[include(틀:고전역학)] [목차] == 개요 == {{{+1 '''Conservative force'''}}} 어떤 힘이 한 일이 경로에 무관한 경우 그 힘을 보존력이라고 정의한다. 수학적으로 표현하면 보존력의 변위에 대한 적분은 경로독립이라는 것인데, 이 경우 이 적분한 물리량을 스칼라 함수로 나타낼 수 있다. 물리에서는 이를 퍼텐셜 에너지라고 부른다. 반면 그렇지 않은 힘을 비보존력이라고 부른다. 물체에 보존력만 작용하면 역학적 에너지가 보존되고, 비보존력이 작용해 일을 하게 되면 그 일부가 열에너지 등으로 바뀐다. 여기서 유의할 점은 비보존력이 작용해도 방향이 수직이면[* 즉, 비보존력이 일을 하지 않으면] 역학적 에너지는 보존된다. 일반적으로 [[중력]], [[탄성력]], [[전기력]] 등이 알려져 있으며, 윗 문단의 두 조건만 만족하면, 보존력이 된다. 비보존력의 가장 일반적인 예시는 [[마찰력]] 등이 있다. == 상세 == === 보존력의 조건 === 보존력 [math(\mathbf{F} )]의 큰 특징은 퍼텐셜 에너지 [math(U )]와 다음과 같은 관계에 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \mathbf{F}=-\boldsymbol{\nabla}U )] }}} 이 사실을 이용하면, 점 [math(\mathbf{1} )]에서 점 [math(\mathbf{2} )]로 이동했을 때, 보존력이 한 일 [math(W )]을 구할 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle W=\int_{\mathbf{1}}^{\mathbf{2}} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}=\int_{\mathbf{1}}^{\mathbf{2}} (-\boldsymbol{\nabla}U) \cdot d \mathbf{r} )] }}} 이때, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \boldsymbol{\nabla}U \cdot d \mathbf{r}=\sum_{i}\frac{\partial U }{\partial x_{i}}dx_{i}=dU )] }}} 가 성립한다. 이상에서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle W=-\int_{\mathbf{1}}^{\mathbf{2}} dU=-(U_{\mathbf{2}}-U_{\mathbf{1}}) )] }}} 따라서 다음을 얻는다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle W=- \mathit{\Delta}U )] }}} 즉, '''보존력이 한 일은 퍼턴셜 에너지 변화량의 음의 값과 같다는 것'''을 얻는다. 윗 문단에서 보존력이 한 일은 경로에 의존하지 않는다고 하였다. 그렇기 때문에 경로가 폐곡선 형태 즉, 처음과 끝이 같다면, 보존력이 한 일은 [math( 0 )]이 돼야 한다. 즉, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \oint \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}=0 )] }}} [[스토크스 정리]]를 사용하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \oiint (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{F}) \cdot d \mathbf{a}=0 )] }}} 가 되므로, 여기서 보존력이 만족해야할 조건이 나온다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{F} = 0 )] }}} 이상에서 어떤 힘이 보존력일 조건은 아래의 두 개로 정리된다. * 어떤 퍼텐셜의 음의 [[그레이디언트]]를 취하면, 해당 힘으로 환원돼야 한다: [math( \displaystyle \mathbf{F}=-\boldsymbol{\nabla}U )] * 힘에 회전 연산을 가하면, [math(0 )]이 돼야한다: [math( \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{F} = 0 )] === 보존장의 에너지 보존 === 보존력이 작용하여 미치는 공간을 '''보존장(Conservative field)'''이라 한다. 보존장에서 총 에너지는 보존되는 지를 증명해보자. 물체가 갖는 총 에너지 [math(E )]는 운동 에너지 [math(T )]와 퍼텐셜 에너지 [math(U )]의 합이다. 즉, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle E=T+U )] }}} 으로 쓸 수 있다. 