시어핀스키 삼각형

분류

1. 개요2. 상세

1. 개요[편집]

Sierpinski triangle ・ Sierpinski 三角形

시어핀스키 삼각형의 모습

시어핀스키 삼각형은 폴란드의 수학자 바츨라프 시어핀스키(Waclaw Sierpinski; 1882-1969)가 창작한 프랙탈 도형이다. 그의 이름을 따 '시어핀스키 삼각형'이라고 하며, '시어핀스키 개스킷'이라고도 한다. 간혹 '시에르핀스키'라고도 표기한다.

2. 상세[편집]

파일:나무_시어핀스키_삼각형_단계.png

1단계: 한 변의 길이가 1인 정삼각형의 각 중점을 이어 4등분된 정삼각형 중 가운데 1개를 지운다.
2단계: 남은 3등분의 정삼각형에 대하여 1단계와 같이 행한다.
이후의 단계는 전 단계에 남은 정삼각형에 대하여 단계 1과 같이 행한다.

2.1. 성질[편집]

아무런 조작을 하지 않은 처음의 정삼각형을 0단계라고 하자. 앞서 말한 조작을 한 번 하는 것을 하나의 '단계'로 하자. 각 단계의 정삼각형들은 모두 합동이므로

(정삼각형의 개수)

\,\times\,

(한 정삼각형의 넓이)

\,=\,

(정삼각형들의 총 넓이)

가 된다. 곧,

단계	정삼각형의 개수	한 정삼각형의 넓이	정삼각형들의 총 넓이
$0$	$1$	$\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}$	$\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}$
$1$	$3$	$\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}·\frac{1}{4}$	$\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}·\frac{3}{4}$
$2$	$3^2$	$\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}·\left(\frac{1}{4}\right)^2$	$\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}·\left(\frac{3}{4}\right)^2$
$3$	$3^3$	$\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}·\left(\frac{1}{4}\right)^3$	$\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}·\left(\frac{3}{4}\right)^3$
$\vdots$
$n$	$3^n$	$\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}·\left(\frac{1}{4}\right)^n$	$\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}·\left(\frac{3}{4}\right)^n$

따라서 조작을 무한히 거듭한다면, 정삼각형의 개수는 무한히 많아지고, 한 정삼각형의 넓이는 0에 수렴하고, 정삼각형들의 총 넓이는 0에 수렴한다. 이는 무한대로 발산하는 수열과 0으로 수렴하는 수열의 각 항을 곱하여 나온 수열이 0으로 수렴하는 예가 된다. 흔히 말하는,

\infty×0

꼴의 부정형이 0으로 수렴하는 극한이다.

2.2. 하우스도르프 차원[편집]

시어핀스키 삼각형의 하우스도르프 차원은 다음과 같다.

$\displaystyle \frac{\ln{3}}{\ln{2}} \simeq 1.585$

3. 파스칼의 삼각형과의 관계[편집]

특정 규칙에 따라 파스칼의 삼각형의 수를 색칠하면 시어핀스키 삼각형과 유사한 모양이 나온다.#

4. 관련 문서[편집]

[1] 1단계 시어핀스키 삼각형과 비슷하게 생겼다. 시어핀스키 삼각형을 보고 이걸 떠올리는 사람도 굉장히 많다.