1. 설명
특수함수의 하나로, 지시 함수(Indicator function)라고도 한다. [math(bold{1}_{boldsymbol{mathsf{A}}}(x))][1]과 구별하기 위해 볼드체로 표기한다. 사람에 따라서는 I를 겹친 [math(mathbb{I}_mathsf{A})] 혹은 1을 겹친 𝟙[math({}_{mathsf{A}})]를 쓰기도 한다.]로 표기하며, 정의는 다음과 같다.
[math( bold{1}_{boldsymbol{mathsf{A} }}(x) equiv begin{cases} 1 & (x in boldsymbol{mathsf{A}}) \ 0 & (x notin boldsymbol{mathsf{A}}) end{cases} qquad )] (단, [math(boldsymbol{mathsf{A}})]는 집합)
또한 집합판별함수는 특히 측도와 적분을 이어주는 데 자주 사용된다.
[math( bold{1}_{boldsymbol{mathsf{A} }}(x) equiv begin{cases} 1 & (x in boldsymbol{mathsf{A}}) \ 0 & (x notin boldsymbol{mathsf{A}}) end{cases} qquad )] (단, [math(boldsymbol{mathsf{A}})]는 집합)
또한 집합판별함수는 특히 측도와 적분을 이어주는 데 자주 사용된다.
- 측도 [math(mu)]와 집합 [math(boldsymbol{mathsf{A}})]에 대해 다음이 성립한다.
[math(displaystyle intbold{1}_{boldsymbol{mathsf{A} }},mathrm{d}mu= int_{ boldsymbol{mathsf{A}} } 1,mathrm{d}mu= mu(boldsymbol{mathsf{A}}))] - 고등학교 수학에서는, 구간 [math(A= [a,, b])]에 대해 다음이 성립한다.
[math(displaystyle int_{-infty}^inftybold{1}_{A}(x) , mathrm{d}x= int_a^b1,mathrm{d}x= b- a)]
- 확률변수 [math(X)]가 확률분포(Probability measure) [math(P)]를 따른다면, 사건 [math(A)]에 대해 다음이 성립한다.
[math(displaystyle mathbb{E}left[bold{1}_A(X)right] = int_A1,mathrm{d}P = P(A))]
1.1. 중등교육 수준의 설명
의외로 간단한 함수이다. 이 함수는 [math(bold{1}_{boldsymbol{mathsf{A}}}(x))]로 표기되는데, [math(x)]가 집합 [math(mathsf{A})] 안에 포함되는 원소이면 함숫값이 [math(1)]이 되고 아니면 [math(0)]이 된다. 예를 들어서, 자연수 전체의 집합을 [math(mathbb{N})]이라고 하면, [math(5)]는 자연수이므로 [math(bold{1}_{mathbb{N}}(5)=1)]이고, [math(sqrt2)]는 자연수가 아니므로 [math(bold{1}_{mathbb{N}}(sqrt2)=0)]이다.
아래는 몇몇 예시를 나타낸 표이다.
아래는 몇몇 예시를 나타낸 표이다.
함수
| 함숫값
|
[math(bold{1}_{mathbb{N}}(7))]
| [math(1)]
|
[math(bold{1}_{mathbb{N}}(-3))]
| [math(0)]
|
[math(bold{1}_{mathbb{Z}}(-3))]
| [math(1)]
|
[math(bold{1}_{mathbb{Q}}(7))]
| [math(1)]
|
[math(bold{1}_{mathbb{Q}}(sqrt2))]
| [math(0)]
|
[math(bold{1}_{boldsymbol{mathsf{A} }}(4))]
([math(boldsymbol{mathsf{A}} = {3,,4,,5})]) | [math(1)]
|
[math(bold{1}_{boldsymbol{mathsf{A} }}(6))]
([math(boldsymbol{mathsf{A}} = {3,,4,,5})]) | [math(0)]
|
여기서 [math(mathbb{N})]은 자연수 집합, [math(mathbb{Z})]는 정수 집합, [math(mathbb{Q})]는 유리수 집합이다.
한편 소수 [math(mathbb{P})]를 판별하는 소수 판별 함수 [math(bold{1}_{mathbb{P}})]도 생각해볼 수 있는데, [math(bold{1}_{mathbb{P}}(x) = 1)]을 만족하는 수를 찾는 과정이 다름아닌 에라토스테네스의 체이다.
2. 유리수 판별 함수(디리클레 함수)
개중에 유리수 집합 [math(mathbb Q)]을 판별하는 디리클레 함수(Dirichlet function)[2] [math(bold{1}_{mathbb Q}(x))] 라는 것이 있는데, 집합 판별 함수 중 아래의 특이한 성질을 보이기 때문에 실해석학에서 주로 다뤄진다.
- 짝함수이다: [math(bold{1}_{mathbb Q}(x) = bold{1}_{mathbb Q}(-x))]
- 삼각함수로 정의가 가능하다: [math(displaystyle bold{1}_{mathbb{Q}}( x ) = lim_{m to infty} left[ lim_{n to infty} cos^{2n}( m! cdot pi x ) right] )].
- 이 항등식은 현실적으로는 거의 쓸모 없는, 학문적 유희를 위한 식이다. 그러나 유리수, 팩토리얼, 삼각함수, 지수, 그리고 극한 등 중요 개념들을 제대로 이해하고 있는지를 테스트할 수 있는 매우 좋은 식이므로, 수학에 관심 있는 위키러는 이 항등식 증명에 도전해보자.
