스넬의 법칙 (Snell's law)
어떤 파동이 속도가 다른 두 매질을 만나 꺾이는 현상을 말한다. 연속방정식으로는 다음과 같다.
n 1 sin θ 1 = n 2 sin θ 2 = . . . n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2 = ... n 1 sin θ 1 = n 2 sin θ 2 = ... 다음이 성립한다.
n 12 = v 1 v 2 = λ 1 λ 2 = sin θ 1 sin θ 2 = n 2 n 1 \displaystyle n_{12} = {v_1 \over v_2} = {\lambda_1 \over \lambda_2} = {\sin \theta_1 \over \sin \theta_2} = {n_2 \over n_1} n 12 = v 2 v 1 = λ 2 λ 1 = sin θ 2 sin θ 1 = n 1 n 2 여기서
v v v 은 그 매질에서의 파장의 속도,
n n n 은 굴절률,
λ \lambda λ 는 파장,
θ \theta θ 는 입사/굴절 되는 각이다. 여기서 굴절률은 빛이라면
n = c 0 v n = {c_0 \over v} n = v c 0 가 된다.
스넬의 법칙은 등방성을 가지는 매질에 대하여 파동이 갖는 일반적인 성질이다. 이 문단에서는 특히 빛(
전자기파 )에 대하여 스넬의 법칙을 고려해 보도록 하자.
파일:스넬의 법칙.png 위와 같은 서로 다른 매질간의 경계를 생각하자.
만일 단일파장을 갖는 파동(monochromatic wave)이면서 평면파(plane wave)인 파동 입사되었다고 가정하자. 또한 이 빛은 횡파이다.
맥스웰 방정식 을 읽고 온 위키러들이라면 빛은 일종의 파동으로 전기장과 자기장의 연속적인 진동으로 이해할 수 있음을 안다.
맥스웰 방정식으로부터 유도되는 파동방정식은
( ∇ 2 − μ ϵ ∂ ∂ t 2 ) ( E ⃗ , B ⃗ ) = 0 \displaystyle (\nabla ^2 - \mu\epsilon {\partial \over \partial t}^2)(\vec{E}, \vec{B}) = 0 ( ∇ 2 − μ ϵ ∂ t ∂ 2 ) ( E , B ) = 0 의 꼴이고 위의 가정에 의하면 위 식은 다시
( − k 2 + μ ϵ ω 2 ) ( E ⃗ , B ⃗ ) = 0 \displaystyle (-k^2 + \mu\epsilon \omega^2)(\vec{E}, \vec{B}) = 0 ( − k 2 + μ ϵ ω 2 ) ( E , B ) = 0 로 쓰이므로
파수벡터의 크기와 진동수 간의 관계는
k = μ ϵ ω \displaystyle k = \sqrt{\mu\epsilon}\omega k = μ ϵ ω 따라서 입사되는 빛은 가정한 조건 하에서 아래의 전기장과 자기장에 대한 식으로 표현된다.
먼저 전기장에 대하여 다음의 식으로 쓸 수있고
E ⃗ ( r ⃗ , t ) = E ⃗ 0 e i k ⃗ ⋅ r ⃗ − ω t \displaystyle \vec{E}(\vec{r}, t) = \vec{E}_{0}e^{i \vec{k} \cdot \vec{r} - \omega t} E ( r , t ) = E 0 e i k ⋅ r − ω t 자기장에 대한 식은
맥스웰 방정식 중 패러데이 법칙
∇ × E ⃗ + ∂ ∂ t B ⃗ = 0 \displaystyle \nabla \times \vec{E} + {\partial \over \partial t} \vec{B} = 0 ∇ × E + ∂ t ∂ B = 0 로부터
i k ⃗ × E ⃗ − i ω B ⃗ = 0 \displaystyle i\vec{k} \times \vec{E} - i\omega \vec{B} = 0 i k × E − iω B = 0 임을 얻고
k k ^ × E ⃗ − ω B ⃗ = 0 \displaystyle k\hat{k} \times \vec{E} - \omega \vec{B} = 0 k k ^ × E − ω B = 0 에서 파수와 진동수 관계식을 넣으면
B ⃗ = μ ϵ k ^ × E ⃗ \displaystyle \vec{B} = \sqrt{\mu\epsilon}\hat{k} \times \vec{E} B = μ ϵ k ^ × E 임을 얻는다.
