각 비보존력, 보존력이 한 일이다. 위의 결과에 따라 [math(W_{C}=-Delta U)]로 퍼텐셜 에너지 변화량으로 쓸 수 있다. 이상의 결과를 종합하면,
[math( displaystyle begin{aligned} W_{C}=Delta U+Delta T end{aligned} )]
이고, 물체가 지점 1에서 2로 이동했다고 하면,
[math( displaystyle begin{aligned} Delta U+Delta T&=(U_{2}-U_{1})+(T_{2}-T_{1}) \ &=(T_{2}+U_{2})-(T_{1}+U_{1})\&=E_{2}-E_{1}\&=Delta E end{aligned} )]
이상에서
[math( displaystyle begin{aligned} W_{C}=Delta E end{aligned} )]
즉, 비보존력이 한 일은 물체의 역학적 에너지 변화량과 같음을 알 수 있는데 이는 비보존력이 작용되면 계의 역학적 에너지는 보존되지 않음을 시사한다.
[math( displaystyle W_{T}=Delta T )]
로 쓸 수 있다. 여기서 [math(T)]는 운동 에너지이다. 한편,
[math( displaystyle W_{T}=W_{N}+W_{C} )]
로 나눌 수 있는데, [math(W_{N})], [math(W_{C})]는 각각 비보존력, 보존력이 한 일이다. 위의 결과에 따라 [math(W_{C}=-Delta U)]로 퍼텐셜 에너지 변화량으로 쓸 수 있다. 이상의 결과를 종합하면,
[math( displaystyle begin{aligned} W_{C}=Delta U+Delta T end{aligned} )]
이고, 물체가 지점 1에서 2로 이동했다고 하면,
[math( displaystyle begin{aligned} Delta U+Delta T&=(U_{2}-U_{1})+(T_{2}-T_{1}) \ &=(T_{2}+U_{2})-(T_{1}+U_{1})\&=E_{2}-E_{1}\&=Delta E end{aligned} )]
이상에서
[math( displaystyle begin{aligned} W_{C}=Delta E end{aligned} )]
즉, 비보존력이 한 일은 물체의 역학적 에너지 변화량과 같음을 알 수 있는데 이는 비보존력이 작용되면 계의 역학적 에너지는 보존되지 않음을 시사한다.
3. 관련 문서
[1] 즉, 비보존력이 일을 하지 않으면