{{{+1 Lebesgue space, [math(L^p)]-space}}} [목차] == 개요 == 측도 공간 [math( (X,\Sigma,\mu) )]및 실수 [math(p \ge 1)]가 주어졌을 때 르베그 - [math(p)]공간([math( L^{p})]공간)은 다음을 만족시키는 보렐 가측함수 [math(f : X \rightarrow \mathbb{R})] 혹은 [math(f : X \rightarrow \mathbb{C})]들의 집합을 말한다. {{{+1 [math( L^p(\mu) := \{ f : ({\int_{X}}|f(x)|^p{{\rm{d}}\mu})^{1/p} < +\infty \}. )]}}}. 이 [math(L^p)] 공간을 결정하는 다음의 식을 '''르베그 노름''' 혹은 '''[math(L^p)]-노름'''이라 한다. {{{+1 [math( {\lVert f \rVert}_{L_{p}} \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} ({\int_{X}}|f(x)|^p{{\rm{d}}\mu})^{1/p} )]}}} 즉 [math(L^p)]-공간은 이 [math(L^p)]-노름이 유한한 함수들의 집합이다. 유한개의 원소에 대해서는 초등적으로도 정의할 수 있는데 벡터 [math( x = (a_{1},a_{2},......a_{n}) )]에 대해 [math( {\lVert x \rVert}_{L_{p}} = (|a_{1}|^p+|a_{2}|^p+......+|a_{n}|^p)^{1/p} )] 로 정의한다. === 정확한 정의 === [[측도론]]의 관점에서는 [math(L^p)]-노름은 함수가 0이 아니어도, 함수값이 0과 다른 집합이 측도 0이기만 하면 0이 된다. 이러한 함수들은 [math(L^p)]-공간을 생각할 때는 0으로 간주한다. 엄밀하게 이야기하자면 [math(\mathscr{L}^p)]를 [math(L^p)]-노름이 유한한 함수들의 공간, [math(\mathscr{N})]을 [math(L^p)]-노름이 0인 함수들의 공간으로 정의했을 때, [math(L^p = \mathscr{L}^p/\mathscr{N})]으로 생각할 수 있다. 이 관점에서는 [math(L^p)] 공간의 원소들은 거의 모든 곳에서 같은 함수들의 동치류인 셈이다. === [math(L^{\infty})]-공간 === [math(L^{\infty})] 노름은 함수의 최대값을 측도 공간에 맞추어 일반화한 '실질적 최댓값'의 개념으로, 다음처럼 정의된다. [math(\displaystyle \| f\|_{\infty} = \inf \{ M : \mu(|f|>M)=0 \})] 통상적인 최대값의 경우 측도 0인 집합에서 함수값이 끝없이 커지면 거의 모든 점에서 [math(f=g)]일지라도 최대값이 다를 수 있기 때문에, 그것을 막으려 변경된 정의이다. 거의 모든 점에서 [math(f=g)]이면 [math(L^{\infty})] 노름은 동일하며, 이것 덕분에 [math(L^{\infty})] 노름이 유한한 집합 [math(L^{\infty})]-공간을 비슷하게 정의할 수 있다. == 성질 == 별도의 서술이 없으면 [math(p \in [1, \infty])]로 가정하자. * [math(L^p)]-공간은 덧셈과 상수배에 닫혀 있는 [[벡터 공간]]이며, [math(L^p)]-노름은 이 위에서 잘 정의된 [[노름]](norm)이 된다. [math(L^p)]-노름의 [[삼각부등식]]을 증명하기 위해서는 [[횔더 부등식]]과 이를 이용한 [[민코프스키 부등식]]이 사용된다. * [math(L^p)]-공간은 노름에 대한 완비 공간이다. 즉 임의의 코시 수열이 수렴한다. 