부분적분/LIATE 법칙

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1. 개요2. 상세
2.1. 로다삼지
3. LIATE 법칙이 적용되지 않는 경우
3.1. 삼각함수3.2. 지수함수
3.2.1. 쌍곡선 함수
3.3. 삼각함수 + 지수함수 합성
4. 특수함수의 경우

1. 개요[편집]

부분적분을 할 때 쓰이는 방법론 중 하나로, 브래들리 대학의 Herbert Kasube가 제안한 LIATE 법칙을 설명한다.

2. 상세[편집]

L
Logarithmic functions (로그함수)
ln⁡x\ln{x}, log⁡ax\log_{a}{x} 등[1]
I
Inverse trigonometric functions (역삼각함수)
sin⁡−1x\sin^{-1}{x}, tan⁡−1x\tan^{-1}{x} 등
A
Algebraic functions (대수적 함수)
x2x^{2}, 3x43x^{4} 등
T
Trigonometric functions (삼각함수)
sin⁡x\sin{x}, tan⁡x\tan{x} 등
E
Exponential functions (지수함수)
exe^{x}, sinh⁡x\sinh x[2][3] 등

표의 위쪽(LIATE 기준 왼쪽)으로 갈수록 미분 우선이고, 표의 아래쪽(LIATE 기준 오른쪽)으로 갈수록 적분 우선이다. 이러한 우선순위가 존재하는 까닭은 로그함수로 갈 수록 적분이 까다로워지기 때문이다. 다만, 로그함수와 역삼각함수의 경우에는 우선순위가 유동적인 경우가 많아 LIATE 법칙이 항상 옳은 것은 아니다. 때로는 ILATE 순이 더 적절할 수도 있다.

2.1. 로다삼지[편집]

한국의 교등학교 교육과정에서는 역삼각함수를 배우지 않고, 대수적 함수라는 표현 대신 다항함수[4]라는 표현을 쓰기 때문에 이 순서를 'LATE 법칙'이라고 하며, '로다삼지'라는 순서로도 흔히 외운다.

3. LIATE 법칙이 적용되지 않는 경우[편집]

다만 때에 따라서는 적분 우선이라는 삼각함수, 지수함수 적분이 단순 로그함수 적분보다 훨씬 어려워지기도 한다. 특수함수가 나오면 다행이고[5], 아예 대응 특수함수조차 없는 상황도 꽤 잦다. 이런 내막을 모른 채 로다삼지를 과신하면 계산이 안드로메다로 간다(...).

대응 특수함수 적분식이 없는 함수는 울며 겨자먹기로 (대학교 미적분학 과정에서) 테일러 전개 혹은 중적분의 극좌표 변환(가우스 적분)을 활용하여 적분하거나, (공업수학에서) 라플라스 변환/푸리에 변환[6]으로 돌아서 가는 방법을 사용해야 한다.

3.1. 삼각함수[편집]