마찬가지로, 입사된 이후에 굴절되는 파동과 반사되는 파동 모두에 대하여
E ⃗ 1 ( r ⃗ , t ) = E ⃗ 1 , 0 e i k ⃗ 1 ⋅ r ⃗ − ω t \displaystyle \vec{E}_1(\vec{r}, t) = \vec{E}_{1,0}e^{i \vec{k}_1 \cdot \vec{r} - \omega t} E 1 ( r , t ) = E 1 , 0 e i k 1 ⋅ r − ω t B ⃗ 1 = μ 1 ϵ 1 k ^ 1 × E ⃗ 1 \displaystyle \vec{B}_1 = \sqrt{\mu_1\epsilon_1}\hat{k}_1 \times \vec{E}_1 B 1 = μ 1 ϵ 1 k ^ 1 × E 1 E 1 ′ ⃗ ( r ⃗ , t ) = E 1 , 0 ′ ⃗ e i k 1 ′ ⃗ ⋅ r ⃗ − ω t \displaystyle \vec{E_1'}(\vec{r}, t) = \vec{E_{1,0}'}e^{i \vec{k_1'} \cdot \vec{r} - \omega t} E 1 ′ ( r , t ) = E 1 , 0 ′ e i k 1 ′ ⋅ r − ω t B 1 ′ ⃗ = μ 1 ϵ 1 k 1 ′ ^ × E 1 ′ ⃗ \displaystyle \vec{B_1'} = \sqrt{\mu_1\epsilon_1}\hat{k_1'} \times \vec{E_1'} B 1 ′ = μ 1 ϵ 1 k 1 ′ ^ × E 1 ′ E ⃗ 2 ( r ⃗ , t ) = E ⃗ 2 , 0 e i k ⃗ 2 ⋅ r ⃗ − ω t \displaystyle \vec{E}_2(\vec{r}, t) = \vec{E}_{2,0}e^{i \vec{k}_2 \cdot \vec{r} - \omega t} E 2 ( r , t ) = E 2 , 0 e i k 2 ⋅ r − ω t B ⃗ 2 = μ 2 ϵ 2 k ^ 2 × E ⃗ 2 \displaystyle \vec{B}_2 = \sqrt{\mu_2\epsilon_2}\hat{k}_2 \times \vec{E}_2 B 2 = μ 2 ϵ 2 k ^ 2 × E 2 이제 경계면을 임의로
z = 0 z=0 z = 0 인 좌표계를 잡으면 해당 경계면에서 파동은 연속적이어야 한다.
그말인즉슨, 위 식의 전기장과 자기장에서 시간과 공간에 따라 변화하는 항인
e i k ⃗ ⋅ r ⃗ − ω t e^{i \vec{k} \cdot \vec{r} - \omega t} e i k ⋅ r − ω t 가 z=0일때 모두 같아진다는 뜻이다.
[ k 1 ⃗ ⋅ r ⃗ ] z = 0 = [ k 1 ⃗ ′ ⋅ r ⃗ ] z = 0 = [ k 2 ⃗ ⋅ r ⃗ ] z = 0 [\vec{k_1} \cdot \vec{r} ]_{z=0} = [\vec{k_1}' \cdot \vec{r} ]_{z=0}=[\vec{k_2} \cdot \vec{r} ]_{z=0} [ k 1 ⋅ r ] z = 0 = [ k 1 ′ ⋅ r ] z = 0 = [ k 2 ⋅ r ] z = 0 k 1 sin θ 1 = k 1 ′ sin θ 1 ′ = k 2 sin θ 2 k_1 \sin{\theta_1} = k_1' \sin{\theta_1'} = k_2 \sin{\theta_2} k 1 sin θ 1 = k 1 ′ sin θ 1 ′ = k 2 sin θ 2 여기서
k 1 = k 1 k_1 = k_1 k 1 = k 1 인데 왜냐하면 입사한 파동과 반사된 파동은 같은 매질(
μ , ϵ \mu, \epsilon μ , ϵ 이 서로 같다)에서 진행하고 있고 진동수
ω \omega ω 는 고정이기 때문이다.
또한
k = μ ϵ ω \displaystyle k = \sqrt{\mu\epsilon} \omega k = μ ϵ ω k c = μ ϵ μ 0 ϵ 0 ω \displaystyle k c = \sqrt{\mu\epsilon \over \mu_0\epsilon_0} \omega k c = μ 0 ϵ 0 μ ϵ ω 즉,
n = c v = μ ϵ μ 0 ϵ 0 = k c ω \displaystyle n = {c\over v} = \sqrt{\mu\epsilon \over \mu_0\epsilon_0} = {k c\over \omega} n = v c = μ 0 ϵ 0 μ ϵ = ω k c 따라서
n 1 sin θ 1 = n 1 sin θ 1 ′ = n 2 sin θ 2 n_1 \sin{\theta_1} = n_1 \sin{\theta_1'} = n_2 \sin{\theta_2} n 1 sin θ 1 = n 1 sin θ 1 ′ = n 2 sin θ 2 로부터
입사각과 반사각이 항상 같음
θ 1 = θ 1 ′ \theta_1 = \theta_1' θ 1 = θ 1 ′ 과
스넬의 법칙
n 1 sin θ 1 = n 2 sin θ 2 n_1 \sin{\theta_1} = n_2 \sin{\theta_2} n 1 sin θ 1 = n 2 sin θ 2 이 유도된다.
사이클로이드 가 최단강하곡선이라는 것을 증명할 때 베르누이 요한이 "빛이 밀도가 점점 증가하는 물질의 연속적인 층을 통과할 때 만드는 곡선을 찾아라" 라는 문제로 바꾸어 스넬의 법칙을 응용할 수 있다.
스넬의 법칙을 응용하여 n1>n2 일때, 굴절각을 90도로 설정하고 풀면 전반사가 최초로 일어나는 순간의 각인 임계각을 구할 수 있다.
