cycloid · 擺 線 원을 직선 위에서 굴렸을 때, 원 위의 한 정점이 그리는 자취를 말한다.
파일:나무_사이클로이드_유도.png 위 그림과 같이 중심이
C \mathrm{C} C 이고, 반지름
r r r 인 원을 고려하고, 이 원이
x x x 축과 접하면서 굴러간다고 생각해보자. 우리는 원 위의 점
P \mathrm{P} P 가 초기엔 원점에 있었다 가정하고, 원의 중심을 회전축으로 하여
θ \theta θ 만큼 회전하여 위 그림처럼 된 경우라고 생각해보자.
유도에 앞서 점
H \mathrm{H} H 는 점
P \mathrm{P} P 에서
x x x 축에 내린 수선의 발, 점
I \mathrm{I} I 는 점
C \mathrm{C} C 에서
x x x 축에 내린 수선의 발, 점
K \mathrm{K} K 는 점
P \mathrm{P} P 에서 선분
C I \mathrm{CI} CI 에 내린 수선의 발임을 밝히고 간다.
우선 점
P \mathrm{P} P 의
y y y 좌표부터 구해보자. 이것은
y = C I ‾ − C K ‾ = r ( 1 − cos θ ) \displaystyle \begin{aligned} y=\overline{\mathrm{CI}}-\overline{\mathrm{CK}}&=r(1-\cos{\theta}) \end{aligned} y = CI − CK = r ( 1 − cos θ ) 임을 알 수 있다.
x x x 좌표는 조금 구하기 까다로우며,
O I ‾ \overline{\mathrm{OI}} OI 가
θ \theta θ 만큼 회전하면서 원호가 휩쓸고간 길이임을 이해해야 한다. 그렇다면, 구하는 것은
x = O I ‾ − H I ‾ = r ( θ − sin θ ) \displaystyle \begin{aligned} x=\overline{\mathrm{OI}}-\overline{\mathrm{HI}}&=r(\theta-\sin{\theta}) \end{aligned} x = OI − HI = r ( θ − sin θ ) 으로 구해진다.
따라서 우리는 사이클로이드의
θ \theta θ 에 대해 아래와 같은 매개변수 방정식을 얻는다.
x = r ( θ − sin θ ) y = r ( 1 − cos θ ) ( 0 ≤ θ ≤ 2 π ) \displaystyle \begin{aligned} x&=r(\theta-\sin{\theta}) \\ y&=r(1-\cos{\theta}) \qquad (0 \leq \theta \leq 2 \pi) \end{aligned} x y = r ( θ − sin θ ) = r ( 1 − cos θ ) ( 0 ≤ θ ≤ 2 π ) 참고적으로, 매개변수 방정식에서
θ \theta θ 를 소거하게 되면, 아래와 같은 복잡한 방정식을 얻는다.
∣ 2 π [ ( 1 2 − x 2 π r ) − 1 ] + x r ∣ = cos − 1 ( 1 − y r ) − 2 y r − y 2 r 2 \displaystyle \left | 2 \pi \left [ \left ( \frac{1}{2} - \frac{x}{2 \pi r} \right ) - 1 \right ] + \frac{x}{r} \right | = \cos^{-1}{\left (1 - \frac{y}{r} \right )} - \sqrt{\frac{2y}{r} - \frac{y^2}{r^2}} 2 π [ ( 2 1 − 2 π r x ) − 1 ] + r x = cos − 1 ( 1 − r y ) − r 2 y − r 2 y 2 이를
x y xy x y 평면상 닫힌 구간
[ 0 , 4 π r ] [0,\,4\pi r] [ 0 , 4 π r ] 에서 그래프로 나타내면 아래와 같다.
