1. 개요
根과 係數의 關係
계수가 실수인 [math(n)]차방정식의 근과 계수 사이에는 수학적 관계가 성립한다. 이를 대한민국 수학과 교육과정에서는 근과 계수의 관계라고 하는데, 보통 '근과 계수의 관계'라고 하면 이차방정식의 두 근의 합 또는 곱을 방정식의 계수로 나타내는 것을 말한다.[1] [math(n)]중근일 경우에는 같은 값의 근이 [math(boldsymbol n)]개인 것으로 보아 '[math(n)]개의 근'의 합과 곱을 따지면 되며, 실근이든 허근이든 상관없이 성립한다.
대학 이상의 과정에선 일반적인 [math(n)]차방정식에 대한 버전을 비에타 정리, 비에타 공식(Vieta's formula)이라고 하며, 영미권 교육과정에서는 이차방정식 및 삼차방정식의 경우도 이 이름으로 지칭한다.
계수가 실수인 [math(n)]차방정식의 근과 계수 사이에는 수학적 관계가 성립한다. 이를 대한민국 수학과 교육과정에서는 근과 계수의 관계라고 하는데, 보통 '근과 계수의 관계'라고 하면 이차방정식의 두 근의 합 또는 곱을 방정식의 계수로 나타내는 것을 말한다.[1] [math(n)]중근일 경우에는 같은 값의 근이 [math(boldsymbol n)]개인 것으로 보아 '[math(n)]개의 근'의 합과 곱을 따지면 되며, 실근이든 허근이든 상관없이 성립한다.
대학 이상의 과정에선 일반적인 [math(n)]차방정식에 대한 버전을 비에타 정리, 비에타 공식(Vieta's formula)이라고 하며, 영미권 교육과정에서는 이차방정식 및 삼차방정식의 경우도 이 이름으로 지칭한다.
2. 이차방정식
이차방정식 [math(ax^2+bx+c=0 ,, (aneq 0))]의 두 근을 각각 [math(alpha)], [math(beta)]라 하면
- 두 근의 합: [math(alpha+beta=-dfrac{b}{a})]
- 두 근의 곱: [math(alphabeta=dfrac{c}{a})]
- 두 근의 차: [math(|alpha-beta|=biggl|dfrac{sqrt{b^2-4ac}}{a}biggr|)]
저 식에서 [math(alpha)]와 [math(beta)]의 자리를 바꿔도 [math(alpha)]와 [math(beta)]가 이차방정식의 두 근임은 변하지 않으며, 두 근의 합, 곱, 차 역시 변하지 않는다. 또한, 이차방정식의 근이 허근일 때 두 근은 켤레복소수이기 때문에 두 근의 합과 곱은 결국 모두 실수가 된다.
2.1. 증명 1
이차방정식의 근의 공식에 의하여
[math(begin{aligned} alpha&=dfrac{-b+sqrt{b^2-4ac}}{2a} \ beta&=dfrac{-b-sqrt{b^2-4ac}}{2a} end{aligned})]
로 놓으면
[math(begin{aligned} alpha+beta&=biggl( frac{-b+sqrt{b^2-4ac}}{2a} biggr)+biggl( frac{-b-sqrt{b^2-4ac}}{2a} biggr)\&=-dfrac{b}{a} \ \ alphabeta&=biggl( frac{-b+sqrt{b^2-4ac}}{2a} biggr)biggl( frac{-b-sqrt{b^2-4ac}}{2a} biggr) \&=biggl(-frac{b}{2a} biggr)^{2}-biggl(frac{sqrt{b^2-4ac}}{2a} biggr)^{2} \&=frac{c}{a} \ \ |alpha-beta|&=biggl| frac{-b+sqrt{b^2-4ac}}{2a} - frac{-b-sqrt{b^2-4ac}}{2a} biggr| \&=biggl|displaystylefrac{sqrt{b^2-4ac}}{a}biggr| end{aligned})]
[math(begin{aligned} alpha&=dfrac{-b+sqrt{b^2-4ac}}{2a} \ beta&=dfrac{-b-sqrt{b^2-4ac}}{2a} end{aligned})]
로 놓으면
[math(begin{aligned} alpha+beta&=biggl( frac{-b+sqrt{b^2-4ac}}{2a} biggr)+biggl( frac{-b-sqrt{b^2-4ac}}{2a} biggr)\&=-dfrac{b}{a} \ \ alphabeta&=biggl( frac{-b+sqrt{b^2-4ac}}{2a} biggr)biggl( frac{-b-sqrt{b^2-4ac}}{2a} biggr) \&=biggl(-frac{b}{2a} biggr)^{2}-biggl(frac{sqrt{b^2-4ac}}{2a} biggr)^{2} \&=frac{c}{a} \ \ |alpha-beta|&=biggl| frac{-b+sqrt{b^2-4ac}}{2a} - frac{-b-sqrt{b^2-4ac}}{2a} biggr| \&=biggl|displaystylefrac{sqrt{b^2-4ac}}{a}biggr| end{aligned})]
2.2. 증명 2
이차방정식 [math(ax^2+bx+c=0)]의 좌변을 인수분해하여 전개하면
[math(displaystyle a(x-alpha)(x-beta)=0)]
한편,
[math(displaystyle ax^2+bx+c=aleft(x^2+dfrac{b}{a}x+dfrac{c}{a}right)=0)]
이므로 계수비교법에 의하여 위의 관계가 성립한다.