완비인 노름 공간을 '''바나흐 공간'''(Banach space)이라 부른다. * [math(L^2)]-노름은 내적이 되고, [math(L^2)]-공간은 완비 내적 공간인 '''힐베르트 공간'''(Hilbert space)이 된다. === [math(L^p)] 공간 사이의 관계 === * 일반적으로 [math(L^p)]공간 사이에는 포함관계가 없다. 하지만 [math(1 < p_1 < q < p_2)]에 대해 [math(L^{p_1} \cap L^{p_2} \subset L^q \subset L^{p_1} + L^{p_2})]은 성립한다. * 유한차원 공간이 아니면 [math(p)]가 다를 때 [math(L^p)] 공간은 단순히 공간의 전체집합만 다른 것이 아니라 공간의 위상(topology)이 달라진다. 즉 [math(f, f_i \in L^{p_1} \cap L^{p_2})]에 대해 명제 [math( \| f - f_i\|_{p_1} \rightarrow 0)]과 [math( \| f - f_i\|_{p_2} \rightarrow 0)] 사이에는 아무런 관계가 없다. * 다만 확률공간([math(\mu(X)=1)]인 공간)에선 [math(p_1<p_2)]이면 [math(L^{p_2} \subset L^{p_1})]의 (위상공간으로서의) 포함관계가 성립한다. 또한 확률공간에서는 [math(L^{\infty})]-노름은 [math(p \rightarrow \infty)]일 때 [math(L^p)]-노름의 극한이 된다. * '''리츠 쌍대성'''(Riesz duality): [math(1 < p<\infty)]에 대해 [math(L^p)]의 쌍대공간은 [math(L^q)]로 주어진다. 여기서 [math(q)]는 [math(p^{-1}+q^{-1}=1)]을 만족하는 [[횔더 부등식]]에 등장하는 양수로, 보통 '''횔더 켤레'''(Holder conjugate)라 불린다. 이 쌍대성은 [math(L^1)]과 [math(L^{\infty})]에선 성립하지 않는데, [math((L^1)^{*} = L^{\infty})]이지만 [math((L^{\infty})^{*} \neq L^1)]이기 때문이다. * [math(L^p)]-노름은 로그-볼록(log-convex)이다. 즉 [math(p>1)]에 대해 [math(\log \|f\|_{p})]는 [[볼록함수]]이다. * '''리츠 보간 정리'''(Riesz interpolation theorem) ||주어진 지수 [math(1 \le p_1<p_2 \le \infty,1 \le q_1<q_2 \le \infty)]에 연관된 작용소 [math(T : L^{p_1} + L^{p_2} \rightarrow L^{q_1} + L^{q_2})]가 [math(T(L^{p_1}) \subseteq L^{q_1})], [math(T(L^{p_2}) \subseteq L^{q_2})]을 만족하고 정의역 위에서 유계일 때, 임의의 [math(0<\lambda<1)]과 [math( \displaystyle (p,q)= \left( \frac{\lambda}{p_1} + \frac{1-\lambda}{p_2} \right)^{-1}, \left( \frac{\lambda}{q_1} + \frac{1-\lambda}{q_2} \right)^{-1})] 에 대해서 [math(T)]는 [math(L^{p} \rightarrow L^{q})]로의 잘 정의된 유계 연산자이며, 그 크기는 다음의 식으로 제한된다. [math( \displaystyle \|T|_{L^p}\| \le \|T|_{L^{p_1}} \|^{\lambda} \|T|_{L^{p_2}} \|^{1-\lambda} )] || * [[푸리에 변환]]은 [math(1 \le p \le 2)]이면 [math(L^p \rightarrow L^q)] 위에서 잘 정의되며, 특별히 [math(L^2 \rightarrow L^2)] 범위에서는 동형사상(isomorphism)이 된다. === 실수 위에서의 [math(L^p)]-공간 === * [[연속함수]]나 [[매끄러움|매끄러운]] 함수(smooth functions)들의 집합은 [math(L^p)]의 조밀한 부분집합을 이룬다. 