1 / p + 1 / q = 1 1/p+1/q=1 1/ p + 1/ q = 1 일때,
a b ≤ a p p + b q q ab \leq \frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q} ab ≤ p a p + q b q 가 성립한다.(등호는
a p = b q a^p = b^q a p = b q 일때만 성립)
횔더 부등식 을 증명할 때 이용된다.
ln ( a p p + b q q ) \ln(\frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}) ln ( p a p + q b q ) 에서 자연로그함수는
오목함수 이니
젠센 부등식 을 이용하면
1 / p ln ( a p ) + 1 / q ln ( b q ) 1/p\ln(a^p)+1/q\ln(b^q) 1/ p ln ( a p ) + 1/ q ln ( b q ) 보다 큼을 알 수 있다.
로그법칙에 의해
1 / p ln ( a p ) + 1 / q ln ( b q ) = ln a + ln b 1/p\ln(a^p)+1/q\ln(b^q) = \ln{a}+\ln{b} 1/ p ln ( a p ) + 1/ q ln ( b q ) = ln a + ln b 이다. 즉,
1 / p ln ( a p ) + 1 / q ln ( b q ) ≥ ln a + ln b 1/p\ln(a^p)+1/q\ln(b^q) \geq \ln{a}+\ln{b} 1/ p ln ( a p ) + 1/ q ln ( b q ) ≥ ln a + ln b 이다.
∴ a b ≤ a p p + b q q \therefore ab \leq \frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q} ∴ ab ≤ p a p + q b q
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