파일:나무_사이클로이드_그래프_재수정.png 위 그래프에서 확인할 수 있지만, 사이클로이드는
x = 2 π r x= 2 \pi r x = 2 π r 를 기준으로 주기적이다. 이것은
x ( θ + 2 n π ) = x ( θ ) + 2 n π r y ( θ ) = y ( θ + 2 n π ) \displaystyle x(\theta+2 n \pi)=x(\theta)+2 n \pi r \qquad \qquad y(\theta)=y(\theta + 2n\pi) x ( θ + 2 nπ ) = x ( θ ) + 2 nπ r y ( θ ) = y ( θ + 2 nπ ) 가 성립하기 때문이다.
n n n 은 정수이다.
접선의 기울기는 매개변수 방정식의 미분법으로 구할 수 있다. 곧,
d y d θ d x d θ = sin θ 1 − cos θ = cot θ 2 \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{dy}{d \theta}}{\displaystyle \frac{dx}{d \theta}}=\frac{\sin{\theta}}{1-\cos{\theta}} =\cot{\frac{\theta}{2}} d θ d x d θ d y = 1 − cos θ sin θ = cot 2 θ }}}
으로 구할 수 있다. 그런데 우리는
x = r ( θ − sin θ ) y = r ( 1 − cos θ ) \displaystyle \begin{aligned} x&=r(\theta-\sin{\theta}) \\ y&=r(1-\cos{\theta}) \end{aligned} x y = r ( θ − sin θ ) = r ( 1 − cos θ ) 위의 접선의 방정식을 구하는 것이므로
y = cot θ 2 [ x − r ( θ − sin θ ) ] + r ( 1 − cos θ ) \displaystyle y= \cot{\frac{\theta}{2}}[x-r(\theta-\sin{\theta}) ]+r(1-\cos{\theta}) y = cot 2 θ [ x − r ( θ − sin θ )] + r ( 1 − cos θ ) 가 접선의 방정식임을 알 수 있다.
우리는 이 문단에서 부터 한 주기(
0 ≤ θ ≤ 2 π 0 \leq \theta \leq 2 \pi 0 ≤ θ ≤ 2 π )의 곡선의 길이를 구해보고자 한다. 이것은 아래의 적분
∫ 0 2 π ( d x d θ ) 2 + ( d y d θ ) 2 d θ \displaystyle \int_{0}^{2 \pi} \sqrt{\left( \frac{dx}{d \theta} \right)^{2}+\left( \frac{dy}{d \theta} \right)^{2}}\,d \theta ∫ 0 2 π ( d θ d x ) 2 + ( d θ d y ) 2 d θ 을 함으로써 구할 수 있다.
d x d θ = r ( 1 − cos θ ) d y d θ = r sin θ \displaystyle \frac{dx}{d \theta}=r (1-\cos \theta) \qquad \qquad \frac{dy}{d \theta}=r\sin{\theta} d θ d x = r ( 1 − cos θ ) d θ d y = r sin θ 따라서
( d x d θ ) 2 + ( d y d θ ) 2 = r ( 1 − cos θ ) 2 + sin 2 θ = r 2 − 2 cos θ = 2 r sin 2 θ 2 = 2 r sin θ 2 \displaystyle \begin{aligned} \sqrt{\left( \frac{dx}{d \theta} \right)^{2}+\left( \frac{dy}{d \theta} \right)^{2}} &=r \sqrt{(1-\cos{\theta})^{2}+\sin^{2}{\theta}} \\&=r \sqrt{2-2\cos{\theta}} \\&=2r \sqrt{\sin^{2}{\frac{\theta}{2} } } \\&=2r \sin{\frac{\theta}{2}} \end{aligned} ( d θ d x ) 2 + ( d θ d y ) 2 = r ( 1 − cos θ ) 2 + sin 2 θ = r 2 − 2 cos θ = 2 r sin 2 2 θ = 2 r sin 2 θ 참고적으로 우리가 근호를 벗길 수 있는 이유는 한 주기(
0 ≤ θ ≤ 2 π 0 \leq \theta \leq 2 \pi 0 ≤ θ ≤ 2 π )의 곡선의 길이를 구하고 있기 때문이다.
