시어핀스키 사각형

분류

1. 개요2. 상세

3. 관련 문서

1. 개요[편집]

Sierpinski carpet ・ Sierpinski 四角形

시어핀스키 사각형의 모습

시어핀스키 사각형은 폴란드의 수학자 바츨라프 시어핀스키(Waclaw Sierpinski, 1882~1969)가 창작한 프랙탈 도형이며, 그의 이름을 따 시어핀스키 사각형('시어핀스키 카펫'이라고도 한다.)이라고 한다.

멩거 스펀지의 2차원 버전이라고 할 수 있다. 멩거 스펀지의 한 면은 정확히 시어핀스키 사각형이다.

2. 상세[편집]

파일:나무_시어핀스키_사각형_단계.png

1단계: 한 변의 길이가 1인 정사각형을 가로, 세로를 3등분하여, 9등분하고, 가운데 한 등분을 지운다.
2단계: 남은 8등분의 정사각형에 대하여 1단계와 같이 행한다.
이후의 단계는 전 단계에 남은 정사각형에 대하여 1단계와 같이 행하면 된다.

2.1. 성질[편집]

아무런 조작을 하지 않은 처음의 정사각형을 0단계이라고 하자. 앞서 말한 조작을 한 번 하는 것을 하나의 '단계'로 하자. 그러면 다음과 같이 된다.

단계	해당 단계에서 제거되는 정사각형		해당 단계까지 제거되는 총 넓이
단계	한 개의 넓이	총 개수	해당 단계까지 제거되는 총 넓이
$0$	$0$	$0$	$1$
$1$	$\displaystyle\frac{1}{9}$	$1$	$\displaystyle{1-\frac{8}{9}}$
$2$	$\displaystyle\left(\frac{1}{9}\right)^2$	$8$	$\displaystyle{1-\left(\frac{8}{9}\right)^2}$
$3$	$\displaystyle\left(\frac{1}{9}\right)^3$	$8^2$	$\displaystyle{1-\left(\frac{8}{9}\right)^3}$
$\vdots$
$n$	$\displaystyle\left(\frac{1}{9}\right)^n$	$8^{n-1}$	$\displaystyle{1-\left(\frac{8}{9}\right)^n}$

각 단계에서 제거되는 정사각형들은 모두 합동이므로, 정사각형 한 개의 넓이와 총 개수를 곱하면 총 넓이가 된다. 따라서,

n

단계에서 제거되는 총 넓이는

\displaystyle \left(\frac{1}{9}\right)^{n}·8^{n-1}=\left(\frac{8}{9}\right)^{n}·\frac{1}{8}

이다. 이에 따라, 처음부터 $\boldsymbol{n}$ 단계까지 제거되는 총 넓이

\Delta S_{n}

를 구할 수 있다. 이는

\displaystyle \begin{aligned} \Delta S_{n}&=\sum_{k=1}^n\left[\left(\frac{8}{9}\right)^{k}·\frac{1}{8}\right] \\&=\frac{1}{8}·\frac{8}{9}·{\cfrac{1-\left( \dfrac{8}{9} \right)^{n}​}{1-\dfrac{8}{9} }} \\& =1-\left(\frac{8}{9}\right)^n \end{aligned}

따라서 0단계의 총 넓이 1에서

\Delta S_{n}

를 빼면, 단계

n

의 총 넓이

\displaystyle \begin{aligned} S_{n}&=1-\Delta S_{n}\\&=\left(\frac{8}{9}\right)^n \end{aligned}

해당 단계를 무한히 반복하면,

\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_{n}=0

이므로, 결국 시어핀스키의 사각형은 조작을 무한히 거듭한다면 넓이가 0에 수렴한다.

2.2. 하우스도르프 차원[편집]

시어핀스키 사각형의 하우스도르프 차원은 다음과 같다.

$\displaystyle \frac{\ln{8}}{\ln{3}} \simeq 1.8928$

1. 개요[편집]

2. 상세[편집]

2.1. 성질[편집]

2.2. 하우스도르프 차원[편집]

3. 관련 문서[편집]