유리함수

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1. 개요2. [[정의역]]과 [[치역]]
2.1. 일반형2.2. 표준형
3. 그래프
3.1. 대칭이동·평행이동
3.1.1. [[역함수]]
3.2. [[점근선]]
3.2.1. [[극한]]
4. [[부분분수분해]]5. 오개념: [[연속함수|연속성]]6. [[도함수]]7. [[역도함수]]
7.1. 특수한 경우7.2. 일반적인 경우
8. 기타


1. 개요

rational function · 有理函數

유리함수는 다항식을 다항식으로 나눈 유리식으로 정의되는 대수함수다. 상수만 있어도 다항식으로 볼 수 있으므로 다항식을 상수로 나눈 식으로 정의되는 다항함수도 유리함수에 속한다. 다항함수가 아닌 유리함수는 분수함수라고도 한다.

[math(f(x)=dfrac{displaystyle sum_{k=0}^{n}a_{k}x^{k}}{displaystyle sum_{k=0}^{n}b_{k}x^{k}})]

여기서 [math(a_{k})], [math(b_{k})]는 상수이다.

유리함수의 분모가 0이 되는 [math(x)]값이 존재할 수도 있는데, 그런 경우에 그 점은 정의역에서 빠진다. 그렇지 않으면 잘 정의되지 않아 함수가 아니게 되기 때문.

이 문서에서는 고등학교에서 다루는 (일차식)/(일차식)의 꼴을 주로 설명한다. 이 경우 다음과 같이 두 가지 꼴로 나타낼 수 있다.

  • 일반형: [math(y=dfrac{cx+d}{ax+b})] (단, [math(aneq 0,;ax+bneq 0,;adneq bc)])
  • 표준형: [math(y=dfrac{k}{x-p}+q)] (단, [math(kneq 0,;pneq 0)])

분모가 0이 될 수 없으므로 [math(ax+bneq 0,;pneq 0)]이어야 한다. 한편, [math(k=0)]이면 [math(y=q)]라는 상수함수가 되고, [math(a=0)]이면 [math(y={(cx+d)}/{b})]라는 일차함수가 되고, [math(ad=bc)]이면 분모와 분자가 약분되어 상수함수가 된다. 나아가, [math(c=d=0)]인 경우 [math(y=0)]이라는 상수함수가 되는데 이는 마침 [math(ad=bc)]의 충분조건이므로 따로 기술할 필요가 없다.

2. 정의역과 치역

2.1. 일반형

유리함수의 분모는 0이 될 수 없으므로, 일반형의 경우 [math(ax+bneq 0)]이어야 하므로 정의역은

[math( displaystyle left{biggl. x biggr|x neq -frac{b}{a},,x in mathbb{R} right } )]

를 만족시켜야 하고,

[math(begin{aligned} f(x)=dfrac{cx+d}{ax+b}=cfrac {ad-dfrac{bc}{a^2}}{x+dfrac{b}{a}}+dfrac{c}{a} end{aligned})]

에서 [math( ad-(bc)/a^2neq 0)]이므로 치역은 다음과 같다.

[math( displaystyle left{ f(x) biggl. biggr|f(x) neq dfrac{c}{a},,f(x) in mathbb{R} right} )]


2.2. 표준형

유리함수의 분모는 0이 될 수 없으므로, 표준형의 경우 [math(pneq 0)]이어야 하므로 정의역은

[math( displaystyle { x |x neq p,,x in mathbb{R} } )]

를 만족시켜야 하고, [math(kneq 0)]이므로 치역은 다음과 같다.

[math( displaystyle { f(x)|f(x) neq q,,f(x) in mathbb{R} } )]


3. 그래프

[math(y=dfrac{k}{x-p}+q)] (단, [math(kneq 0,;pneq 0)])

의 그래프의 성질은 다음과 같다.
  • 한 쌍의 매끄러운 곡선[2] 로 변형할 수 있다.]으로 그려진다.
    • [math(k>0)]이면 우상단과 좌하단에 그려진다.
    • [math(k<0)]이면 좌상단과 우하단에 그려진다.
  • 직선 [math(x=p)], [math(y=q)]와 결코 만나지는 않으나 점점 가까워진다. 이 두 직선을 점근선이라 한다.
    • [math(|k|)]가 작을수록 그래프가 점근선에 가까워진다.
  • 점 [math((p,,q))]에 대하여 대칭이다.
  • 직선 [math(y=(x-p)+q)]에 대하여 대칭이다.
  • 직선 [math(y=-(x-p)+q)]에 대하여 대칭이다.