이상에서 구하는 곡선의 길이는
2 r ∫ 0 2 π sin θ 2 d θ = 8 r \displaystyle 2r \int_{0}^{2\pi} \sin{\frac{\theta}{2}}\,d \theta=8r 2 r ∫ 0 2 π sin 2 θ d θ = 8 r 임을 얻는다.
하이포사이클로이드(Hypocycloid) 는 사이클로이드의 변형의 한 종류로서, 사이클로이드가 직선 상 원을 굴렸을 때, 원 위의 한 점의 자취를 나타낸다면, 하이포사이클로이드는 어떤 원보다 작은 반지름의 원이 내접하면서 그 원의 원호 상에서 굴러갈 때, 작은 원 위의 한 점의 자취이다. 아래의 그림이 이 설명을 잘 나타내고 있다.
파일:나무_하이포사이클로이드_수수수정.png 위 그림과 같이 큰 원의 반지름을
R R R , 작은 원의 반지름을
r r r 이라 하자. 편의 상 점
P \mathrm{P} P 는 큰 원과 양의
x x x 에 대하여,
x x x 축과 교점인 곳에 있었다고 하자.(위의 정의 그림 참고.) 선분
Q K \mathrm{QK} QK 는
x x x 축과 평행하며, 작은 원의 중심을
Q \mathrm{Q} Q 라 하면,
O Q ‾ = O L ‾ − Q L ‾ = R − r \overline{\mathrm{OQ}}=\overline{\mathrm{OL}}-\overline{\mathrm{QL}}=R-r OQ = OL − QL = R − r 이므로
O I ‾ = ( R − r ) cos θ I Q ‾ = ( R − r ) sin θ \displaystyle \begin{aligned} \overline{\mathrm{OI}}&=(R-r)\cos{\theta} \\ \overline{\mathrm{IQ}}&=(R-r)\sin{\theta} \end{aligned} OI IQ = ( R − r ) cos θ = ( R − r ) sin θ 임을 얻을 수 있다.
∠ K Q P ≡ φ \angle \mathrm{KQP} \equiv \varphi ∠ KQP ≡ φ 라 놓자. 그렇다면, 우리가 찾는 점
P \mathrm{P} P 의
x x x 좌표와
y y y 좌표는 각각
O H ‾ \overline{\mathrm{OH}} OH ,
H P ‾ \overline{\mathrm{HP}} HP 이므로
x = O I ‾ + J P ‾ y = I Q ‾ − Q J ‾ \displaystyle \begin{aligned} x&=\overline{\mathrm{OI}}+\overline{\mathrm{JP}} \\ y&=\overline{\mathrm{IQ}}-\overline{\mathrm{QJ}} \end{aligned} x y = OI + JP = IQ − QJ 임을 알 수 있다.