[증명의 스케치 보기]
주어진 식의 우변이 [math(x)]가 유리수일 때는 [math(1)], 무리수일 때는 [math(0)]의 값을 가짐을 증명하면 된다.
우선 [math(x)]가 유리수인 경우를 생각하자. 그러면 [math(x=p/q)] 로 나타낼 수 있다. (단, [math(p)], [math(q)]는 정수, [math(q>0)]이며, 증명을 위해선 서로소일 필요는 없다.)
극한이 중첩되어 있어 혼란스러울 수 있으나, [math(displaystyle f(m):= lim_{n to infty} cos^{2n}( m! cdot pi x ) )] 와 같이 안쪽 극한의 값을 [math(m)]의 함수로 생각하면 편하다. 즉, 우리의 목적은 수열 [math(lbrace f(m) rbrace_{m= 1}^infty)]의 극한을 구하는 것.
[math(m)]이 충분히 큰 경우, 특히 [math(mgeq q)]인 경우 [math(m)]을 고정하고 [math(f(m))]의 값을 살펴보자. 이 경우 제일 안쪽의 식에서 [math(pi)]를 제외한 부분은
[math(displaystyle m!cdot x = m!timesfrac{p}{q} = ptimes frac{m!}{q})]
이 된다. 이 때 [math(mgeq q)]이므로 팩토리얼의 정의에 의해 분자가 분모에 의해 나누어떨어지게 되어 [math(m!/q)]는 정수가 된다. 따라서 제일 안쪽 [math(m!cdotpi x)]는 '정수[math(times pi)]'의 꼴이 된다. 다음으로 이를 이용하면 코사인의 성질에 의해 [math(cos(m! cdot pi x))]는 [math(-1)] 또는 [math(1)]일 수밖에 없다. 둘 중 어느 경우든지간에, [math(2n)]승 취하면 ([math(n)]이 무슨 값이든지) [math(1)]이 된다.[10]이 들어있는지 궁금하다면, 추후에 무리수인 경우를 마저 따져보자.] 따라서 결국 우리가 택한 [math(mgeq q)]에 대해서는, 다음이 성립한다.
[math(displaystyle f(m) = lim_{ntoinfty}cos^{2n}(m!cdotpi x) = lim_{ntoinfty}1 = 1)]
즉, 우리가 처음에 고정한 유리수 [math(x)]에 대해, 수열 [math(lbrace f(m) rbrace_{m= 1}^infty)]은 유한한 갯수의 항을 제외하고는 [math(1)]의 값을 갖는 수열이다. 따라서 극한의 정의에 의해
[math(displaystyle lim_{m to infty} lim_{n to infty} cos^{2n}( m! cdot pi x ) = lim_{mtoinfty}f(m) = 1)]
이 성립한다. 이 등식이 임의의 유리수 [math(x)]에 대해 성립함을 주목하자.
무리수의 경우도 유사하게 증명하면 된다. 이 경우 무리수의 성질에 의해 [math(m)]이 어떤 값이든지 [math(m!cdot x)]는 정수가 될 수 없다. 코사인의 성질에 의해 [math(cos(m!cdotpi x)in(-1, 1))]이고, 이를 [math(2n)]제곱을 해나가면 [math(n)]이 커짐에 따라 [math(0)]으로 수렴한다. 즉, [math(displaystylelim_{ntoinfty}cos(m!cdotpi x) = 0)]이다. 따라서 [math(x)]가 무리수인 경우, 수열 [math(lbrace f(m) rbrace_m^infty)]는 0으로만 이루어진 수열이고, 이 수열이 [math(0)]으로 수렴함은 자명하다.
[1] 숫자 [math(1)[2] 고안자인 페터 디리클레(Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet)의 이름을 따왔다.[3] 고등학교 때 배우는 적분법을 대학교 2학년 수준에서 확장한 것. 주어진 구간을 n등분하는 대신 아무렇게나 쪼개고, 오른쪽 값이나 왼쪽 값 등을 고르는 것이 아니라 각 구간에서의 최댓값과 최솟값을 고르는 정도의 차이가 존재한다. 고등학교식 적분이 리만 적분이 아니라는 증거이기도 하다. 고등학교식으로 0부터 1까지 적분하면 1이다.[4] 사실 당연한 것이 이들은 유리수인지 무리수인지가 아직 밝혀지지 않았기 때문이다. 언젠가는 저 점들도 특이점이 아닐 날이 올 것이다.[5] 왜 쓸모없는 [math(n)[6] 고등학교 때 배우는 적분법을 대학교 2학년 수준에서 확장한 것. 주어진 구간을 n등분하는 대신 아무렇게나 쪼개고, 오른쪽 값이나 왼쪽 값 등을 고르는 것이 아니라 각 구간에서의 최댓값과 최솟값을 고르는 정도의 차이가 존재한다. 고등학교식 적분이 리만 적분이 아니라는 증거이기도 하다. 고등학교식으로 0부터 1까지 적분하면 1이다.[7] 사실 당연한 것이 이들은 유리수인지 무리수인지가 아직 밝혀지지 않았기 때문이다. 언젠가는 저 점들도 특이점이 아닐 날이 올 것이다.[8] 왜 쓸모없는 [math(n)[9] 왜 쓸모없는 [math(n)[10] 왜 쓸모없는 [math(n)