[math(displaystyle a(x-alpha)(x-beta)=0)]
[math(displaystyle a{x^2-(alpha+beta)x+alphabeta}=0)]
한편,
[math(displaystyle ax^2+bx+c=aleft(x^2+dfrac{b}{a}x+dfrac{c}{a}right)=0)]
이므로 계수비교법에 의하여 위의 관계가 성립한다.
2.3. 증명 3
두 근의 합과 곱 부분이 증명된 상태에서, 두 근의 차는 다음과 같은 곱셈 공식으로 유도할 수 있다.
여기에서 양변에 제곱근을 취하면 위의 관계가 유도된다.
[math(begin{aligned}(alpha-beta)^2&=(alpha+beta)^2-4alphabeta\&=left(-dfrac{b}{a}right)^2-dfrac{4c}{a}\&=dfrac{b^2-4ac}{a^2}end{aligned})]
여기에서 양변에 제곱근을 취하면 위의 관계가 유도된다.
3. 삼차방정식
삼차방정식 [math(ax^3+bx^2+cx+d=0 ,,(aneq 0))]의 세 근을 [math(alpha)], [math(beta)], [math(gamma)]라 하면
- 세 근의 합: [math(alpha+beta+gamma=-dfrac{b}{a})]
- 두 근끼리의 곱의 합: [math(alphabeta+betagamma+gammaalpha=dfrac{c}{a})]
- 세 근의 곱: [math(alphabetagamma=-dfrac{d}{a})]
3.1. 증명
삼차방정식 [math(ax^3+bx^2+cx+d=0)]의 좌변을 인수분해하여 전개하면
[math(displaystyle a(x-alpha)(x-beta)(x-gamma)=0)]
이 된다. 한편,
[math(displaystyle ax^3+bx^2+cx+d=aleft(x^3+displaystyle{frac{b}{a}}x^2+displaystyle{frac{c}{a}}x+displaystyle{frac{d}{a}}right)=0)]
이므로 계수비교법에 의하여 위의 관계가 성립한다.
삼차방정식의 근의 공식을 이용하여 증명할 수도 있겠으나, 이차방정식과 달리 지나치게 복잡하므로 생략한다.
[math(displaystyle a(x-alpha)(x-beta)(x-gamma)=0)]
[math(displaystyle a{x^3-(alpha+beta+gamma)x^2+(alphabeta+betagamma+gammaalpha)x-alphabetagamma}=0)]
이 된다. 한편,
[math(displaystyle ax^3+bx^2+cx+d=aleft(x^3+displaystyle{frac{b}{a}}x^2+displaystyle{frac{c}{a}}x+displaystyle{frac{d}{a}}right)=0)]
이므로 계수비교법에 의하여 위의 관계가 성립한다.
삼차방정식의 근의 공식을 이용하여 증명할 수도 있겠으나, 이차방정식과 달리 지나치게 복잡하므로 생략한다.
4. n차방정식
사차 이상의 방정식에 대해서도 같은 방법으로 근과 계수의 관계를 유도할 수 있으나, 갈수록 식이 매우 복잡해지고 고등학교 수준에서는 필요도 없다. 다만 모든 차수의 방정식에 대하여 성립하는 근과 계수의 관계가 존재하는데, 어느 정도 도움이 될 수 있다. [math(boldsymbol n)]차방정식을 [math(boldsymbol {f(x)=0})]의 꼴로 놓고 설명한다.