H \mathrm{H} H ,
I \mathrm{I} I 는 각각
P \mathrm{P} P ,
Q \mathrm{Q} Q 에서
x x x 축에 내린 수선의 발이고,
J \mathrm{J} J 는 점
P \mathrm{P} P 에서 선분
I Q \mathrm{IQ} IQ 에 내린 수선의 발이다. 이상의 정보들을 종합하면, 우리가 찾는 점의 각각의 좌표는
x = ( R − r ) cos θ + r cos φ y = ( R − r ) sin θ − r sin φ \displaystyle \begin{aligned} x&=(R-r)\cos{\theta}+r\cos{\varphi} \\ y&=(R-r)\sin{\theta}-r\sin{\varphi} \end{aligned} x y = ( R − r ) cos θ + r cos φ = ( R − r ) sin θ − r sin φ 임을 알 수 있다. 그런데 위 상태에서 작은 원이 큰 원을 휩쓸고간 호의 길이는
r ( θ + φ ) \displaystyle r(\theta+\varphi) r ( θ + φ ) 이고, 이것은 곧
R θ R \theta R θ 와 같아야 하므로
R θ = r ( θ + φ ) → φ = R − r r θ \displaystyle R \theta=r(\theta+\varphi) \,\to\, \varphi=\frac{R-r}{r}\theta R θ = r ( θ + φ ) → φ = r R − r θ 임을 얻는다. 즉, 하이포사이클로이드의
θ \theta θ 에 대한 매개변수 방정식은
x = ( R − r ) cos θ + r cos ( R − r r θ ) y = ( R − r ) sin θ − r sin ( R − r r θ ) \displaystyle \begin{aligned} x&=(R-r)\cos{\theta}+r\cos{\left( \frac{R-r}{r}\theta \right)} \\ y&=(R-r)\sin{\theta}-r\sin{\left( \frac{R-r}{r}\theta \right)} \end{aligned} x y = ( R − r ) cos θ + r cos ( r R − r θ ) = ( R − r ) sin θ − r sin ( r R − r θ ) R / r ≡ k R/r \equiv k R / r ≡ k 라 하면,
x = r ( k − 1 ) cos θ + r cos [ ( k − 1 ) θ ] y = r ( k − 1 ) sin θ − r sin [ ( k − 1 ) θ ] \displaystyle \begin{aligned} x&=r(k-1)\cos{\theta}+r\cos{[(k-1)\theta]} \\ y&=r(k-1)\sin{\theta}-r\sin{[(k-1)\theta]} \end{aligned} x y = r ( k − 1 ) cos θ + r cos [( k − 1 ) θ ] = r ( k − 1 ) sin θ − r sin [( k − 1 ) θ ] 하이포사이클로이드의 모양은
k k k 의 값
에 따라 결정된다. 다음은 몇몇 경우에 대한 하이포사이클로이드를 나타낸 것이다. 참고로
k k k 가 4인 경우를
아스테로이드(Asteroid) 라고 한다.
파일:나무_하이포사이클로이드_종류_수정.png 에피사이클로이드(Epicycloid) 는 사이클로이드의 변형의 한 종류로서, 사이클로이드가 직선 상 원을 굴렸을 때, 원 위의 한 점의 자취를 나타낸다면, 에피사이클로이드는 어떤 원이 다른 원에 외접하면서 그 원의 원호 상에서 굴러갈 때, 굴러가는 원 위의 한 점의 자취이다. 아래의 그림이 이 설명을 잘 나타내고 있다.
파일:나무_에피사이클로이드.png 위 그림과 같이 반지름
R R R 의 원과, 그 원에 외접하는 반지름
r r r 의 원을 고려하자. 편의 상 점
P \mathrm{P} P 는 반지름
R R R 의 원과 양의
x x x 에 대하여,
x x x 축과 교점인 곳에 있었다고 하자.(위의 정의 그림 참고.) 선분
Q K \mathrm{QK} QK 는
x x x 축과 평행하며, 작은 원의 중심을
Q \mathrm{Q} Q 라 하면,
O Q ‾ = O L ‾ + L Q ‾ = R + r \overline{\mathrm{OQ}}=\overline{\mathrm{OL}}+\overline{\mathrm{LQ}}=R+r OQ = OL + LQ = R + r 이므로
O I ‾ = ( R + r ) cos θ I Q ‾ = ( R + r ) sin θ \displaystyle \begin{aligned} \overline{\mathrm{OI}}&=(R+r)\cos{\theta} \\ \overline{\mathrm{IQ}}&=(R+r)\sin{\theta} \end{aligned} OI IQ = ( R + r ) cos θ = ( R + r ) sin θ 임을 얻을 수 있다.