파일:namu_유리함수_그래프.png

3.1. 대칭이동·평행이동

[math(y=dfrac{k}{x-p}+q)] (단, [math(kneq 0,;pneq 0)])

의 그래프는 [math(y={k}/{x})]의 그래프를 [math(x)]축 방향으로 [math(p)]만큼, [math(y)]축 방향으로 [math(q)]만큼 평행이동한 것이므로 그 기본꼴 [math(y={k}/{x})]를 살펴볼 필요가 있다. 여기에서 다음 함수를 얻을 수 있다.

  • [math(y=-dfrac{k}{x})]
    • [math(y=dfrac{k}{x})]를 [math(x)]축([math(y)]축)에 대하여 대칭이동
    • 정의역은 [math( displaystyle { x|x neq 0,,x in mathbb{R} } )]
    • 치역은 [math( displaystyle { y|y neq 0,,y in mathbb{R} } )]

  • [math(y=dfrac{k}{x-p}+q)]
    • [math(y=dfrac{k}{x})]를 [math(x)]축 방향으로 [math(p)]만큼, [math(y)]축 방향으로 [math(q)]만큼 평행이동
    • 정의역은 [math( displaystyle { x|x neq p,,x in mathbb{R} } )]
    • 치역은 [math( displaystyle { y|y neq q,,y in mathbb{R} } )]

3.1.1. 역함수

유리함수는 일대일대응이 아닌 경우가 대부분으로, 이 경우 역함수가 존재하지 않는다. 다만, (일차식)/(일차식) 형태에서는 역함수가 존재한다. 즉,

[math( begin{aligned} f(x) &= dfrac{cx+d}{ax+b} quad to quad f^{-1}(x)=dfrac{-bx+d}{ax-c} quad (-bx+dneq 0,;adneq bc,, a neq 0) \ f(x)&=dfrac{k}{x-p}+q quad to quad f^{-1}(x)=dfrac{k}{x-q}+p quad (xneq q) end{aligned} )]


유리함수의 역함수와 원래 함수 사이에는, 점근선의 교점이 직선 [math(y=x)]에 대칭이라는 관계가 있다. 다시 말해서 원래 함수의 점근선이 [math(x=p)] 및 [math(y=q)]이면, 역함수의 점근선은 [math(x=q)] 및 [math(y=p)]이다. 이에 따라서 함수의 그래프 전체가 직선 [math(y=x)]에 대하여 대칭이 된다.

3.2. 점근선

[math(y=dfrac{k}{x-p}+q)] (단, [math(kneq 0,;pneq 0)])

의 점근선 [math(x=p)]와 [math(y=q)]의 보다 자세한 성질은 다음과 같다.
  • 두 점근선의 교점 [math((p,,q))]에 대하여
    • [math((p,,q))]를 지나면서 기울기의 절댓값이 1인 두 직선 중, [math(k)]와 기울기의 부호가 같은 직선과 유리함수의 그래프의 교점에서의 접선의 기울기의 절댓값은 항상 1이다. [math(k>0)]이면 -1이고 [math(k<0)]이면 1이다.
    • 한 쌍의 곡선 중 하나의 곡선 위의 점 중 해당 직선에서 같은 거리만큼 떨어진 두 점에서의 접선의 기울기의 곱은 1이다.

위의 유리함수와 이 함수의 그래프의 점근선의 교점을 지나면서 기울기가 1인 직선 [math(l: y=(x-p)+q)]에 대하여

[math(begin{aligned}dfrac{k}{x-p}+q&=(x-p)+q\dfrac{k}{x-p}&=x-p\k&=(x-p)^2\therefore x&=sqrt k+pend{aligned})]

두 그래프의 교점의 [math(x)]좌표 [math(x=sqrt k+p)]를 도함수 문단을 참고하여

[math(f'(x)=-dfrac{k}{(x-p)^2})]

에 대입하면

[math(-dfrac{k}{(sqrt k+p-p)^2}=-dfrac{k}{k}=-1)]

따라서 [math(k>0)]이면 [math(f(x))]와 [math(l)]의 교점의 접선의 기울기는 -1이다. 같은 방법으로, [math(k<0)]이면 교점의 접선의 기울기가 1임을 증명할 수 있다.

