예상과 확인

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1. 개요2. 예시3. 여담

1. 개요[편집]

豫想과 確認

대한민국 초등학교 수학 교육과정에 나오는 문제 해결 과정.

중학교부터는 연립방정식을 배우고, 미지수가 두 개이고 미지수들에 대한 식이 두 개일 때 방정식의 해를 결정할 수 있음을 배우고, 연립일차방정식의 대수적인 해법을 배운다. 그러나 방정식의 개념을 익히기 전인 초등학교에서는, 예상과 확인이라는 시행착오법으로 접근하도록 교육한다.

2. 예시[편집]

다음 예를 통해 전자와 후자의 차이를 확인해보자.
문제: 어느 동물농장에 돼지와 닭이 있습니다. 동물들은 모두 20마리이며, 동물들의 다리는 모두 68개입니다. 돼지와 닭은 각각 몇 마리입니까?
<중학교 이상의 수준>
돼지를 xx마리, 닭을 yy마리라고 한 뒤, 돼지는 다리가 4개이고 닭은 다리가 2개임에 착안하여 다음과 같은 연립일차방정식을 세울 수 있으며,

{x+y=204x+2y=68\begin{cases}x+y=20\\4x+2y=68\end{cases}

아래 과정을 통해 풀 수 있다.

[풀이 보기(중학생 수준)]

우선 1번 식에 2를 곱해서 2번 식에서 빼자.
(4x+2y=68)−2(x+y=20)⇒(4x−2x)+(2y−2y)=(68−40)⇒2x=28(4x+2y=68) - 2(x+y=20) \Rightarrow (4x - 2x) + \cancel{(2y - 2y)} = (68 -40) \Rightarrow 2x = 28
∴x=14\therefore x = 14
그 다음, 1번 식에 x:=14x := 14를 취하면

14+y=20⇒y=614+y=20 \Rightarrow y=6

따라서 해는 x=14,y=6x=14, y=6이다.

[풀이 보기(선형대수학 수준)]

우선 선형 변환을 하면
[1142][xy]=[2068]\displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 4 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 20 \\ 68 \end{bmatrix}

역행렬을 구하기 위해 우선 행렬식을 계산해보면 다음과 같으므로 역행렬이 존재한다.
det[1142]=1×2−1×4=−2\displaystyle \mathrm{det} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 4 & 2 \end{bmatrix} = 1 \times 2 - 1 \times 4 = -2

위 행렬의 고전적 수반 행렬을 구하면 다음과 같다.[1]
adj[1142]=[2×(−1)1+14×(−1)1+21×(−1)2+11×(−1)2+2]T ⁣ ⁣=[2−4−11]T ⁣ ⁣=[2−1−41]\displaystyle \mathrm{adj} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 4 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2\times(-1)^{1+1} & 4\times(-1)^{1+2} \\ 1\times(-1)^{2+1} & 1\times(-1)^{2+2} \end{bmatrix}^T \!\! = \begin{bmatrix} 2 & -4 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}^T \!\! = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -4 & 1 \end{bmatrix}

그러므로 역행렬은 다음과 같다.
[1142]−1 ⁣ ⁣ ⁣=−12[2−1−41]=[−1122−12]\displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 4 & 2 \end{bmatrix}^{-1} \!\!\! = -\frac{1}{2} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -4 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & \frac12 \\ 2 & -\frac12 \end{bmatrix}

역행렬이 맞는지 원래 행렬에 곱해 보자. 예상대로 단위행렬이 나온다.
[−1122−12][1142]=[−1×1+12×4−1×1+12×22×1−12×42×1−12×2]=[1001]\displaystyle \begin{bmatrix} -1 & \frac12 \\ 2 & -\frac12 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 &1 \\ 4 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1\times 1 +\frac12\times4 & -1\times1+\frac12\times2 \\ 2\times 1 -\frac12\times4 & 2\times1-\frac12\times2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

이 역행렬을 우변의 행렬에 곱하면 다음과 같다.
[−1122−12][2068]=[−1×20+12×682×20−12×68]=[146]\displaystyle \begin{bmatrix} -1 & \frac12 \\ 2 & -\frac12 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 20 \\ 68 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \times 20 + \frac12 \times 68 \\ 2 \times 20 - \frac12 \times 68 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 14 \\ 6 \end{bmatrix}

따라서 해는 x=14,y=6x=14, y=6이다.

따라서 돼지는 14마리, 닭은 6마리이다.
<초등학교 수준>
우선, 돼지를 □마리, 닭을 △마리라고 하자. □+△=20이 되도록 아무 수나 넣어본다. 돼지는 다리가 4개이고 닭은 다리가 2개임에 착안하여 다음과 같이 예상과 확인을 실행한다.

□=12, △=8로 하면(예상), 4×□+2×△=4×12+2×8=64가 되어 문제의 조건에 맞지 않는다(확인).
□=13, △=7로 하면(예상), 4×□+2×△=4×13+2×7=66이 되어 문제의 조건에 맞지 않는다(확인).
□=14, △=6으로 하면(예상), 4×□+2×△=4×14+2×6=68이 되어 문제의 조건에 맞는다(확인).

따라서 돼지는 14마리, 닭은 6마리이다.

이미 미지수를 xx나 yy 따위로 표기함을 배운 중학교와 달리, 예상과 확인을 배울 때는 xx는커녕 '미지수'라는 용어도 쓰지 않고 '어떤 수' 또는 '알 수 없는 수'라는 말로 풀어 쓴다. 또한, xx 대신 □(네모)를 쓰며, □ 다음으로는 보통 △(세모)를 쓴다. 곱셈 기호(×) 역시 생략하지 않고 그대로 쓴다.

또한, 예상과 확인에서는 연립일차방정식의 해가 0 이상의 정수가 나오는 경우만을 다룬다. 음수, 무리수 등 배우지 않은 수학 개념들이 있을 뿐 아니라, 그렇게 하지 않고서는 생각해야 할 수의 개수가 무한대로 늘어나기 때문이다. 유리수로만 확장하더라도 0과 1 사이에 무수히 많은 유리수가 존재한다. 이 차이를 인지하지 못하는 사람이 하게 되는 행위가 일명 '노가다'이다.

이 '예상과 확인'에서는 동물들의 다리 세기가 거의 클리셰 수준이다. 이것만큼 연립일차방정식을 실생활과 찰떡같이 연결할 만한 소재가 없기 때문이다.

3. 여담[편집]

인터넷 강사 삽자루는 본인의 강의 도중, '예상과 확인'의 중요성을 언급하며 선행학습을 하면 안 되는 이유를 말했고, 이게 인터넷 커뮤니티에 언급된 바 있다. 선행학습의 문제점
[1] 사실 역행렬 계산에 고전적 수반 행렬이 필수적인 것은 아니며, 첨가행렬 [A∣I][A|I]을 만들어 기본행연산을 통해 [I∣A−1][I|A^{-1}]로 만드는 방식을 많이 사용하며, 그나마도 차수가 높아지면 역행렬보다는 대각화, 삼각화 등을 사용한다.