분류
Lebesgue space, [math(L^p)]-space
1. 개요
측도 공간 [math( (X,Sigma,mu) )]및 실수 [math(p ge 1)]가 주어졌을 때 르베그 - [math(p)]공간([math( L^{p})]공간)은 다음을 만족시키는 보렐 가측함수 [math(f : X rightarrow mathbb{R})] 혹은 [math(f : X rightarrow mathbb{C})]들의 집합을 말한다.
[math( L^p(mu) := { f : ({int_{X}}|f(x)|^p{{rm{d}}mu})^{1/p} < +infty }. )].
이 [math(L^p)] 공간을 결정하는 다음의 식을 르베그 노름 혹은 [math(L^p)]-노름이라 한다.
[math( {lVert f rVert}_{L_{p}} overset{underset{mathrm{def}}{}}{=} ({int_{X}}|f(x)|^p{{rm{d}}mu})^{1/p} )]
즉 [math(L^p)]-공간은 이 [math(L^p)]-노름이 유한한 함수들의 집합이다.
[math( L^p(mu) := { f : ({int_{X}}|f(x)|^p{{rm{d}}mu})^{1/p} < +infty }. )].
이 [math(L^p)] 공간을 결정하는 다음의 식을 르베그 노름 혹은 [math(L^p)]-노름이라 한다.
[math( {lVert f rVert}_{L_{p}} overset{underset{mathrm{def}}{}}{=} ({int_{X}}|f(x)|^p{{rm{d}}mu})^{1/p} )]
즉 [math(L^p)]-공간은 이 [math(L^p)]-노름이 유한한 함수들의 집합이다.
유한개의 원소에 대해서는 초등적으로도 정의할 수 있는데 벡터 [math( x = (a_{1},a_{2},......a_{n}) )]에 대해 [math( {lVert x rVert}_{L_{p}} = (|a_{1}|^p+|a_{2}|^p+......+|a_{n}|^p)^{1/p} )] 로 정의한다.
1.1. 정확한 정의
측도론의 관점에서는 [math(L^p)]-노름은 함수가 0이 아니어도, 함수값이 0과 다른 집합이 측도 0이기만 하면 0이 된다. 이러한 함수들은 [math(L^p)]-공간을 생각할 때는 0으로 간주한다. 엄밀하게 이야기하자면 [math(mathscr{L}^p)]를 [math(L^p)]-노름이 유한한 함수들의 공간, [math(mathscr{N})]을 [math(L^p)]-노름이 0인 함수들의 공간으로 정의했을 때, [math(L^p = mathscr{L}^p/mathscr{N})]으로 생각할 수 있다. 이 관점에서는 [math(L^p)] 공간의 원소들은 거의 모든 곳에서 같은 함수들의 동치류인 셈이다.
1.2. [math(L^{infty})]-공간
[math(L^{infty})] 노름은 함수의 최대값을 측도 공간에 맞추어 일반화한 '실질적 최댓값'의 개념으로, 다음처럼 정의된다.
[math(displaystyle | f|_{infty} = inf { M : mu(|f|>M)=0 })]
통상적인 최대값의 경우 측도 0인 집합에서 함수값이 끝없이 커지면 거의 모든 점에서 [math(f=g)]일지라도 최대값이 다를 수 있기 때문에, 그것을 막으려 변경된 정의이다. 거의 모든 점에서 [math(f=g)]이면 [math(L^{infty})] 노름은 동일하며, 이것 덕분에 [math(L^{infty})] 노름이 유한한 집합 [math(L^{infty})]-공간을 비슷하게 정의할 수 있다.
2. 성질
별도의 서술이 없으면 [math(p in [1, infty])]로 가정하자.
- [math(L^p)]-공간은 노름에 대한 완비 공간이다. 즉 임의의 코시 수열이 수렴한다.
완비인 노름 공간을 바나흐 공간(Banach space)이라 부른다. - [math(L^2)]-노름은 내적이 되고, [math(L^2)]-공간은 완비 내적 공간인 힐베르트 공간(Hilbert space)이 된다.
2.1. [math(L^p)] 공간 사이의 관계
- 일반적으로 [math(L^p)]공간 사이에는 포함관계가 없다. 하지만 [math(1 < p_1 < q < p_2)]에 대해 [math(L^{p_1} cap L^{p_2} subset L^q subset L^{p_1} + L^{p_2})]은 성립한다.
- 유한차원 공간이 아니면 [math(p)]가 다를 때 [math(L^p)] 공간은 단순히 공간의 전체집합만 다른 것이 아니라 공간의 위상(topology)이 달라진다. 즉 [math(f, f_i in L^{p_1} cap L^{p_2})]에 대해 명제 [math( | f - f_i|_{p_1} rightarrow 0)]과 [math( | f - f_i|_{p_2} rightarrow 0)] 사이에는 아무런 관계가 없다.
