1. 개요
수학자 오토 루트비히 횔더(Otto Ludwig Hölder)의 이름을 딴 절대부등식으로, 그 진술은 다음과 같다.
보통 이게 나오는 해석학에서는 2의 형태가 보통이지만, 수학경시대회를 하는 중고등학생에게는 1의 형태가 더 친숙할 수 있을 것이다. 측도에 대해 익숙하지 않다면 [math(dx)]에 대한 일반적 적분으로 생각해도 무관하다. 편의성을 위해 모든 적분에서 측도 [math(mu)] (혹은 [math(dx)]) 표기를 생략하였다.
보통 이게 나오는 해석학에서는 2의 형태가 보통이지만, 수학경시대회를 하는 중고등학생에게는 1의 형태가 더 친숙할 수 있을 것이다. 측도에 대해 익숙하지 않다면 [math(dx)]에 대한 일반적 적분으로 생각해도 무관하다. 편의성을 위해 모든 적분에서 측도 [math(mu)] (혹은 [math(dx)]) 표기를 생략하였다.
횔더 부등식(Hölder's inequality)
양수 [math(p, q)]가 [math(1/p+1/q=1)]을 만족할 때, 다음이 성립한다. 1. (이산적인 경우) 양수 [math(a_1, cdots, a_n, b_1, cdots, b_n)]에 대해 [math( left(displaystylesum_{i=1}^{n} a_i^p right)^{1/p} left(displaystylesum_{i=1}^{n} b_i^q right)^{1/q} ge left(displaystylesum_{i=1}^{n} a_i b_i right))]
2. (일반적 측도공간에서) 두 가측인(measurable) 양함수 [math( f in L^p(mu), g in L^q(mu))]에 대해 [math( f g in L^1(mu))]이고, 다음이 성립한다.
[math( left( int f^p right)^{1/p} left( int g^q right)^{1/q} ge int f g )]
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위 부등식의 조건 [math(1/p+1/q=1)]을 만족하는 양수 [math((p,q))]를 횔더 켤레(Hölder conjugate)라 부른다. 이 문서의 [math((p,q))]는 항상 횔더 켤레로 가정한다. 간혹 [math((p,q)=(1,infty))]를 횔더 켤레로 취급하는 경우도 있지만 이 문서에선 양수 경우만을 생각한다.
이 부등식의 주인공인 [math(L^p)]-노름은
이 부등식의 주인공인 [math(L^p)]-노름은
[math( |f|_p = left( int |f|^p right)^{1/p} )]
로 정의되고, [math(L^p)]-공간 [math(L^p(mu))]은 이 값이 유한한 함수들의 집합으로 정의된다. 횔더 부등식을 [math(L^p)] 노름을 이용해 서술하면 다음과 같다.
[math( |f |_p |g |_q ge |f g |_1 )]
해석학에서의 횔더 부등식은 "[math(L^p)] 노름과 공간에 의미를 부여하는 부등식"으로 간주된다. 우선 저 [math(L^p)] 노름이 잘 정의된 노름인지 증명하는 민코우스키 부등식(Minkowski's inequality) 부터 횔더 부등식이 필요하다. 그 다음으로 살펴볼 수 있는 의미는 [math(L^p)] 공간과 [math(L^q)] 공간 사이에 자연스러운 쌍대관계가 있다는 것이다. 더욱 나아가서는 횔더 켤레가 아닌 지수들에 대해서도 [math(L^p)] 노름 사이를 비교할 수 있으며, 편미분방정식을 하드코어하게 파다 보면 수많은 [math(L^p)] 노름들이 튀어나오는 만큼 상징적인 의미 뿐만이 아니라 실전에서도 자주 쓰인다.
코시-슈바르츠 부등식이 이 부등식에서 [math(p=q=2)]인 특수한 경우이고, 이 부등식의 실제 활용도도 어찌 보면 코시-슈바르츠랑 유사한 면이 있다. 다만 코시-슈바르츠 부등식은 [math(p=q)], 즉 자기 자신이 쌍대공간이 되는(즉 힐베르트 공간이 되는) 더욱 축복받은 조건을 준다는 차이가 있다.그리고 인지도도 밀린다
경시대회를 준비하는 학생들은 여기까지 가기보다는 부등식 문제를 증명할 때 지수가 2가 아닌 경우 합의 최적화 등으로 많이 써먹을 것이다.
코시-슈바르츠 부등식이 이 부등식에서 [math(p=q=2)]인 특수한 경우이고, 이 부등식의 실제 활용도도 어찌 보면 코시-슈바르츠랑 유사한 면이 있다. 다만 코시-슈바르츠 부등식은 [math(p=q)], 즉 자기 자신이 쌍대공간이 되는(즉 힐베르트 공간이 되는) 더욱 축복받은 조건을 준다는 차이가 있다.
경시대회를 준비하는 학생들은 여기까지 가기보다는 부등식 문제를 증명할 때 지수가 2가 아닌 경우 합의 최적화 등으로 많이 써먹을 것이다.
2. 증명
영 부등식(Young's inequality)
음이 아닌 실수 [math(a,b)]에 대해 [math(frac{a^p}{p} + frac{b^q}{q} ge ab )]가 성립한다. 등호는 [math(a^p = b^q)]일 때 성립한다. |
를 이용한다.