대학에서 제대로 배우는 내용은 비에타 정리를 참고.
대학에서 제대로 배우는 내용은 비에타 정리를 참고.
4.1. 모든 근의 합
[math(n)]차방정식에서, [math(f(x))]의 [math((n-1))]차항의 계수를 [math(f(x))]의 [math(n)]차항(최고차항)의 계수로 나눈 값은 그 방정식의 모든 근의 합에 [math(-1)]을 곱한 값과 같다.
4.1.1. 증명
[math(n)]차방정식의 [math(n)]개의 근(중근 생략 금지)을 [math(alpha_{1})], [math(alpha_{2})], [math(alpha_{3})], [math(cdots)], [math(alpha_{n})]이라고 하자. 그러면 [math(n)]차방정식은
[math(displaystyle a(x-alpha_1)(x-alpha_2)+cdots+(x-alpha_n)=0 quad (aneq 0))]
으로 나타낼 수 있다. 따라서 [math(n)]차방정식의 [math(n)]차항의 계수는 [math(a)]이다.
[math((n-1))]차항의 계수는 [math(n)]차방정식의 인수 중에서도 [math((x-alpha_1))], [math((x-alpha_2))], [math(cdots)], [math( (x-alpha_n))]의 수많은 조합들의 합으로 만들어지는데, 그 개별적인 조합이란 [math(n)]개의 인수 [math((x-alpha_k))](단, [math(k)]는 [math(n)] 이하의 자연수)에서 오직 한 번만 [math(-alpha_k)] 쪽을 선택하고 나머지 [math((n-1))]번은 [math(x)] 쪽을 선택하여 그것들을 모두 곱한 값이다. [math((n-1))]차식이 되기 위해서는 [math(x)] 쪽을 [math((n-1))]번 선택하여 [math((n-1))]번 곱해야 하기 때문이다.
그러면 오직 한 번 [math(-alpha_k)]를 선택할 경우 나오는 조합은 [math(-alpha_kx^{n-1})]이며, 이렇게 나올 수 있는 모든 조합의 총합에 [math(n)]차항의 계수 [math(a)]를 곱한 값
[math(-a(alpha_1+alpha_2+cdotsalpha_n)x^{n-1}=-ax^{n-1}displaystyle{sum_{k=1}^n alpha_k})]
가 바로 [math(n)]차방정식의 [math((n-1))]차항이 된다.
곧, [math((n-1))]차항의 계수는
[math(-a(alpha_1+alpha_2+cdotsalpha_n)=-adisplaystylesum_{k=1}^n alpha_k)]
한편, [math(n)]차방정식의 [math((n-1))]차항의 계수를 [math(b)]라고 하자. 그러면
[math(begin{aligned} b&=-adisplaystylesum_{k=1}^n alpha_k quad to quad -dfrac{b}{a}=sum_{k=1}^n alpha_k end{aligned})]
여기에서 [math(displaystylesum_{k=1}^n alpha_k)]란 바로 [math(n)]차방정식의 모든 근의 합이므로, 위 내용이 증명되었다.
[math(displaystyle a(x-alpha_1)(x-alpha_2)+cdots+(x-alpha_n)=0 quad (aneq 0))]
으로 나타낼 수 있다. 따라서 [math(n)]차방정식의 [math(n)]차항의 계수는 [math(a)]이다.
[math((n-1))]차항의 계수는 [math(n)]차방정식의 인수 중에서도 [math((x-alpha_1))], [math((x-alpha_2))], [math(cdots)], [math( (x-alpha_n))]의 수많은 조합들의 합으로 만들어지는데, 그 개별적인 조합이란 [math(n)]개의 인수 [math((x-alpha_k))](단, [math(k)]는 [math(n)] 이하의 자연수)에서 오직 한 번만 [math(-alpha_k)] 쪽을 선택하고 나머지 [math((n-1))]번은 [math(x)] 쪽을 선택하여 그것들을 모두 곱한 값이다. [math((n-1))]차식이 되기 위해서는 [math(x)] 쪽을 [math((n-1))]번 선택하여 [math((n-1))]번 곱해야 하기 때문이다.