즉 임의의 [math(\epsilon>0)]과 [math(f \in L^p)]에 대해, [math(\|f - g\|_{p} \le \epsilon)]인 매끄러운 함수 [math(g \in L^p)]가 존재한다. == 쓰임새 == 편미분방정식을 전공하지 않으면 흔히 보는 것은 [math(L^1, L^2, L^{\infty})] 정도일 것이다. 이 중 [math(L^2)] 공간은 많은 분야에서 특별한 지위를 누리고 있는데, [math(L^p)] 공간 중에서 유일하게 내적을 논할 수 있는 공간이 [math(L^2)]이기 때문이다. 일반적인 작용소를 분석하기 가장 쉬운 공간이 [[스펙트럼 정리]]의 위력을 자유자재로 사용할 수 있는 [[힐베르트 공간]]이며, 많은 이계 미분작용소[* 정확히 말하면 타원 작용소(elliptic operator)들]는 특정 가중치가 주어진 변형된 [math(L^2)] 공간에서의 [[에르미트 연산자]]로 간주될 수 있으므로 이 접근 방식은 상당히 범용적인 방법이다. 꼭 [[미분방정식]]이 아니더라도 [math(L^2)]는 [[푸리에 변환]]이 연산자로 정의되는 유일한 공간인 등등의 여러 가지 특수성을 지니고 있다. 해석학 전공자가 아니라면 이러한 내용들의 응용 예시 중 제일 유명하고 중요한 경우인 [[양자역학]]에서 [math(L^2)] 공간을 제일 자주 보게 될 것이다. 양자역학 자체가 내적(브라켓)과 연산자를 힐베르트 공간[* 다만 양자역학의 힐베르트 공간 중에서도 [math(L^2)]공간으로 정의되지 않는 것도 많으므로 주의하자.], 위에서 다루는 내용 위에 쌓아올려진 학문이기 때문. [math(L^1)]과 [math(L^{\infty})] 공간은 정의 자체가 매우 직관적이기 때문에 제일 먼저 배우기도 하며, 유계성을 다루는 곳에서 외려 [math(L^2)]보다도 훨씬 자연스럽게 등장하는 경우가 많다. 다만 연산자로서의 성질을 다수 희생해야 하는 단점이 있어 의외로 [math(L^2)]보다 다루기 불편한 상황들도 있다. 통계학이나 최적화 이론 등등의 응용수학에선 선형 계획법(linear programming) 형태의 대부분 문제에서 [math(L^1)]이나 [math(L^{\infty})] 노름이 적용되고, 이차형식과 유클리드 노름을 다룬다면 [math(L^2)] 공간이 나오는 경우가 많다. 보통 [math(L^2)] 노름은 미분에 대해 최적화하기가 쉽지만 계산하긴 어렵고, [math(L^1)]이나 [math(L^{\infty})] 노름은 반대의 성질을 가지게 된다. 확률론에서의 적률(모멘트, moment)을 높은 차수까지 요구한다면 그 차수만큼의 [math(L^n)]을 요구할 수 있겠지만, 부득이한 상황이 아니고선 적절한 방법으로 꼬리를 잘라내고 일반적인 확률변수에 대해 확장하는 것이 요구되기 때문에 [math(L^2)]를 넘어서는 공간이 잘 나오지는 않는 편이다. 해석학 내에선 [math(L^p)] 공간은 비교적 단순한 편으로, 더 다양한 상황을 묘사하기 위해선 도함수 등등에 조금 더 다양한 조건이 붙어 있는 여러 가지 함수공간을 생각하기도 한다. 모든 차수의 도함수가 [math(L^p)]에 있는 소볼레프 공간(Sobolev space)이 대표적인 예이다. 이런 상황에서도 대부분의 사람들이 [math(p=1,2,\infty)]가 아닌 다른 특정한 차수의([math(L^3)], [math(L^4)] 같은) 공간을 볼 일은 별로 없다. 특정 편미분방정식을 전공한다면 이야기는 또 달라질 수 있겠지만... == [math(0<p<1)]이면? == 지수 [math(p)]가 1보다 작아도 [math(L^p)]공간을 비슷하게 정의할 수 있다. 다만 [math(L^p)]-노름은 삼각부등식을 만족시키지 못해 더 이상 노름이 되지 못한다. [[분류:해석학(수학)]]