3.2.1. 극한

[math(f(x)=dfrac{cx+d}{ax+b}=dfrac{k}{x-p}+q)]

의 극한은 점근선과 관련이 있다.
  • 일반형
    • [math(displaystylelim_{xtopminfty}f(x)=lim_{xtopminfty}dfrac{cx+d}{ax+b}=dfrac{c}{a})]
    • 그래프가 [math(x)]축 방향으로 진행하면 점근선 [math(y=dfrac{c}{a})]에 한없이 가까워짐
  • 표준형
    • [math(displaystylelim_{xtopminfty}f(x)=lim_{xtopminfty}dfrac{k}{x-p}+q=q)]
    • 그래프가 [math(x)]축 방향으로 진행하면 점근선 [math(y=q)]에 한없이 가까워짐

한편, 역함수 [math(f^{-1}(x))]의 극한은 다음과 같이 해석할 수 있다.
  • 일반형
    • [math(displaystylelim_{ytopminfty}f^{-1}(y)=lim_{ytopminfty}dfrac{-by+d}{ay-c}=-dfrac{b}{a})]
    • 그래프가 [math(y)]축 방향으로 진행하면 점근선 [math(x=-dfrac{b}{a})]에 한없이 가까워짐
  • 표준형
    • [math(displaystylelim_{ytopminfty}f^{-1}(y)=lim_{ytopminfty}dfrac{k}{y-q}+p=p)]
    • 그래프가 [math(y)]축 방향으로 진행하면 점근선 [math(x=p)]에 한없이 가까워짐

4. 부분분수분해

유리함수는 다음을 만족하는 유리함수 [math( p(x)/{q(x)}^{n})]들과 다항함수의 유한합 꼴로 나타낼 수 있다.
  • [math( q(x))]는 일차함수이거나, 기약[4] 이차함수이다.
  • [math( p(x))]의 차수는 [math( q(x))]의 차수보다 작다.



5. 오개념: 연속성

많은 학생들이 가지고 있는 오개념으로는, '분모가 [math(0)]인 [math( x)]가 존재하는 유리함수는 실수 위에서 불연속이다'가 있다. 그러나, 그런 유리함수를 실수 위에서 정의하면, 함수 자체가 될 수 없으므로, 분모가 [math(0)]인 [math( x)]를 고려할 필요가 없다. 다른 초등함수와 마찬가지로, 유리함수는 항상 연속함수이다.[5]

6. 도함수

[math(dfrac{rm d}{{rm d}x}dfrac{f(x)}{g(x)} = dfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x) ]^2})]
이므로, 일반형의 경우 [math(f(x)=cx+d,, g(x)=ax+b)]라고 하면
[math(dfrac{rm d}{{rm d}x}h(x)=dfrac{rm d}{{rm d}x}dfrac{cx+d}{ax+b} = dfrac{c(ax+b)-a(cx+d)}{(ax+b)^2})]

표준형의 경우 [math(f(x)=k,,g(x)=x-p)]라고 하면 [math(q)]는 상수이므로

[math(dfrac{rm d}{{rm d}x}h(x)=dfrac{rm d}{{rm d}x}left(dfrac{k}{x-p}+qright)=dfrac{rm d}{{rm d}x}dfrac{k}{x-p}=-dfrac{k}{(x-p)^2})]


여기에 극한을 취하면 다음과 같이 해석할 수 있다.

  • 일반형
    • [math(displaystylelim_{xtopminfty}h(x)=lim_{xtopminfty}dfrac{c(ax+b)-a(cx+d)}{(ax+b)^2}=0)]
    • 그래프가 [math(x)]축 방향으로 진행하면 기울기가 0에 수렴
  • 표준형
    • [math(displaystylelim_{xtopminfty}h(x)=lim_{xtopminfty}-dfrac{k}{(x-p)^2}=0)]
    • 그래프가 [math(x)]축 방향으로 진행하면 기울기가 0에 수렴

나아가 역함수의 도함수에 극한을 취하면 다음과 같이 해석할 수 있다.

  • 일반형
    • [math(displaystylelim_{ytopminfty}h^{-1}(y)=lim_{ytopminfty}dfrac{-b(ay-c)+a(by-d)}{(ay-2)^2}=0)]
    • 그래프가 [math(y)]축 방향으로 진행하면 기울기가 [math(infty)]로 발산[9]축을 기준으로 놓을 때 극한이 0이라면 [math(x)]축을 기준으로 놓으면 극한이 무한대가 되는 셈이다.]
  • 표준형
    • [math(displaystylelim_{ytopminfty}h^{-1}(y)=lim_{ytopminfty}-dfrac{k}{(y-q)^2}=0)]
    • 그래프가 [math(y)]축 방향으로 진행하면 기울기가 [math(infty)]로 발산[11]축을 기준으로 놓을 때 극한이 0이라면 [math(x)]축을 기준으로 놓으면 극한이 무한대가 되는 셈이다.]