그러면 오직 한 번 [math(-alpha_k)]를 선택할 경우 나오는 조합은 [math(-alpha_kx^{n-1})]이며, 이렇게 나올 수 있는 모든 조합의 총합에 [math(n)]차항의 계수 [math(a)]를 곱한 값
[math(-a(alpha_1+alpha_2+cdotsalpha_n)x^{n-1}=-ax^{n-1}displaystyle{sum_{k=1}^n alpha_k})]
가 바로 [math(n)]차방정식의 [math((n-1))]차항이 된다.
곧, [math((n-1))]차항의 계수는
[math(-a(alpha_1+alpha_2+cdotsalpha_n)=-adisplaystylesum_{k=1}^n alpha_k)]
한편, [math(n)]차방정식의 [math((n-1))]차항의 계수를 [math(b)]라고 하자. 그러면
[math(begin{aligned} b&=-adisplaystylesum_{k=1}^n alpha_k quad to quad -dfrac{b}{a}=sum_{k=1}^n alpha_k end{aligned})]
여기에서 [math(displaystylesum_{k=1}^n alpha_k)]란 바로 [math(n)]차방정식의 모든 근의 합이므로, 위 내용이 증명되었다.
4.2. 모든 근의 곱
또한, [math(f(x))]의 상수항을 [math(f(x))]의 [math(n)]차항의 계수로 나눈 값은 그 방정식의 모든 근의 곱과 같다.
4.2.1. 증명
[math(x)]에 관한 방정식의 상수항은 그 항에 [math(x)]를 포함하지 말아야 하므로, [math(n)]차방정식의 인수 [math((x-alpha_k))](단, [math(k)]는 [math(n)] 이하의 자연수) 중에서 [math(x)] 쪽을 한 번도 선택하지 말아야 한다. 다시 말해서, [math(-alpha_k)] 쪽만 [math(n)]번 선택하여 그것들을 모두 곱해야 한다.
그러면 [math(n)]차방정식의 상수항이란 [math((-1)^nalpha_1alpha_2cdotsalpha_n)]에 [math(n)]차항의 계수 [math(a)]를 곱한 [math((-1)^naalpha_1alpha_2cdotsalpha_n)]이다.
한편, [math(n)]차방정식의 상수항을 [math(c)]라고 하면
[math(begin{aligned} c&=(-1)^naalpha_1alpha_2cdotsalpha_n quad to quad dfrac{c}{a}=(-1)^nalpha_1alpha_2cdotsalpha_n end{aligned})]
여기에서 [math((-1)^nalpha_1alpha_2cdotsalpha_n)]이란 바로 [math(n)]차방정식의 모든 근의 곱이므로, 위 내용이 증명되었다.
그러면 [math(n)]차방정식의 상수항이란 [math((-1)^nalpha_1alpha_2cdotsalpha_n)]에 [math(n)]차항의 계수 [math(a)]를 곱한 [math((-1)^naalpha_1alpha_2cdotsalpha_n)]이다.
한편, [math(n)]차방정식의 상수항을 [math(c)]라고 하면
[math(begin{aligned} c&=(-1)^naalpha_1alpha_2cdotsalpha_n quad to quad dfrac{c}{a}=(-1)^nalpha_1alpha_2cdotsalpha_n end{aligned})]
여기에서 [math((-1)^nalpha_1alpha_2cdotsalpha_n)]이란 바로 [math(n)]차방정식의 모든 근의 곱이므로, 위 내용이 증명되었다.
5. 예제
5.1. 이차방정식
[문제]
이차방정식 [math(2x^2+3x-8=0)]의 두 근을 각각 [math(alpha)], [math(beta)]라 하자. [math(alpha^2+beta^2)], [math(alpha^3+beta^3)], [math(dfrac{1}{alpha}+dfrac{1}{beta})]의 값을 각각 구하시오.
|
[풀이 보기]
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 [math( displaystylealpha+beta=-{3}/{2},;alphabeta=-4)]이므로 곱셈 공식에 의하여
[math( displaystyle begin{aligned} alpha^2+beta^2&=(alpha+beta)^2-2alphabeta \& =left(displaystyle-frac{3}{2}right)^2-2cdot (-4) \&=displaystylefrac{41}{4} \ \ alpha^3+beta^3&=(alpha+beta)^3-3alphabeta(alpha+beta)\&=left(displaystyle-frac{3}{2}right)^3-3cdot (-4)cdot displaystyleleft(-frac{3}{2}right)\&=displaystyle-frac{171}{8}\ \ dfrac{1}{alpha}+dfrac{1}{beta}&=dfrac{alpha+beta}{alphabeta}=dfrac38 end{aligned} )]
곱셈 공식이 아니면서 근과 계수의 관계로 값을 구하는 식으로는 [math(1/alpha+1/beta)]이라는 재미있는 형태가 있다. [math(1/alpha)]과 [math(1/beta)]의 값을 각각 구하기는 매우 번거롭지만 통분을 하면 절묘하게 분모는 두 근의 곱이 되고 분자는 두 근의 합이 되어 값을 간단히 구할 수 있기 때문이다.