만약 [math( |f|_p = |g|_q = 1)]이라면 이 보조정리로 다음과 같이 증명할 수 있다.
만약 [math( |f|_p = |g|_q = 1)]이라면 이 보조정리로 다음과 같이 증명할 수 있다.
[math( int f g le int frac{f^p}{p} + int frac{g^q}{q} = frac{1}{p} + frac{1}{q}=1 )]
일반적인 경우에는 [math(f)]와 [math(g)]의 상수배를 생각한다. [math(f_1 = f / |f |_p)], [math(g_1 = g / |g|_q)]로 잡으면 [math( |f_1|_p = |g_1|_q=1)]이므로 위의 경우를 적용할 수 있고, [math(L^p)] 노름은 상수배를 보존하므로 증명된다. [math(|f|_p=0)]인 경우는 [math(f=0)](물론 측도론적인 의미에서)밖에 없으므로 양변이 모두 [math(0)]이어서 성립.
이산적인 경우 증명은 적분을 합으로 바꿔서 똑같이 하면 된다.
이산적인 경우 증명은 적분을 합으로 바꿔서 똑같이 하면 된다.
3. 활용
3.1. 민코프스키 부등식
민코프스키 부등식(Minkowski's inequality)
함수 [math(f,g in L^p)]에 대해 [math( f+g in L^p)]이고, 부등식 [math( |f +g|_p le |f|_p + |g|_p)] 이 성립한다. |
딱 보면 알겠지만 [math(L^p)] 노름에 대한 삼각부등식이다. 즉 [math(L^p)] 노름이 잘 정의된 노름이 되도록 하는 부등식이기 때문에, 이 부등식이 없으면 [math(L^p)] 공간을 자연스럽게 생각하기도 힘들다.
증명은 다음과 같다. 다음 등식
증명은 다음과 같다. 다음 등식
[math( (f+g)^p = (f+g)(f+g)^{p-1} = f(f+g)^{p-1} + g(f+g)^{p-1})]
에서 횔더부등식을 다음처럼 적용한다.
[math( int f (f+g)^{p-1} le |f|_p |(f+g)^{p-1} |_q )]
한편 횔더 켤레의 동치조건인 [math(pq=p+q, p/q=p-1)]을 활용하면 다음을 알 수 있다.
[math( |(f+g)^{p-1} |_q = ( int (f+g)^{q(p-1)} )^{1/q} =( int (f+g)^p )^{1/q} = |f+g|^{p/q} )]
정리하면 다음 결과가 나오고, 양변을 약분하면 증명된다.
[math( |f+g|_p^p le (|f|_p + |g|_p ) |f+g|^{p-1} )]
3.2. 쌍대관계
횔더 켤레 [math((p,q))]에 대해서 [math(L^p)] 공간의 쌍대 공간은 [math(L^q)]로 자연스럽게 주어진다. 이를 엄밀히 서술하면 다음과 같다.
리츠 쌍대성(Riesz duality)
[math(L^p)] 공간에서 실수로 가는 연속 선형함수, (즉 continuous functional) [math( l : L^p(mu) rightarrow mathbb{R} )]은, 함수 [math(g in L^q)]에 대해 [math( l(f) = int f g )]로 유일한 방식으로 나타낼 수 있다. |
즉 [math((L^p)^{*} simeq L^q )]가 성립한다. [math(p,q)]를 서로 바꾸면 [math((L^q)^{*} simeq L^p)]이므로, [math(((L^p)^{*})^{*} simeq L^p )]가 성립하는 반사적(reflexive) 공간임도 확인할 수 있다. 물론 이는 [math(1<p<infty)] 한정으로, [math(L^1)]은 reflexive가 아니다.
3.3. Lp 노름끼리의 비교
확률공간의 경우 (즉 전체 측도가 1인 경우) 횔더 부등식을 이용하면 [math(L^p)]-노름이 [math(p)]에 대한 단조증가라는 사실을 보일 수 있다. 멱평균 부등식 혹은 평균부등식이라는 이름으로 부르기도 하지만 정식 명칭은 아니다. 증명은 항목 참조. 즉 확률공간의 경우 [math(L^p)] 공간 사이에는 자연스러운 포함관계가 성립된다.
한편 횔더 부등식을 활용하면 [math( log | f |_p)]는 [math(1/p)]에 대한 볼록함수라는 사실을 증명할 수 있다. 즉 다음이 성립한다.
한편 횔더 부등식을 활용하면 [math( log | f |_p)]는 [math(1/p)]에 대한 볼록함수라는 사실을 증명할 수 있다. 즉 다음이 성립한다.
[math(| f|_{(lambda p_1^{-1} + (1-lambda) p_2^{-1})^{-1}} le | f|_{p_1}^{lambda} |f|_{p_2}^{1-lambda} )]
즉 확률공간이 아니더라도 [math(p_1, p_2)] 노름만 주어져도 지수가 그 사이일 때 비교를 할 수 있다. 이것을 작용소 버전으로 다룬 리츠 보간 정리(Riesz interpolation theorem) 등등의 결과처럼, 서로 다른 [math(L^p)] 노름을 비교할 때 횔더 부등식이 실전에서 쓰이곤 한다.