따라서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \frac{dE}{dt} =\frac{d}{dt}(T+U)= \frac{dT}{dt}+\frac{dU}{dt} )] }}} 로 쓸 수 있다. 이때, [[운동 에너지]] 문서에서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}=dT )] }}} 로 쓸 수 있음을 논의했다. 따라서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \frac{dT}{dt}=\mathbf{F} \cdot \frac{d\mathbf{r}}{dt} )] }}} 이 된다. 퍼텐셜이 위치와 시간을 의존하는 함수 즉, [math( U(\mathbf{r},\, t) )]로 주어진다면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \frac{dU}{dt}=\sum_{i}\frac{\partial U }{\partial x_{i}}\frac{dx_{i}}{dt}+\frac{\partial U}{\partial t}=\boldsymbol{\nabla}U \cdot \frac{d\mathbf{r}}{dt}+\frac{\partial U}{\partial t} )] }}} 가 된다. 따라서, 본래의 식에서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \frac{dE}{dt} = (\mathbf{F}+\boldsymbol{\nabla}U) \cdot \frac{d\mathbf{r}}{dt} + \frac{\partial U}{\partial t} )] }}} 이때, [math(\mathbf{F} )]는 보존력이므로 [math(\mathbf{F}=-\boldsymbol{\nabla}U )]를 만족하므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \frac{dE}{dt} = \frac{\partial U}{\partial t} )] }}} 가 나오게 된다. 그런데, 대부분의 퍼텐셜은 시간에 의존하지 않으므로 우변은 [math( 0 )]이 됨에 따라 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \frac{dE}{dt} =0 )] }}} 따라서 '''보존장에서 물체의 총 에너지는 보존된다는 사실'''을 알 수 있다. 또한, 이것을 중등교육 수준으로 '''역학적 에너지 보존 법칙'''이라 한다. [[해밀턴 역학]]으로 가면 이 보존력은 곧 [[해밀토니안]] [math(\mathcal H)]이 된다. 즉, 이 문단의 맨 위의 식은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \mathcal{H}=T+U )] }}} 로 바꿔 쓸 수 있다. === 심화: 비보존력이 한 일 === 물체가 두 지점을 이동할 때, [[운동 에너지#s-2.1|일-운동에너지 정리]]에 따라 알짜힘이 한 일은 물체의 운동 에너지 변화량과 같다. 따라서 알짜힘이 한 일을 [math(W_{T})]라 놓으면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle W_{T}=\Delta T )] }}} 로 쓸 수 있다. 여기서 [math(T)]는 [[운동 에너지]]이다. 한편, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle W_{T}=W_{N}+W_{C} )] }}} 로 나눌 수 있는데, [math(W_{N})], [math(W_{C})]는 각각 비보존력, 보존력이 한 일이다. 위의 결과에 따라 [math(W_{C}=-\Delta U)]로 퍼텐셜 에너지 변화량으로 쓸 수 있다. 이상의 결과를 종합하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \begin{aligned} W_{C}=\Delta U+\Delta T \end{aligned} )] }}} 이고, 물체가 지점 1에서 2로 이동했다고 하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \begin{aligned} \Delta U+\Delta T&=(U_{2}-U_{1})+(T_{2}-T_{1}) \\ &=(T_{2}+U_{2})-(T_{1}+U_{1})\\&=E_{2}-E_{1}\\&=\Delta E \end{aligned} )] }}} 이상에서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \begin{aligned} W_{C}=\Delta E \end{aligned} )] }}} 즉, 비보존력이 한 일은 물체의 역학적 에너지 변화량과 같음을 알 수 있는데 이는 '''비보존력이 작용되면 계의 역학적 에너지는 보존되지 않음'''을 시사한다. == 관련 문서 == * [[물리학 관련 정보]] * [[고전역학]] * [[힘]] * [[일#s-4]] * [[퍼텐셜 에너지]] * [[해밀토니안]] [[분류:물리학]]