  • ∫sin⁡x2 dx=S(x)+const.\displaystyle \int \sin x^2\, \mathrm{d}x = S(x) + \mathsf{const.} - 프레넬 사인 적분 함수를 사용해야 한다.[7]
  • ∫cos⁡x2 dx=C(x)+const.\displaystyle \int \cos x^2\, \mathrm{d}x = C(x) + \mathsf{const.} - 프레넬 코사인 적분 함수를 사용해야 한다.[8]
  • ∫sin⁡(x−1) dx=−Ci(x−1)+xsin⁡(x−1)+const.\displaystyle \int \sin(x^{-1}) \, \mathrm{d}x = -\mathrm{Ci}(x^{-1}) + x \sin(x^{-1}) + \mathsf{const.} - 코사인 적분 함수를 사용해야 한다.
  • ∫cos⁡(x−1) dx=Si(x−1)+xcos⁡(x−1)+const.\displaystyle \int \cos(x^{-1}) \, \mathrm{d}x = \mathrm{Si}(x^{-1}) + x \cos(x^{-1}) + \mathsf{const.} - 사인 적분 함수를 사용해야 한다.
  • ∫sin⁡∣x∣ dx=(1−cos⁡x) sgn(x)+1+const.\displaystyle \int \sin |x| \, \mathrm{d}x = (1- \cos x) \ \mathrm{sgn}(x)+1 + \mathsf{const.} - 부호 함수를 사용해야 한다.
  • ∫tan⁡∣x∣ dx=−ln⁡∘cos⁡(x) sgn(x)+const.\displaystyle \int \tan |x| \, \mathrm{d}x = - \ln \circ \cos (x) \ \mathrm{sgn}(x) + \mathsf{const.} - 부호 함수를 사용해야 한다.
  • ∫csc⁡∣x∣ dx=ln⁡∘tan⁡(x2)sgn(x)+const.\displaystyle \int \csc |x| \, \mathrm{d}x = \ln \circ \tan \left(\frac{x}{2}\right) \mathrm{sgn}(x) + \mathsf{const.} - 부호 함수를 사용해야 한다.
  • ∫cot⁡∣x∣ dx=ln⁡∘sin⁡(x) sgn(x)+const.\displaystyle \int \cot |x| \, \mathrm{d}x = \ln \circ \sin(x) \ \mathrm{sgn}(x) + \mathsf{const.} - 부호 함수를 사용해야 한다.
  • ∫∣sin⁡x∣dx=−sgn∘sin⁡(x)cos⁡x+const.\displaystyle \int \left|\sin x \right| \mathrm{d}x = - \mathrm{sgn} \circ \sin(x) \cos x+ \mathsf{const.} - 부호 함수를 사용해야 한다.
  • ∫∣cos⁡x∣dx=sgn∘cos⁡(x)sin⁡x+const.\displaystyle \int \left|\cos x \right| \mathrm{d}x = \mathrm{sgn} \circ \cos(x) \sin x+ \mathsf{const.} - 부호 함수를 사용해야 한다.
  • ∫∣tan⁡x∣dx=−sgn∘tan⁡(x)ln⁡∣cos⁡x∣+const.\displaystyle \int \left| \tan x \right| \mathrm{d}x = -\mathrm{sgn} \circ \tan(x) \ln \left| \cos x \right| + \mathsf{const.} - 부호 함수를 사용해야 한다.
  • ∫∣sec⁡x∣ dx=sgn(sec⁡x)ln⁡∣sec⁡x+tan⁡x∣+const.\displaystyle \int \left| \sec x \right| \, \mathrm{d}x = \mathrm{sgn}\left(\sec x\right) \ln \left|\sec x + \tan x\right| + \mathsf{const.} - 부호 함수를 사용해야 한다.
  • ∫∣csc⁡x∣ dx=−sgn(csc⁡x)ln⁡∣csc⁡x+cot⁡x∣+const.=sgn(csc⁡x)ln⁡∣csc⁡x−cot⁡x∣+const.\displaystyle \int \left| \csc x \right| \, \mathrm{d}x = -\mathrm{sgn}\left(\csc x\right) \ln \left|\csc x + \cot x\right| + \mathsf{const.} = \mathrm{sgn}\left(\csc x\right) \ln \left|\csc x - \cot x\right| + \mathsf{const.} - 부호 함수를 사용해야 한다.
  • ∫∣cot⁡x∣ dx=sgn(cot⁡x)ln⁡∣sin⁡x∣+const.\displaystyle \int \left| \cot x \right| \, \mathrm{d}x = \mathrm{sgn}\left(\cot x\right) \ln \left|\sin x\right| + \mathsf{const.} - 부호 함수를 사용해야 한다.
  • ∫xtan⁡x dx=i2(Li2(−e2ix)+x(x+2iln⁡(1+e2ix)))+const.\displaystyle \int x \tan x \, \mathrm{d}x = \frac{i}{2}(\mathrm{Li}_2(-e^{2ix})+x(x+2i \ln(1+e^{2ix})))+ \mathsf{const.} - 폴리로그함수를 사용해야 한다.
  • ∫xcsc⁡x dx=−2iLi2(eix)+i2Li2(e2ix)−2xtanh⁡−1eix+const.\displaystyle \int x \csc x \, \mathrm{d}x = -2 i \mathrm{Li}_2(e^{i x}) + \frac{i}{2} \mathrm{Li}_2(e^{2 i x}) - 2 x \tanh^{-1} e^{i x} + \mathsf{const.} - 폴리로그함수와 역쌍곡선 탄젠트를 사용해야 한다.
  • ∫xsec⁡x dx=−i(Li2(ieix)−Li2(sin⁡x−icos⁡x)+2xtan⁡−1eix)+const.\displaystyle \int x \sec x \, \mathrm{d}x = -i (\mathrm{Li}_2(i e^{i x}) - \mathrm{Li}_2(\sin x -i \cos x) + 2 x \tan^{-1}e^{i x}) + \mathsf{const.} - 폴리로그함수와 역탄젠트를 사용해야 한다.
  • ∫xcot⁡x dx=12(−iLi2(−e2ix)−ix2+2xln⁡(1−e2ix))+const.\displaystyle \int x \cot x \, \mathrm{d}x = \frac{1}{2}(-i \mathrm{Li}_2(-e^{2ix})-ix^2+2x \ln(1-e^{2ix}))+ \mathsf{const.} - 폴리로그함수를 사용해야 한다.
  • ∫sin⁡xx dx=Si(x)+const.\displaystyle \int \frac{\sin x}{x} \, \mathrm{d}x = \mathrm{Si}(x) + \mathsf{const.} - 사인 적분 함수를 사용해야 한다.
  • ∫cos⁡xx dx=Ci(x)+const.\displaystyle \int \frac{\cos x}{x} \, \mathrm{d}x = \mathrm{Ci}(x) + \mathsf{const.} - 코사인 적분 함수를 사용해야 한다.
  • ∫tan⁡xx dx\displaystyle \int \frac{\tan x}{x} \, \mathrm{d}x - 대응하는 적분식 자체가 없다.
  • ∫csc⁡xx dx\displaystyle \int \frac{\csc x}{x} \, \mathrm{d}x - 대응하는 적분식 자체가 없다.
  • ∫sec⁡xx dx\displaystyle \int \frac{\sec x}{x} \, \mathrm{d}x - 대응하는 적분식 자체가 없다.
  • ∫cot⁡xx dx\displaystyle \int \frac{\cot x}{x} \, \mathrm{d}x - 대응하는 적분식 자체가 없다.