- 다만 확률공간([math(mu(X)=1)]인 공간)에선 [math(p_1<p_2)]이면 [math(L^{p_2} subset L^{p_1})]의 (위상공간으로서의) 포함관계가 성립한다. 또한 확률공간에서는 [math(L^{infty})]-노름은 [math(p rightarrow infty)]일 때 [math(L^p)]-노름의 극한이 된다.
- 리츠 쌍대성(Riesz duality): [math(1 < p<infty)]에 대해 [math(L^p)]의 쌍대공간은 [math(L^q)]로 주어진다. 여기서 [math(q)]는 [math(p^{-1}+q^{-1}=1)]을 만족하는 횔더 부등식에 등장하는 양수로, 보통 횔더 켤레(Holder conjugate)라 불린다. 이 쌍대성은 [math(L^1)]과 [math(L^{infty})]에선 성립하지 않는데, [math((L^1)^{*} = L^{infty})]이지만 [math((L^{infty})^{*} neq L^1)]이기 때문이다.
- [math(L^p)]-노름은 로그-볼록(log-convex)이다. 즉 [math(p>1)]에 대해 [math(log |f|_{p})]는 볼록함수이다.
- 리츠 보간 정리(Riesz interpolation theorem)
주어진 지수 [math(1 le p_1<p_2 le infty,1 le q_1<q_2 le infty)]에 연관된 작용소 [math(T : L^{p_1} + L^{p_2} rightarrow L^{q_1} + L^{q_2})]가 [math(T(L^{p_1}) subseteq L^{q_1})], [math(T(L^{p_2}) subseteq L^{q_2})]을 만족하고 정의역 위에서 유계일 때, 임의의 [math(0<lambda<1)]과
[math( displaystyle (p,q)= left( frac{lambda}{p_1} + frac{1-lambda}{p_2} right)^{-1}, left( frac{lambda}{q_1} + frac{1-lambda}{q_2} right)^{-1})]
에 대해서 [math(T)]는 [math(L^{p} rightarrow L^{q})]로의 잘 정의된 유계 연산자이며, 그 크기는 다음의 식으로 제한된다.
[math( displaystyle |T|_{L^p}| le |T|_{L^{p_1}} |^{lambda} |T|_{L^{p_2}} |^{1-lambda} )]
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- 푸리에 변환은 [math(1 le p le 2)]이면 [math(L^p rightarrow L^q)] 위에서 잘 정의되며, 특별히 [math(L^2 rightarrow L^2)] 범위에서는 동형사상(isomorphism)이 된다.
2.2. 실수 위에서의 [math(L^p)]-공간
3. 쓰임새
편미분방정식을 전공하지 않으면 흔히 보는 것은 [math(L^1, L^2, L^{infty})] 정도일 것이다.
이 중 [math(L^2)] 공간은 많은 분야에서 특별한 지위를 누리고 있는데, [math(L^p)] 공간 중에서 유일하게 내적을 논할 수 있는 공간이 [math(L^2)]이기 때문이다. 일반적인 작용소를 분석하기 가장 쉬운 공간이 스펙트럼 정리의 위력을 자유자재로 사용할 수 있는 힐베르트 공간이며, 많은 이계 미분작용소[1]는 특정 가중치가 주어진 변형된 [math(L^2)] 공간에서의 에르미트 연산자로 간주될 수 있으므로 이 접근 방식은 상당히 범용적인 방법이다. 꼭 미분방정식이 아니더라도 [math(L^2)]는 푸리에 변환이 연산자로 정의되는 유일한 공간인 등등의 여러 가지 특수성을 지니고 있다. 해석학 전공자가 아니라면 이러한 내용들의 응용 예시 중 제일 유명하고 중요한 경우인 양자역학에서 [math(L^2)] 공간을 제일 자주 보게 될 것이다. 양자역학 자체가 내적(브라켓)과 연산자를 힐베르트 공간[2]공간으로 정의되지 않는 것도 많으므로 주의하자.], 위에서 다루는 내용 위에 쌓아올려진 학문이기 때문.
[math(L^1)]과 [math(L^{infty})] 공간은 정의 자체가 매우 직관적이기 때문에 제일 먼저 배우기도 하며, 유계성을 다루는 곳에서 외려 [math(L^2)]보다도 훨씬 자연스럽게 등장하는 경우가 많다. 다만 연산자로서의 성질을 다수 희생해야 하는 단점이 있어 의외로 [math(L^2)]보다 다루기 불편한 상황들도 있다. 통계학이나 최적화 이론 등등의 응용수학에선 선형 계획법(linear programming) 형태의 대부분 문제에서 [math(L^1)]이나 [math(L^{infty})] 노름이 적용되고, 이차형식과 유클리드 노름을 다룬다면 [math(L^2)] 공간이 나오는 경우가 많다. 보통 [math(L^2)] 노름은 미분에 대해 최적화하기가 쉽지만 계산하긴 어렵고, [math(L^1)]이나 [math(L^{infty})] 노름은 반대의 성질을 가지게 된다.