5.2. 삼차방정식
[문제]
삼차방정식 [math(2x^3-x^2-4x+5=0)]의 세 근을 각각 [math(alpha)], [math(beta)], [math(gamma)]라 하자. [math(alpha^2+beta^2+gamma^2)], [math(alpha^3+beta^3+gamma^3)]의 값을 각각 구하시오.
|
[풀이 보기]
삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 [math( displaystylealpha+beta+gamma={1}/{2},;alphabeta+betagamma+gammaalpha=-2,;alphabetagamma=displaystyle-{5}/{2})]이므로 곱셈공식에 의하여
[math( displaystyle begin{aligned} alpha^2+beta^2+gamma^2&=(alpha+beta+gamma)^2-2(alphabeta+betagamma+gammaalpha) \& =displaystyleleft(frac{1}{2}right)^2-2 cdot (-2) \& =displaystylefrac{17}{4} \ \ alpha^3+beta^3+gamma^3&=(alpha+beta+gamma){alpha^2+beta^2+gamma^2-(alphabeta+betagamma+gammaalpha)}+3alphabetagamma \&=displaystyle{frac{1}{2}}left{displaystyle{frac{17}{4}}-(-2) right}+3 cdot left(displaystyle-frac{5}{2}right)\& =displaystyle-frac{35}{8} end{aligned} )] |
6. 기타
- 수학과 교육과정에 대한 교육부 공식 보고서를 보면 '근과 계수와의 관계'라는 말도 혼재하는데 용어를 통일해야 한다.[5] '근과 계수와의 관계'라는 말에서는 '와'가 불필요하므로 '근과 계수의 관계'로 쓰는 편이 더 자연스럽다.
- 중학교 3학년 때 처음으로 이차방정식과 이차방정식의 근의 공식을 배우는데, 이때는 '방정식과 부등식에 대한 지나치게 복잡한 활용 문제는 다루지 않을 것'과 함께 '이차방정식의 근과 계수의 관계는 다루지 않을 것'을 '교육부 고시 제2015-74호
[별책 8]' 31쪽에서 명시하고 있다. - 이차방정식의 근과 계수의 관계는 고등학교 1학년 때 유도 과정과 함께 배우는데[6] 두 근의 합과 곱만을 다루고 위에서 참고로 설명한 두 근의 차는 아예 교육과정에서 다루지 않는다. 또한, 삼차 이상의 방정식의 근과 계수의 관계 역시 교과서에 명시되어 있지 않다. 그렇다고 해서 교육부 방침으로서 명시적으로 이 내용들을 다루는 것을 금지하지도 않는다. 다만 이차방정식의 근과 계수의 관계를 지나치게 복잡하게 활용하는 문제를 내지 않을 것만을 지시하고 있다.
- 시중에 출시된 문제집이나 사설 학원에서는 이차방정식의 두 근의 차 및 삼차 이상의 방정식의 근과 계수의 관계를 좋은 팁으로 소개해주곤 한다. 이 내용들은 교과서에서는 명시적으로 다루지 않아도, 내신에서건 수능에서건 긴요하게 써먹을 수 있으니 상위권을 노린다면 웬만하면 익혀두자.
[1] 연립일차방정식의 근과 계수의 관계는 행렬식(determinant)이라는 이름으로 따로 다룬다.[2] 2015 개정 교육과정 기준[3] '이차방정식의 근과 계수와의 관계는 다루지 않는다.' 교육부 고시 제2015-74호
[별책 8], p.31[4] 교육부 공식 성취 기준은 다음과 같다. 〈복소수와 이차방정식〉 - 10수학01-08: 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이해한다.[5] '이차방정식의 근과 계수와의 관계는 다루지 않는다.' 교육부 고시 제2015-74호 [별책 8], p.31[6] 교육부 공식 성취 기준은 다음과 같다. 〈복소수와 이차방정식〉 - 10수학01-08: 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이해한다.