최대·최소 정리

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1. 개요2. 진술
2.1. 고교 교육과정 하에서의 최대·최소 정리2.2. 최대·최소 정리(Exterme value theorem)
3. 증명


최대·최소 정리(最大·最小 定理) · Exterme value theorem

1. 개요[편집]

최대·최소 정리(Exterme value theorem)은 함수의 최댓값, 최솟값에 관한 정리로 연속함수의 대표적인 성질 중 하나이다.

2. 진술[편집]

2.1. 고교 교육과정 하에서의 최대·최소 정리[편집]

[ 정리 ] 최대·최소 정리(수학Ⅱ(2015))
함수 f:R→Rf: \mathbb R \to \mathbb R가 닫힌 구간 [a,b][a, b]에서 연속이면, 함수 ff는 구간 [a,b][a, b]에서 최댓값과 최솟값을 가진다.
여기서 중요한 것은 닫힌 구간과 연속이다. 둘 중 한 조건이라도 성립하지 않는다면, 최댓값과 최솟값이 존재하지 않을 수도 있다. 일견 당연해 보이는 이 정리는, 고교 수준을 넘는다며 증명을 생략하고 넘어가는 경우가 대부분이다.

2.2. 최대·최소 정리(Exterme value theorem)[편집]

[ 정리 ] 최대·최소 정리(Exterme value theorem)
옹골집합 XX에서 정의된 연속함수 f:X→Rf: X \to \mathbb R는 정의역 XX에서 최댓값과 최솟값을 가진다.
고교 수준의 정의에서 닫힌 유계구간이 옹골집합(Compact set)으로 치환된 형태이다. 실제로, 하이네-보렐 정리에 따르면 실수 집합의 닫힌 유계구간은 전부 옹골집합이므로, 위 정리를 온전히 포함하게 된다.
[ 정리 ] 최대·최소 정리(Exterme value theorem)
옹골집합 XX와, 전순서(Total order) <<가 주어진 위상 공간 (Y,<)(Y, <) 사이에 정의된 연속함수 f:X→Yf: X \to Y는 정의역 XX에서 최댓값과 최솟값을 가진다.

3. 증명[편집]

당연해 보이는 것의 증명이 더욱 어려운 법이다. 이 정리를 증명하기 위해서는 유계(boundness)나 컴팩트성(compact)을 알아야 한다.
[ 보조정리 1 ]
함수 f:R→Rf: \mathbb R \to \mathbb R가 구간 [a,b][a, b]에서 연속이면, 임의의 x0∈[a,b]x_0 \in [a, b]에 대하여 f∣I∩[a,b]f \rvert_{I \cap [a, b]}가 유계이도록 하는 열린 구간 x0∈Ix_0\in I가 항상 존재한다.
[ 증명 ]
함수 ff가 x0∈[a,b]x_0 \in [a, b]에서 연속이므로,

∣x−x0∣<δ ⇒ ∣f(x)−f(x0)∣<1\lvert x - x_0 \rvert < \delta \ \Rightarrow \ \lvert f(x) - f(x_0) \rvert < 1

을 성립시키는 양수 δ>0\delta > 0가 존재한다. 이제 I=(x0−δ,x0+δ)I = (x_0 - \delta, x_0 + \delta)라고 놓으면, 삼각부등식에 의해

x∈I∩[a,b] ⇒ ∣x−x0∣<δ ⇒ ∣f(x)∣<∣f(x0)∣+1x \in I \cap [a, b] \ \Rightarrow \ \lvert x - x_0 \rvert < \delta \ \Rightarrow \ \lvert f(x) \rvert < \lvert f(x_0) \rvert + 1

이다. 가장 오른쪽 ∣f(x0)∣+1\lvert f(x_0) \rvert + 1은 고정된 값이므로, f∣I∩[a,b]f \rvert_{I \cap [a, b]}가 유계.□
[ 보조정리 2 ]
임의의 옹골집합 X⊂RX \subset \mathbb R 위에서 정의된 함수 f:X→Rf: X \to \mathbb R에 대하여, [ 보조정리 1 ]이 성립한다면 함수 ff는 XX 전체에서 유계이다.
[ 증명 ]
각 x∈Xx \in X에 대하여, [ 보조정리 1 ]의 열린 구간을 Ix=(x−δx,x+δx)I_x = (x - \delta_x, x + \delta_x)라고 하자. 그렇다면 {Ix}x∈X\left\{I_x \right\}_{x \in X}는 옹골집합 XX의 열린 덮개(Open covering)임을 확인할 수 있다. 따라서, XX의 유한 부분 덮개(Finite subcovering)가 존재하며, 적당히 이름을 다시 붙여서 {Ixk}1≤k≤n\left\{I_{x_k} \right\}_{1 \leq k \leq n}가 해당 유한 부분 덮개라고 할 수 있다. 이 때, 함수 ff는 구간 Ixk∩XI_{x_k} \cap X에서 유계이므로

∣f(x)∣≤Mk,  ∀x∈Ixk∩X\lvert f(x) \rvert \leq M_k, \ \ \forall x \in I_{x_k} \cap X

