분류
1. 개요
2. 이게 왜 나왔는가?
우리가 보통 넓이를 어떻게 구하는지를 생각해보면, 직사각형의 넓이는 (가로)×(세로)로 계산해서 구하고, 복잡한 모양의 넓이는 전체 모양을 직사각형 조각으로 쪼개서 각 조각의 넓이를 모두 더하는 방법인 구분 구적법으로 구한다. 지금 시점에서 자연스럽게 쓰는 이 방법을 체계화시킨 것은 베른하르트 리만이었고, 이 유명한 '리만 적분법'이 종래까지의 넓이를 구하는 방법이었다. 리만 적분은 무한소니 뭐니 하는 애매한 미적분학의 방법에서 벗어나 처음으로 엄밀하게 넓이를 정의한 혁신이었지만, 해석학을 발전시키며 수학자들은 리만 적분에서도 한계점을 하나둘씩 느끼게 되었다.
- 더 큰 문제점으로, 리만 적분은 극한과 제대로 호환이 안 된다. 간단히 말하면 [math(int (lim_n f_n(x)) ,{rm d}x neq lim_n (int f_n(x) ,{rm d}x) )]인데, 이런 예 역시 해석학 수업에서 보았을 것이고, 덕분에 균등 수렴이니 점별 수렴이니 하는 서로 다른 종류의 수렴들을 분류하는 귀찮음을 느꼈을 것이다.
수학자들은 이러한 리만 적분의 한계를 넘어서기 위해 여러 가지 시도를 하였고, 그 결과 완성된 것이 바로 르베그 측도와 르베그 적분의 개념이다. 르베그는 이걸 활용해 위의 문제점들을 많은 경우에 해결할 수 있었고, 또한 함수의 수렴 관계 등을 리만 적분의 경우보다 훨씬 명확하게 정의할 수 있었다. 즉, 처음에 받아들이기 어려울 수 있지만, 결과물은 리만 적분을 썼을 때보다 훨씬 깔끔하게 나온 것이다.
사실 르베그의 발견에서는 적분법이 본체고 측도는 여기에 딸려 나온 느낌이긴 하다.
사실 르베그의 발견에서는 적분법이 본체고 측도는 여기에 딸려 나온 느낌이긴 하다.
3. 간략한 정의 및 예시
집합 [math(A subset mathbb{R})]를 덮는 가산 개의 유계 열린구간을 생각하자.
[math(displaystyle A subset bigcup_{i=1}^{infty} (a_i,,b_i))]
이 때, [math(A)]의 르베그 외측도 [math(mu^{*}:mathcal{P}(mathbb{R})to mathbb{R}_{+}^{*})][6]는 음이 아닌 실수와 [math(infty)]를 원소로 갖는 집합.]는 모든 덮개에 대해 길이의 총합의 하한으로 정의된다.
[math(displaystyle mu^{*}(A) = inf left[ sum_{i=1}^{infty} (b_i - a_i) right] )]
이 때, 임의의 집합 [math(Esubsetmathbb{R})]에 대하여, [math(mu^{*}(Acap E)+mu^{*}(A^{c}cap E)=mu^{*}(E))] 가 성립하면,[7])과 포함되지 않는 부분([math(A^{c}cap E)])으로 나눴을 때, 각각의 측도의 합이 나누기 전의 측도와 같다는 것이다.][8] [math(A)]를 르베그 가측 집합이라고 한다. 르베그 가측 집합의 집합을 [math(mathfrak{M})]으로 나타내자. 르베그 측도 [math(mu:mathfrak{M}tomathbb{R}_{+}^{*})]는 [math(mu^{*})]의 정의역을 [math(mathfrak{M})]으로 제한한 함수이다.
[math(mu (A)=mu^{*}(A), quadtext{for } A in mathfrak{M})]
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[math(mathbb{R}^n)]의 경우는 각 변이 좌표축에 평행한 나란히꼴 구간 [math([a_i^1,,b_i^1] times cdots times [a_i^n,,b_i^n])]들로 덮으면 된다.
이를 통해 [math([0,,1])]의 유리수 집합의 측도가 [math(0)]임을 보일 수 있다. 유리수는 가산집합이므로 유리수들을 [math(q_1,,q_2,,cdots,,q_i)] 이렇게 나열하고, 구간을 [math([a_i,,b_i]=[q_i-epsilon2^{-i},,q_i+epsilon2^{-i}])]로 잡는다. 이 덮개에 대해 구간 길이의 총합은 [math(sum_{i=1}^{infty} epsilon 2^{-i+1} = 4epsilon)]이므로 임의로 작아질 수 있다. 따라서 이 집합의 측도는 [math(0)]이어야 한다.
이 르베그 측도는 우리가 보통 기대하는 넓이에 대한 성질을 만족시킨다. 교집합이 없는 가산개의 집합 [math(A_1,,A_2,,cdots,,A_i)]에 대해 [math(mu(bigcup_i A_i) = sum_i mu(A_i))]이고, 평행이동에 대해 불변이다. 그리고 이 두 성질을 만족시키는 유일한 함수가 저 측도인 것도 같다.
르베그 가측집합이 아닌 집합도 존재하며, 대표적으로는 비탈리 집합(Vitali set)이 있는데, 이걸 처음 본다면 자세히 알 필요는 없다.