3.2. 지수함수[편집]

  • ∫e−x2dx=π2erf(x)+const.\displaystyle \int e^{-x^2} \mathrm{d}x = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \mathrm{erf}(x) + \mathsf{const.} - 오차함수를 사용해야 한다.
  • ∫exxdx=Ei(x)+const.\displaystyle \int \frac{e^x}{x} \mathrm{d}x = \mathrm{Ei}(x) + \mathsf{const.} - 지수 적분 함수를 사용해야 한다.
  • ∫e1xdx=xe1x+Ei(1x)+const.\displaystyle \int e^{\frac{1}{x}} \mathrm{d}x = xe^{\frac{1}{x}} + \mathrm{Ei}\left(\frac{1}{x}\right) + \mathsf{const.} - 지수 적분 함수를 사용해야 한다.
  • ∫xxdx\displaystyle \int x^{x} \mathrm{d}x - 대응하는 적분식 자체가 없다.

3.2.1. 쌍곡선 함수[편집]

  • ∫xtanh⁡x dx=−12 Li2(−e−2x)+x22+xln⁡(e−2x+1)+const.\displaystyle \int x\tanh{x}\,\mathrm{d}x = -\frac{1}{2} \,\mathrm{Li}_2(-e^{-2x}) + \frac{x^2}{2} + x\ln{(e^{-2x}+1)} + \mathsf{const.} - 폴리로그함수를 사용해야 한다.
  • ∫x coth x dx=−12 Li2(e−2x)+x22+xln⁡(−e−2x+1)+const.\displaystyle \int x\,\mathrm{coth}\,{x}\,\mathrm{d}x = -\frac{1}{2} \,\mathrm{Li}_2(e^{-2x}) + \frac{x^2}{2} + x\ln{(-e^{-2x}+1)} + \mathsf{const.} - 폴리로그함수를 사용해야 한다.
  • ∫x sech x dx=i Li2(ie−x)−i Li2(−ie−x)+2x arccot(ex)+const.\displaystyle \int x\,\mathrm{sech}\,{x}\,\mathrm{d}x = i\,\mathrm{Li}_2(ie^{-x}) - i\,\mathrm{Li}_2(-ie^{-x}) + 2x\,\mathrm{arccot}{(e^x)} + \mathsf{const.} - 폴리로그함수를 사용해야 한다.
  • ∫x csch x dx=Li2(sinh⁡x−cosh⁡x)−Li2(e−x)−2x arcoth(ex)+const.\displaystyle \int x\,\mathrm{csch}\,{x}\,\mathrm{d}x = \mathrm{Li}_2(\sinh{x}-\cosh{x}) - \mathrm{Li}_2(e^{-x}) - 2x\,\mathrm{arcoth}{(e^x)} + \mathsf{const.} - 폴리로그함수를 사용해야 한다.
  • ∫sinh⁡xx dx=Shi(x)+const.\displaystyle \int \frac{\sinh{x}}{x} \,\mathrm{d}x = \mathrm{Shi}(x) + \mathsf{const.} - 쌍곡 사인 적분 함수를 사용해야 한다.
  • ∫cosh⁡xx dx=Chi(x)+const.\displaystyle \int \frac{\cosh{x}}{x} \,\mathrm{d}x = \mathrm{Chi}(x) + \mathsf{const.} - 쌍곡 코사인 적분 함수를 사용해야 한다.
  • ∫sinh⁡ex dx=Shi(ex)+const.\displaystyle \int \sinh{e^x}\,\mathrm{d}x = \mathrm{Shi}(e^x) + \mathsf{const.} - 쌍곡 사인 적분 함수를 사용해야 한다.
  • ∫cosh⁡ex dx=Chi(ex)+const.\displaystyle \int \cosh{e^x}\,\mathrm{d}x = \mathrm{Chi}(e^x) + \mathsf{const.} - 쌍곡 코사인 적분 함수를 사용해야 한다.