7. 역도함수

다음과 같이 조각적으로 정의된 함수를 생각해보자.
[math(f(x)=begin{cases}ln x +C& quad (x>0)\ ln, (-x)+D &quad(x<0) end{cases})]
이때, [math(f)]의 도함수는 [math(f'(x)=x^{-1})]로 계산된다. 즉, 분모가 [math(0)]인 [math(x)]가 존재하는 유리함수의 경우, 부정적분이 조각적으로 정의되는 함수가 되는데, 정의역이 서로소인 두 개 이상의 열린구간의 합집합이기 때문이다.[12] 정의역을 열린구간으로 한정한 경우, 위 표현을 다음과 같이 쓸 수 있다.
[math(displaystyle int frac{1}{x},{rm d}x=ln{|x|}+ {sf const.})]

7.1. 특수한 경우


(단, [math(C)]는 적분 상수이다.)

7.2. 일반적인 경우

주어진 유리함수가 특수한 경우에 해당하지 않는 경우에, 우선 부분분수분해를 한다. 그러면, 다음과 같은 유리식 꼴의 선형결합의 형태로 바꿔 쓸 수 있다.(단, [math( ninmathbb{N})], [math( bneq 0)])
  1. 다항함수
  2. [math( dfrac{1}{(x-a)^{n}})]
  3. [math( dfrac{x-a}{{(x-a)^{2}+b^{2}}^{n}})]
  4. [math( dfrac{1}{{(x-a)^{2}+b^{2}}^{n}})]

1, 2, 3의 경우는 쉽게 적분 가능하고, 4의 경우는 위의 특수한 경우에서 [math( A_{n})]의 점화식을 이용하여 구할 수 있다. 부정적분의 선형성을 이용하여, 각각의 부정적분을 구한 후 다시 더하면 된다.

8. 기타

  • 중학교 수학에서 정비례와 반비례를 다루면서 처음 접하게 된다.
  • 고등학교 교육과정상 수학의 5단원 '함수' 단원에서 다루는데, 이때는 위 식과 같이 다항식을 일차식으로 나눈 유리식으로 정의되는 유리함수만을 다룬다. 고등학교 미적분에서는 몫의 미분법을 다루고 있어 모든 유리함수를 미분하는 법을 배운다.
  • 미분은 간단하게 계산할 수 있는 반면[17], 적분은 사정이 좀 다른데, 엄청난 계산 노가다가 동반되는 경우가 있다. 그래도 다행인건 다른 초등함수[18]와는 다르게, 부정적분이 항상 초등함수의 형태이다. 따라서 울프램알파 등의 계산 프로그램에서 적분을 계산할 때, 그냥 때려맞춰서 푸는 것이 아니라, 알고리즘을 이용해서 계산한다.
  • 조화수열은 자연수만을 정의역으로 하는 (상수)/(일차식) 꼴의 유리함수이다.
  • 푸리에 변환을 하면 부호 함수를 얻을 수 있다.
[1] 실제로 회전변환을 통해 쌍곡선의 표준형 [math(displaystyle frac{x^{2}}{a^{2}}-frac{y^{2}}{b^{2}}=pm 1)[2] 실제로 회전변환을 통해 쌍곡선의 표준형 [math(displaystyle frac{x^{2}}{a^{2}}-frac{y^{2}}{b^{2}}=pm 1)[3] 인수분해가 되지 않는[4] 인수분해가 되지 않는[5] 학교 선생님들도 간혹 잘못 알고 있는 경우가 있는데, 고등학교 교육과정 상, 극한과 연속의 정의를 두루뭉술하게 하고 넘어가므로, 이를 가지고 싸울 필요가 없다. 고등학생들의 연속함수에 대한 오개념에 대해서는 논문을 참조하자.[6] [math(y)[7] [math(y)[8] [math(y)[9] [math(y)[10] [math(y)[11] [math(y)[12] 하지만, 정의역 전체에서 생각해야하는 경우가 거의 없으므로 대부분 신경 안 쓰는 편. 부정적분을 활용하는 대표적인 예로는, 정적분을 계산하는 것인데, 이 경우에도 정의역에 포함되는 닫힌구간에서만 생각하는 것이다.[13] [math({rm sgn})[14] [math({rm sgn})[15] 몫의 미분법은 계산이 약간 더럽긴 하지만, 로그를 씌워서 미분하는 방법으로 지저분한 계산을 피해갈수도 있다.[16] 가령, 무리함수의 일부 꼴은 타원적분을 이용해서 역도함수를 표현해야 한다.[17] 몫의 미분법은 계산이 약간 더럽긴 하지만, 로그를 씌워서 미분하는 방법으로 지저분한 계산을 피해갈수도 있다.[18] 가령, 무리함수의 일부 꼴은 타원적분을 이용해서 역도함수를 표현해야 한다.