∠ K Q P ≡ φ \angle \mathrm{KQP} \equiv \varphi ∠ KQP ≡ φ 라 놓자. 그렇다면, 우리가 찾는 점
P \mathrm{P} P 의
x x x 좌표와
y y y 좌표는 각각
O H ‾ \overline{\mathrm{OH}} OH ,
H P ‾ \overline{\mathrm{HP}} HP 이므로
x = O I ‾ + J P ‾ y = I Q ‾ − Q J ‾ \displaystyle \begin{aligned} x&=\overline{\mathrm{OI}}+\overline{\mathrm{JP}} \\ y&=\overline{\mathrm{IQ}}-\overline{\mathrm{QJ}} \end{aligned} x y = OI + JP = IQ − QJ 임을 알 수 있다.
H \mathrm{H} H ,
I \mathrm{I} I 는 각각
P \mathrm{P} P ,
Q \mathrm{Q} Q 에서
x x x 축에 내린 수선의 발이고,
J \mathrm{J} J 는 점
P \mathrm{P} P 에서 선분
I Q \mathrm{IQ} IQ 에 내린 수선의 발이다. 이상의 정보들을 종합하면, 우리가 찾는 점의 각각의 좌표는
x = ( R + r ) cos θ + r cos φ y = ( R + r ) sin θ − r sin φ \displaystyle \begin{aligned} x&=(R+r)\cos{\theta}+r\cos{\varphi} \\ y&=(R+r)\sin{\theta}-r\sin{\varphi} \end{aligned} x y = ( R + r ) cos θ + r cos φ = ( R + r ) sin θ − r sin φ 임을 알 수 있다. 그런데 위 상태에서 반지름
r r r 원은 반지름
R R R 의 원의 원호를 휩쓸고가는 길이는
r [ π − ( θ + φ ) ] \displaystyle r[\pi-(\theta+\varphi) ] r [ π − ( θ + φ )] 이고, 이것은 곧
R θ R \theta R θ 와 같아야 하므로
R θ = r [ π − ( θ + φ ) ] → φ = π − R + r r θ \displaystyle R \theta=r[\pi-(\theta+\varphi) ] \,\to\, \varphi=\pi-\frac{R+r}{r}\theta R θ = r [ π − ( θ + φ )] → φ = π − r R + r θ 임을 얻는다. 즉, 에피사이클로이드의
θ \theta θ 에 대한 매개변수 방정식은
x = ( R + r ) cos θ − r cos ( R + r r θ ) y = ( R + r ) sin θ − r sin ( R + r r θ ) \displaystyle \begin{aligned} x&=(R+r)\cos{\theta}-r\cos{\left( \frac{R+r}{r}\theta \right)} \\ y&=(R+r)\sin{\theta}-r\sin{\left( \frac{R+r}{r}\theta \right)} \end{aligned} x y = ( R + r ) cos θ − r cos ( r R + r θ ) = ( R + r ) sin θ − r sin ( r R + r θ ) R / r ≡ k R/r \equiv k R / r ≡ k 라 하면,
x = r ( k + 1 ) cos θ − r cos [ ( k + 1 ) θ ] y = r ( k + 1 ) sin θ − r sin [ ( k + 1 ) θ ] \displaystyle \begin{aligned} x&=r(k+1)\cos{\theta}-r\cos{[(k+1)\theta]} \\ y&=r(k+1)\sin{\theta}-r\sin{[(k+1)\theta]} \end{aligned} x y = r ( k + 1 ) cos θ − r cos [( k + 1 ) θ ] = r ( k + 1 ) sin θ − r sin [( k + 1 ) θ ] 에피사이클로이드의 모양은
k k k 의 값
에 따라 결정된다. 다음은 몇몇 경우에 대한 에피사이클로이드를 나타낸 것이다.
파일:나무_에피사이클로이드_종류.png 참고적으로
k = 1 k=1 k = 1 일 때는 아래와 같은 에피사이클로이드가 나온다.
파일:나무_심장형곡선_에피.png 바로, 심장형 곡선이라 불리는
카디오이드(Cardioid) 이다.