  • ∫sinh⁡(x−1) dx=xsinh⁡(x−1)−Chi(x−1)+const.\displaystyle \int \sinh(x^{-1}) \,\mathrm{d}x = x \sinh(x^{-1}) - \mathrm{Chi}(x^{-1}) + \mathsf{const.} - 쌍곡 코사인 적분 함수를 사용해야 한다.
  • ∫cosh⁡(x−1) dx=xcosh⁡(x−1)−Shi(x−1)+const.\displaystyle \int \cosh(x^{-1}) \,\mathrm{d}x = x \cosh(x^{-1}) - \mathrm{Shi}(x^{-1}) + \mathsf{const.} - 쌍곡 사인 적분 함수를 사용해야 한다.
  • ∫sinh⁡x2 dx=π4(erfi(x)−erf(x))+const.\displaystyle \int \sinh x^2\,\mathrm{d}x = \frac{\sqrt{\pi}}{4}(\mathrm{erfi}(x) - \mathrm{erf}(x)) + \mathsf{const.} - 오차함수, 복소오차함수를 사용해야 한다.
  • ∫cosh⁡x2 dx=π4(erfi(x)+erf(x))+const.\displaystyle \int \cosh x^2 \, \mathrm{d}x = \frac{\sqrt{\pi}}{4}(\mathrm{erfi}(x) + \mathrm{erf}(x)) + \mathsf{const.} - 오차함수, 복소오차함수를 사용해야 한다.

3.3. 삼각함수 + 지수함수 합성[편집]

  • ∫sin⁡exdx=Si(ex)+const.\displaystyle \int \sin e^{x} \mathrm{d}x = \mathrm{Si}(e^x) + \mathsf{const.} - 사인 적분 함수를 사용해야 한다.
  • ∫cos⁡exdx=Ci(ex)+const.\displaystyle \int \cos e^{x} \mathrm{d}x = \mathrm{Ci}(e^x) + \mathsf{const.} - 코사인 적분 함수를 사용해야 한다.
  • ∫esin⁡xdx\displaystyle \int e^{\sin x} \mathrm{d}x - 대응하는 적분식 자체가 없다.
  • ∫ecos⁡xdx\displaystyle \int e^{\cos x} \mathrm{d}x - 대응하는 적분식 자체가 없다.
  • ∫extan⁡x dx=iex2F1(−i2,1;1−i2;−e2ix)−2+i5e(1+2i)x2F1(1,1−i2;2−i2;−e2ix)+const.\displaystyle \int e^x \tan x \, \mathrm{d}x = ie^x {}_2 F_1 (-\frac{i}{2}, 1; 1 -\frac{i}{2}; -e^{2ix}) - \frac{2+i}{5} e^{(1+2i)x} {}_2 F_1(1, 1 -\frac{i}{2}; 2 -\frac{i}{2}; -e^{2ix}) + \mathsf{const.} - 초기하함수를 사용해야 한다.
  • ∫excsc⁡x dx=−(1+i)e(1+i)x2F1(1−i2,1;3−i2;e2ix)+const.\displaystyle \int e^x \csc x \, \mathrm{d}x = -(1 + i) e^{(1 + i) x} {}_2F_1(\frac{1-i}{2}, 1; \frac{3 - i}{2}; e^{2 i x}) + \mathsf{const.} - 초기하함수를 사용해야 한다.
  • ∫exsec⁡x dx=(1−i)e(1+i)x2F1(1−i2,1;3−i2;−e2ix)+const.\displaystyle \int e^x \sec x \, \mathrm{d}x = (1 - i) e^{(1 + i) x} {}_2F_1(\frac{1-i}{2}, 1; \frac{3 - i}{2}; -e^{2 i x}) + \mathsf{const.} - 초기하함수를 사용해야 한다.
  • ∫excot⁡x dx=−iex2F1(−i2,1;1−i2;e2ix)−2+i5e(1+2i)x2F1(1,1−i2;2−i2;e2ix)+const.\displaystyle \int e^x \cot x \, \mathrm{d}x = -ie^x {}_2 F_1 (-\frac{i}{2}, 1; 1 -\frac{i}{2}; e^{2ix}) - \frac{2+i}{5} e^{(1+2i)x} {}_2 F_1(1, 1 -\frac{i}{2}; 2 -\frac{i}{2}; e^{2ix}) + \mathsf{const.} - 초기하함수를 사용해야 한다.

