분류
1. 개요
합성함수에 대해 설명하는 문서.
2. 상세
함수 [math(h)]가 두 함수 [math(f)]와 [math(g)]의 연쇄로 나타내어질 때, [math(h)]를 [math(f)]와 [math(g)]의 합성함수라고 부르고, 대개 [math(h(x)= g(f(x)))], [math(h(x)= (gcirc f)(x))], 혹은 함수 자체를 다룰 때는 [math(h = gcirc f)]라고 쓴다.[1]를 생략하므로 [math(gcirc f)]를 주로 쓰게 된다.] 계산 과정상 제일 안쪽(오른쪽) 함수부터 계산 과정이 진행된다.
어떤 특정한 함수가 "합성함수다/아니다" 라고 구분하는 것은 수학적으로 아무 의미가 없다.[2] 합성함수를 논의할 때는 '[math(h)]가 [math(f)]와 [math(g)]의 합성이다'와 같이 무엇의 합성인지가 반드시 따라야 한다. 합성함수인지의 여부는 각 함수에 내재하는 고유한 속성이 아니라는 말이다. '합성함수'는 함수들 간의 관계에서 도출되는 개념이다. 이러한 맥락이 없이 각 함수를 합성함수이다/아니다의 절대적인 기준으로 분류할 수 없다.
예를 들어 "함수 [math(h(x) = e^{sin x})]는 합성함수다"라는 말이 그 자체로 의미가 없음은 "숫자 12는 더해진 수다"라는 말이 의미가 없다는 것과 유사하다.[3] 숫자 12가 '더해진 수'라는 서술이 의미를 지니려면 증명과정에서의 쓸모에 따라 혹은 관심의 대상에 따라 (예컨대) 다음과 같이 12가 무엇과 무엇을 더한 것인지, 그리고 그러한 표현이 무슨 쓸모가 있는지 밝혀야 한다.
어떤 특정한 함수가 "합성함수다/아니다" 라고 구분하는 것은 수학적으로 아무 의미가 없다.[2] 합성함수를 논의할 때는 '[math(h)]가 [math(f)]와 [math(g)]의 합성이다'와 같이 무엇의 합성인지가 반드시 따라야 한다. 합성함수인지의 여부는 각 함수에 내재하는 고유한 속성이 아니라는 말이다. '합성함수'는 함수들 간의 관계에서 도출되는 개념이다. 이러한 맥락이 없이 각 함수를 합성함수이다/아니다의 절대적인 기준으로 분류할 수 없다.
예를 들어 "함수 [math(h(x) = e^{sin x})]는 합성함수다"라는 말이 그 자체로 의미가 없음은 "숫자 12는 더해진 수다"라는 말이 의미가 없다는 것과 유사하다.[3] 숫자 12가 '더해진 수'라는 서술이 의미를 지니려면 증명과정에서의 쓸모에 따라 혹은 관심의 대상에 따라 (예컨대) 다음과 같이 12가 무엇과 무엇을 더한 것인지, 그리고 그러한 표현이 무슨 쓸모가 있는지 밝혀야 한다.
마찬가지로 [math(h)]가 합성함수라는 것이 의미를 가지려면 가령 다음과 같은 맥락이 필요하다.
함수 [math(h)]는 [math(f(x) = sin x)]와 [math(g(x) = e^x)]의 합성함수이므로, 연쇄 법칙에 의하여 [math(h'(x) = e^{sin x}cos x)]이다.
더군다나 "[math(h(x)= 2x)]는 합성함수가 아니다"는 명백히 틀린 서술이다. [math(h)]는 항등함수 [math(xmapsto x)]와 2배 함수 [math(xmapsto 2x)]의 합성함수로 볼 수 있다. 심지어 항등함수 [math(xmapsto x)]는 그 자신의 합성함수로 볼 수 있다.[4]
함수의 합성은 기본적으로 [math(fcirc gne gcirc f)], 즉 교환법칙이 성립하지 않는다. 수학적인 방법으로 예를 든다면, 다음과 같다.
[math(fleft(xright)=2x, gleft(xright)=x+1)] 일 때
[math(left(f circ gright)left(xright)=2left(x+1right)=2x+2, left(g circ fright)left(xright)=2x+1 )] 이다.