확률론에서의 적률(모멘트, moment)을 높은 차수까지 요구한다면 그 차수만큼의 [math(L^n)]을 요구할 수 있겠지만, 부득이한 상황이 아니고선 적절한 방법으로 꼬리를 잘라내고 일반적인 확률변수에 대해 확장하는 것이 요구되기 때문에 [math(L^2)]를 넘어서는 공간이 잘 나오지는 않는 편이다.
해석학 내에선 [math(L^p)] 공간은 비교적 단순한 편으로, 더 다양한 상황을 묘사하기 위해선 도함수 등등에 조금 더 다양한 조건이 붙어 있는 여러 가지 함수공간을 생각하기도 한다. 모든 차수의 도함수가 [math(L^p)]에 있는 소볼레프 공간(Sobolev space)이 대표적인 예이다. 이런 상황에서도 대부분의 사람들이 [math(p=1,2,infty)]가 아닌 다른 특정한 차수의([math(L^3)], [math(L^4)] 같은) 공간을 볼 일은 별로 없다. 특정 편미분방정식을 전공한다면 이야기는 또 달라질 수 있겠지만...
이 중 [math(L^2)] 공간은 많은 분야에서 특별한 지위를 누리고 있는데, [math(L^p)] 공간 중에서 유일하게 내적을 논할 수 있는 공간이 [math(L^2)]이기 때문이다. 일반적인 작용소를 분석하기 가장 쉬운 공간이 스펙트럼 정리의 위력을 자유자재로 사용할 수 있는 힐베르트 공간이며, 많은 이계 미분작용소[1]는 특정 가중치가 주어진 변형된 [math(L^2)] 공간에서의 에르미트 연산자로 간주될 수 있으므로 이 접근 방식은 상당히 범용적인 방법이다. 꼭 미분방정식이 아니더라도 [math(L^2)]는 푸리에 변환이 연산자로 정의되는 유일한 공간인 등등의 여러 가지 특수성을 지니고 있다. 해석학 전공자가 아니라면 이러한 내용들의 응용 예시 중 제일 유명하고 중요한 경우인 양자역학에서 [math(L^2)] 공간을 제일 자주 보게 될 것이다. 양자역학 자체가 내적(브라켓)과 연산자를 힐베르트 공간[2]공간으로 정의되지 않는 것도 많으므로 주의하자.], 위에서 다루는 내용 위에 쌓아올려진 학문이기 때문.
[math(L^1)]과 [math(L^{infty})] 공간은 정의 자체가 매우 직관적이기 때문에 제일 먼저 배우기도 하며, 유계성을 다루는 곳에서 외려 [math(L^2)]보다도 훨씬 자연스럽게 등장하는 경우가 많다. 다만 연산자로서의 성질을 다수 희생해야 하는 단점이 있어 의외로 [math(L^2)]보다 다루기 불편한 상황들도 있다. 통계학이나 최적화 이론 등등의 응용수학에선 선형 계획법(linear programming) 형태의 대부분 문제에서 [math(L^1)]이나 [math(L^{infty})] 노름이 적용되고, 이차형식과 유클리드 노름을 다룬다면 [math(L^2)] 공간이 나오는 경우가 많다. 보통 [math(L^2)] 노름은 미분에 대해 최적화하기가 쉽지만 계산하긴 어렵고, [math(L^1)]이나 [math(L^{infty})] 노름은 반대의 성질을 가지게 된다.
확률론에서의 적률(모멘트, moment)을 높은 차수까지 요구한다면 그 차수만큼의 [math(L^n)]을 요구할 수 있겠지만, 부득이한 상황이 아니고선 적절한 방법으로 꼬리를 잘라내고 일반적인 확률변수에 대해 확장하는 것이 요구되기 때문에 [math(L^2)]를 넘어서는 공간이 잘 나오지는 않는 편이다.
해석학 내에선 [math(L^p)] 공간은 비교적 단순한 편으로, 더 다양한 상황을 묘사하기 위해선 도함수 등등에 조금 더 다양한 조건이 붙어 있는 여러 가지 함수공간을 생각하기도 한다. 모든 차수의 도함수가 [math(L^p)]에 있는 소볼레프 공간(Sobolev space)이 대표적인 예이다. 이런 상황에서도 대부분의 사람들이 [math(p=1,2,infty)]가 아닌 다른 특정한 차수의([math(L^3)], [math(L^4)] 같은) 공간을 볼 일은 별로 없다. 특정 편미분방정식을 전공한다면 이야기는 또 달라질 수 있겠지만...
4. [math(0<p<1)]이면?
지수 [math(p)]가 1보다 작아도 [math(L^p)]공간을 비슷하게 정의할 수 있다. 다만 [math(L^p)]-노름은 삼각부등식을 만족시키지 못해 더 이상 노름이 되지 못한다.