4. 특수함수의 경우[편집]

수준이 올라가면 쌍곡선 적분 함수나 람베르트 W 함수, 브링 근호 등 특수함수를 적분하거나 특수함수와의 곱으로 이루어진 함수를 적분하는 일도 나오는데, 초등함수의 적분 또는 미분방정식의 해로 정의된 특수함수의 경우 로그함수/역삼각함수보다 더 미분우선이 된다. 즉 특수함수(Special functions)까지 고려하면 SLIATE 또는 SILATE가 된다.

단, 아래 둘은 예외적으로 적분우선이다. 함부로 미분했다간 계산을 망치기 딱 좋기 때문이다.[9]
[1] 특히 로그함수가 역수 꼴로 들어오면 매우 난해해진다. (∫1ln⁡xdx=li(x)+const.\displaystyle \int \frac{1}{\ln x} {\rm d}x = \mathrm{li}(x) + \mathsf{const.})[2] 쌍곡선 함수는 지수함수의 일종이다.[3] cosh⁡x=12(ex+e−x),sinh⁡x=12(ex−e−x)\cosh x = \dfrac{1}{2} (e^x+e^{-x}), \sinh x = \dfrac{1}{2} (e^x-e^{-x})[4] 다만, 대수적 함수와 다항함수는 완전히 같지 않다. 왜냐하면 다항함수 외에도 분수함수나 무리함수도 모두 대수적 함수이기 때문이다. 다만 적분 연산에서는 xr(r은 실수)꼴로 표현되는 모든 함수인 대수적 함수를 다항함수와 동치라고 퉁치기도 한다. r=-1일 경우 패턴이 달라지긴 하지만.[5] 오히려 특수함수를 알고 있으면 그대로 LIATE 법칙을 써도 무방하다.[6] 파서벌 정리(Parseval's theorem)를 이용하여 sin⁡4xx4\dfrac {\sin^4x}{x^4} 등을 적분하라는 문제가 나올 수 있다.[7] S(x)=∫0xsin⁡πt22 dt\displaystyle S(x)= \int_{0}^{x} \sin {\pi t^2 \over 2} \, \mathrm{d}t라 정의한 경우 π2 S(π2x)+const.\displaystyle \sqrt{\pi \over 2} \, S \left(\sqrt{\pi \over 2}x \right) + \mathsf{const.}가 된다.[8] 마찬가지로 C(x)=∫0xcos⁡πt22 dt\displaystyle C(x)=\int_{0}^{x} \cos {\pi t^2 \over 2}\, \mathrm{d}t라 정의한 경우 π2 C(π2x)+const.\displaystyle \sqrt{\pi \over 2} \, C \left(\sqrt{\pi \over 2}x \right) + \mathsf{const.}가 된다.[9] 참고로 저 둘의 적분은 쉽다(각각 ∣x∣+const.,x+∣x∣2+const.|x|+ \mathsf{const.}, \dfrac{x+|x|}{2}+ \mathsf{const.}).