을 만족하는 Mk>0M_k > 0가 존재한다. 이제 M=max⁡1≤k≤nMk\displaystyle M = \max_{1 \leq k \leq n} M_k라 놓자. 임의의 x∈Xx \in X에 대해, X⊂⋃k=1nIxkX \subset \displaystyle \bigcup_{k = 1}^{n} I_{x_k}이므로 x∈Ixix \in I_{x_i}인 1≤i≤n1 \leq i \leq n이 존재한다. 따라서 ∣f(x)∣<Mi≤M\lvert f(x) \rvert < M_i \leq M이고, 이는 모든 x∈Xx \in X에 대해 참이므로 ff는 XX에서 유계이다.□
[ 정리 ] 최대·최소 정리(수학Ⅱ(2015))
함수 f:R→Rf: \mathbb R \to \mathbb R가 닫힌 구간 [a,b][a, b]에서 연속이면, 함수 ff는 구간 [a,b][a, b]에서 최댓값과 최솟값을 가진다.
[ 증명 ]
[ 보조정리 1, 2 ]에 의해 ff는 [a,b][a, b]에서 유계이다. 그러므로 M=sup⁡{f(x) ∣ x∈[a,b]}M = \sup \left\{ f(x) \ | \ {x \in [a, b]} \right\}와 m=inf⁡{f(x) ∣ x∈[a,b]}m = \inf \left\{ f(x) \ | \ {x \in [a, b]} \right\}가 실수 집합 내에서 존재한다. 정의상 x∈[a,b]x \in [a, b]이면 m≤f(x)≤Mm \leq f(x) \leq M. 이제 f(x)=Mf(x) = M인 x∈[a,b]x \in [a, b]가 존재함을 증명하자.

결론을 부정하여, 임의의 x∈[a,b]x \in [a, b]에 대해 f(x)≠Mf(x) \neq M, 즉 f(x)<Mf(x) < M을 가정하자. 그러면 다음과 같이 정의된 함수 g:[a,b]→Rg: [a, b] \to \mathbb R는 잘 정의되며, 연속이다.(연속함수의 성질 참고.)

g(x)=1M−f(x)g(x) = \dfrac 1{M - f(x)}

그러므로 gg에도 [ 보조정리 1, 2 ]를 적용할 수 있다. gg도 구간 [a,b][a, b]에서 유계이므로 적당한 실수 NN이 존재하여, g(x)=∣g(x)∣≤Ng(x) = \lvert g(x) \rvert \leq N이 성립한다. 따라서 1M−f(x)≤N\dfrac 1{M - f(x)} \leq N이고, f(x)≤M−1N, ∀x∈[a,b]f(x) \leq M - \dfrac 1N, \ \forall x \in [a, b]이다. 이는 MM이 집합 {f(x) ∣ x∈[a,b]}\left\{ f(x) \ | \ {x \in [a, b]} \right\}의 최소 상한(Supremum)이라는 가정에 모순이다.

그러므로, 귀류법 가정이 틀렸음을 알고 함수 ff는 MM을 함숫값으로 가진다. 즉, ff는 최댓값 MM을 가진다. 한편, inf⁡f=−sup⁡(−f)\inf f = - \sup (-f) 및 min⁡f=−max⁡(−f)\min f = - \max (-f)을 이용하면, 최솟값에 대한 결론도 얻을 수 있다.□

[ 정리 ] 최대·최소 정리(Exterme value theorem)
옹골집합 XX와, 전순서(Total order) <<가 주어진 위상 공간 (Y,<)(Y, <) 사이에 정의된 연속함수 f:X→Yf: X \to Y는 정의역 XX에서 최댓값과 최솟값을 가진다.
[ 증명 ]
이번에도, 결론을 부정하여 f(X)f(X)가 최댓값을 갖지 않는다고 하자. 그러면, 임의의 f(x0))∈f(X)f(x_0)) \in f(X)에 대하여 어떤 x′∈Xx' \in X가 존재하여, f(x0)<f(x′)f(x_0) < f(x')이 성립한다. 따라서

f(X)⊂⋃x∈X(−∞,f(x))\displaystyle f(X) \subset \bigcup_{x \in X} (- \infty, f(x))

이다. 그러므로, {(−∞,f(x))}x∈X\left\{(- \infty, f(x)) \right\}_{x \in X}는 옹골집합 f(X)f(X)의 열린 덮개가 된다. 이제 이 열린 덮개의 유한 부분 덮개를 {(−∞,f(xi))}1≤i≤n\left\{(- \infty, f(x_i)) \right\}_{1 \leq i \leq n}라 하면,

f(X)⊂⋃i=1n(−∞,f(xi))=(−∞,max⁡1≤i≤nf(xi))\displaystyle f(X) \subset \displaystyle \bigcup_{i = 1}^n (- \infty, f(x_i)) = (- \infty, \max_{1 \leq i \leq n} f(x_i))

이다. 그런데 max⁡1≤i≤nf(xi)∈f(X)\displaystyle \max_{1 \leq i \leq n} f(x_i) \in f(X)이므로, 이 값이 최댓값이 된다.

그러므로, 귀류법 가정이 틀렸음을 알고 f(X)f(X)는 최댓값을 가진다. 최솟값의 경우도 똑같이 증명할 수 있다.□