특별한 이유가 없다면 교환법칙은 성립하지 않는 것이 당연하므로 주의하는 것이 좋다. 사실 정식대로라면 [math(g)]의 공역이 [math(f)]의 정의역의 부분집합일 때만 [math(f circ g)]의 합성을 할 수 있으므로, [math(f circ g)]가 있어도 [math(g circ f)]는 존재하지 않는 경우가 더 많다.[5]와 로그 적분 함수 [math(mathrm{li}(x))]의 합성. 부호 함수는 실수 범위에서 함숫값이 [math({-1, 0, 1})]임에 비해 로그 적분 함수는 정의역에 [math({-1, 0, 1})] 이 제외되어 있기 때문에 [math((mathrm{sgn circ li})(x))]는 정의할 수 있어도 [math((mathrm{li circ sgn})(x))]는 정의할 수 없다.] 함수의 합성에서 유일하게 성립하는 법칙은 거의 결합법칙 [math(fcirc left(gcirc hright)= left(fcirc gright)circ h)] 뿐이라고 보면 무방하다.
함수를 합성하는 연산자 [math(circ)]가 결합법칙을 만족하므로, 함수를 (적당히) 모은 집합은 훌륭한 군이 된다. 함수의 합성 [math(circ)]를 이항연산으로, 항등함수 [math(mathrm{Id}(x)= x)]를 항등원으로, 함수 [math(f)]의 역함수 [math(f^{-1})]을 역원으로 보면 된다.[6]
동일 함수가 합성됐을 경우 [math(fcirc fleft(xright)=f^2left(xright))]와 같이 지수 꼴로 합성한 횟수를 나타내기도 한다. 단, 삼각함수와 로그함수에는 적용되지 않는다. 예컨대 [math(sin^2 x)]라 하면 [math(sin left(sin xright))]가 아니라 [math(left(sin xright)times left(sin xright))]를 나타낸다. 또한 일반적인 함수의 경우에도 저자와 독자의 합의가 없는 경우 [math(f^2(x))]가 [math(f(f(x)))]처럼 동일한 함수를 합성한 것인지 혹은 [math(left[f(x)right]^2)]처럼 함숫값을 제곱한 것인지 혼동을 줄 수 있다.[7] 우변의 제곱은 함숫값의 제곱이다.]
3. 멱등함수
[math(fcirc fleft(xright)=f^2left(xright) = fleft(xright))]를 만족하는 함수를 멱등함수(idempotent function)라고 한다. 대표적으로 다음이 있다.
- 부호 함수 [math(mathrm{sgn}left(xright))], [math(mathrm{csgn}left(xright))]
- 항등함수 [math(x)]
- 상수함수 [math(c)]
- 실수부 함수 [math(Releft(zright))]
- 자연수 판별 함수 [math(bold{1}_{mathbb{N}}left(xright))]
- 절댓값 [math(|x|)]
- 최대 정수 함수 [math(leftlfloor x rightrfloor)]
- 최소 정수 함수 [math(leftlceil x rightrceil)]
- 소수부 함수 [math({ x })]
- 정사영: 멱등성이 특히 유용하게 쓰이는 경우다.
4. 합성함수의 미분
5. 합성함수의 적분
[1] 고등학교나 대학교 저학년에는 귀차니즘으로 인해 중간 형태보다는 첫번째의 형태로 쓰는 경우가 많다. 그러나 함수 자체를 오브젝트로 다루는 때가 되면 보통 입력값인 [math(x)[2] 그러나 나무위키 항목들 중에는 이와 같은 서술을 하는 경우가 종종 있다. 해당 부분을 발견한다면 읽을 때 주의할 것.[3] 군론의 표현을 빌리자면, 함수의 합성과 덧셈은 이항연산자에 불과하다. 각 원소 자체가 이항연산자의 결과다/아니다라고 구분짓는 것은 어불성설이다.[4] 말장난 같아보이지만 이는 함수로 이루어진 군 등을 논의할 때 자주 접하는 서술들이다.[5] 대표적으로 부호 함수 [math(mathrm{sgn}(x))[6] 물론 항등함수와 역함수가 정의된 집합이고 여타 군의 조건을 만족해야 한다. 이 의미에서 함수를 '적당히' 모은 집합.[7] 예컨대 함수의 노름을 정의하는 식 [math(lVert f rVert_2^2 = int f^2)