이를 통해 [math([0,,1])]의 유리수 집합의 측도가 [math(0)]임을 보일 수 있다. 유리수는 가산집합이므로 유리수들을 [math(q_1,,q_2,,cdots,,q_i)] 이렇게 나열하고, 구간을 [math([a_i,,b_i]=[q_i-epsilon2^{-i},,q_i+epsilon2^{-i}])]로 잡는다. 이 덮개에 대해 구간 길이의 총합은 [math(sum_{i=1}^{infty} epsilon 2^{-i+1} = 4epsilon)]이므로 임의로 작아질 수 있다. 따라서 이 집합의 측도는 [math(0)]이어야 한다.
이 르베그 측도는 우리가 보통 기대하는 넓이에 대한 성질을 만족시킨다. 교집합이 없는 가산개의 집합 [math(A_1,,A_2,,cdots,,A_i)]에 대해 [math(mu(bigcup_i A_i) = sum_i mu(A_i))]이고, 평행이동에 대해 불변이다. 그리고 이 두 성질을 만족시키는 유일한 함수가 저 측도인 것도 같다.
르베그 가측집합이 아닌 집합도 존재하며, 대표적으로는 비탈리 집합(Vitali set)이 있는데, 이걸 처음 본다면 자세히 알 필요는 없다.
4. 르베그 적분
특성함수의 합으로 나타나는 단순함수의 적분을 먼저 다음처럼 정의한다.
[math(displaystyle int Biggl( sum_{i=1}^k c_i {bf 1}_{A_i}(x) Biggr) = sum_{i=1}^k c_i mu(A_i) )]
이제 양함수 [math(f: mathbb{R} rightarrow mathbb{R}_{ge 0})]의 적분은 다음과 같이 정의된다.
[math(displaystyle int f = sup !left{ int g: 0 le g le f, g mathsf{ 는 단순 함수} right} )]
일반적인 실함수 [math(f)]의 경우, [math(f)]의 양수/음수 부분
[math(displaystyle f_{+} = max(f,,0),, f_{-} = max(-f,,0))]
의 적분이 모두 유한할 때만 적분을 정의할 수 있다. 이 때
[math(displaystyle int f = int f_{+} - int f_{-})]
로 정의하고, [math(f)]가 적분 가능(integrable)하다고 한다.
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(예시 추가 예정)
5. 르베그 측도/적분의 성질과 결과들
르베그 적분은 리만 적분에서 성립하는 성질(선형성, 단조성) 등을 모두 만족시키고, 어떤 함수가 리만 적분 가능하면 르베그 적분도 가능하며 값도 동일하다. 대신에 적분할 수 있는 함수의 범위가 무지막지하게 넓어진다는 장점이 있다. 특히, 극한으로 정의될 수 있는 함수들을 (어느 정도의 유한성만 보장되면) 모두 포함하는데, 이것을 말해주는 것이 르베그 지배수렴정리(Lebesgue's dominated convergence theorem)이다. 이것 하나 덕분에 [math(L^p)] 공간을 결정하고 함수공간에서 완비성이니 어쩌니를 논할 수 있다고 보아도 과언이 아니다. 한편으로는 Egorov's theorem, Lusin's theorem 같이, 일반적인 함수의 르베그 측도나 적분도 기존의 리만적분으로 얼마든지 원하는 정도로 수렴을 보장한다는 계열의 정리들도 생각할 수 있다.
측도론이 지저분하다는 통념과는 반대로, 르베그 적분론의 결과들을 받아들인다면 리만 적분 때보다 훨씬 직관적인 적분에 대한 결과들을 대부분의 함수에 대해 갖다 쓸 수 있어서 훨씬 편리해진다.물론 그걸 증명하는 과정이 귀찮기 그지없는 건 사실이다
측도론이 지저분하다는 통념과는 반대로, 르베그 적분론의 결과들을 받아들인다면 리만 적분 때보다 훨씬 직관적인 적분에 대한 결과들을 대부분의 함수에 대해 갖다 쓸 수 있어서 훨씬 편리해진다.
6. 측도론에서의 엄밀한 정의
(추가 예정)
[1] 모든 코시 수열이 그 공간 내부의 원소로 수렴하는 거리 공간. 구멍이 존재하지 않는 거리 공간이라고 생각할 수 있다.[2] 모든 코시 수열이 그 공간 내부의 원소로 수렴하는 거리 공간. 구멍이 존재하지 않는 거리 공간이라고 생각할 수 있다.[3] [math(mathbb{R}_{+}^{*})[4] 이 식의 의미는, 임의의 집합 <math>E</math>를 <math>A</math>에 포함되는 부분([math(Acap E)[5] 일반적으로 외측도에서 <math>mu^{*}(Acup B)leqmu^{*}(A)+mu^*(B)</math>가 성립한다. 특히, <math>A</math>와 <math>B</math>가 서로소여도, 등호가 성립하지 않는 경우가 있다.[6] [math(mathbb{R}_{+}^{*})[7] 이 식의 의미는, 임의의 집합 <math>E</math>를 <math>A</math>에 포함되는 부분([math(Acap E)[8] 일반적으로 외측도에서 <math>mu^{*}(Acup B)leqmu^{*}(A)+mu^*(B)</math>가 성립한다. 특히, <math>A</math>와 <math>B</math>가 서로소여도, 등호가 성립하지 않는 경우가 있다.