[목차] == 개요 == {{{+1 Gaussian integral}}} [[파일:namu_가우스적분_개요.svg|width=310&align=center]] 가우스 함수 [math(f(x)=e^{-x^{2}})]의 실수 전체값에 대한 [[이상적분]]이며, 그 값은 아래와 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}}\,{\rm d}x=\sqrt{\pi} )] }}} == 상세 == === 값 유도 === ==== 방법 1: 극좌표계 변환 ==== 위 적분의 값은 극좌표계를 통한 적분으로 구할 수 있다. 우선적으로 우리는 다음과 같은 [[중적분]]을 고려하자. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \biggl( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}}\,{\rm d}x \biggr)\biggl( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^{2}}\,{\rm d}y \biggr) =\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}}e^{-y^{2}}\,{\rm d}x{\rm d}y )] }}} 그런데, [math(x)], [math(y)]는 적분 시 사라지는 더미변수로써 위 값은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \biggl( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}}\,{\rm d}x \biggr)\biggl( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^{2}}\,{\rm d}y \biggr)=\biggl( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}}\,{\rm d}x \biggr)^{2} )] }}} 으로 생각할 수 있다. 적분을 간단히하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-(x^{2}+y^{2})}\,{\rm d}x{\rm d}y )] }}} 이것을 극좌표계로 변환하면, [math({\rm d}x{\rm d}y \to r\, {\rm d}r {\rm d}\theta)], [math(x^2+y^2 \to r^{2})]으로 쓸 수 있고, 적분 구간은 [math(0 \leq r \leq \infty)], [math(0 \leq \theta \leq 2\pi)]이 됨에 따라 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} &\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\infty} r e^{-r^{2}}\,{\rm d}r {\rm d}\theta \\&= \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{\infty} r e^{-r^{2}}\,{\rm d}r \\ &= 2\pi \biggl[ -\frac{e^{-x^2}}{2} \biggr]_{0}^{\infty} \\ &=2\pi \biggl[0-\biggl(-\frac{1}{2} \biggr) \biggr] \\&=\pi \end{aligned} )] }}} 이상에서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \biggl( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}}\,{\rm d}x \biggr)^{2} =\pi )] }}} 임에 따라 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}}\,{\rm d}x=\sqrt{\pi} )] }}} 이 증명된다. 적분값을 양수로 취하는 것은 모든 실수 [math(x)]에 대하여 [math(f(x)=e^{-x^2}>0)]이어서 정적분의 값 또한 양수이어야 하기 때문이다. 직관적으로 아주 당연한 사실이다. 참고적으로 [math(f(x)=e^{-x^2})]에 대하여 [math(f(x)=f(-x))][* 즉, [math(f(x))]는 [[대칭함수|짝함수(우함수; even function)]]임을 알 수 있다.]가 성립하므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \int_{0}^{\infty} e^{-x^{2}}\,{\rm d}x=\int_{-\infty}^{0} e^{-x^{2}}\,{\rm d}x=\frac{\sqrt{\pi}}{2} )] }}} 임을 알 수 있다. ==== 방법 2: 기하학적 방법[* [[https://terms.naver.com/entry.nhn?docId=3572719&cid=58944&categoryId=58970|출처]]] ==== 함수 [math(f(x)=e^{-x^2})]을 [math(y)]축을 회전축으로 하여 회전하면 곡면 [math(f(x,\,y)=e^{-(x^{2}+y^{2})})]을 얻는다. 이 곡면과 [math(xy)]평면으로 둘러싸인 영역의 부피를 구해보자. 이때, [math(0<e^{-x^{2}} \leq 1)]임을 상기하고, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle e^{-x^2}=y \to [x(y) ]^{2}=-\ln{y} )] }}} 로 부터 회전체의 부피 공식을 사용하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \pi \int_{0}^{1} [x(y) ]^{2}\,{\rm d}y=\pi )] }}} 로 구해지게 된다. 한편, 곡면 [math(z=f(x,\,y))]를 평면 [math(x=a)]로 잘라서 생기는 단면의 넓이를 적분해서도 구할 수 있으며, 그 단면의 넓이를 우선적으로 구하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{-(y^2+a^2)}\,{\rm d}y=e^{-a^2}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2}\,{\rm d}y )] }}} 이제 이 면적을 [math(a)]에 대해 적분하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{-a^2} \biggl( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2}\,{\rm d}y \biggr) {\rm d}a= \biggl( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-a^2}\,{\rm d}a \biggr) \biggl( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2}\,{\rm d}y \biggr) )] }}} 그런데 [math(y)], [math(a)]는 각각 적분 시 상쇄되는 더미변수로써 이 값을 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \biggl( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-a^2}\,{\rm d}a \biggr) \biggl( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2}\,{\rm d}y \biggr)=\biggl( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2}\,{\rm d}y \biggr)^{2} )] }}} 으로 생각해도 무방하다. 이상에서 해당 값과 회전체의 부피 공식을 이용해서 구한 부피는 같아야 하므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \biggl( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2}\,{\rm d}y \biggr)^{2}=\pi )] }}} 이에 방법 1과 같은 결과를 얻었음을 알 수 있다. [include(틀:문서 가져옴, this=문단, title=정규 분포, version=210)] === [[오차함수|오차함수(error function)]] === 다음과 같은 함수를 고려해보도록 하자. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle F(t)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}e^{-t^{2}} )] }}} 이때, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \int_{0}^{\infty} F(t)\,{\rm d}t=1 \end{aligned} )] }}} 으로 규격화시킬 수 있고, 이때 적분의 상한을 변수로 한 함수 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{x} e^{-t^{2}}\,{\rm d}t := \mathrm{erf}(x) )] }}} 을 [[오차함수|오차함수(error function)]]라 정의한다. 자세한 사항은 해당 문서를 참조하자. === 연관된 적분 === 가우스 적분을 통하여 유도할 수 있으므로 그 결과만을 적는다. 단, [math(a>0)]인 상수이고, [math(n)]은 자연수이다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2}\,{\rm d}x&=\sqrt{\frac{\pi}{a}} \\ \int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2+bx}\,{\rm d}x&=e^{b^2/4a}\sqrt{\frac{\pi}{a}} \\ \int_{0}^{\infty} x^{n}e^{-ax^2}\,{\rm d}x &=\begin{cases} \dfrac{(n-1)!!}{2^{(n+2)/2}a^{n/2}} \sqrt{\dfrac{\pi}{a}} & \text{ for } n \text{ even.} \\ \\ \dfrac{[(n-1)/2]!}{2a^{(n+1)/2}} & \text{ for } n \text{ odd.} \end{cases} \end{aligned} )] }}} == 기타 == * [[정규분포]]를 다룰 때 나오는 중요한 적분이다. * [[양자역학]]에서 간간히 등장하는 적분이다. == 관련 문서 == * [[수학 관련 정보]] * [[적분법]] * [[이상적분]] * [[정규분포]] * [[오차함수]] [[분류:수학]]