[include(틀:고전역학)] [목차] == 개요 == '''{{{+3 스넬의 법칙}}}'''[* 네덜란드의 천문학자 스넬리우스의 이름을 따왔다.~~스넬리우스의 법칙~~ ](Snell's law) 어떤 파동이 속도가 다른 두 매질을 만나 꺾이는 현상을 말한다. 연속방정식으로는 다음과 같다. [math( n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2 = ... )] 다음이 성립한다. [math( \displaystyle n_{12} = {v_1 \over v_2} = {\lambda_1 \over \lambda_2} = {\sin \theta_1 \over \sin \theta_2} = {n_2 \over n_1})] 여기서 {{{+1 [math( v )]}}}은 그 매질에서의 파장의 속도, {{{+1 [math( n )]}}} 은 굴절률, {{{+1 [math( \lambda )]}}} 는 파장, {{{+1 [math( \theta )]}}}는 입사/굴절 되는 각이다. 여기서 굴절률은 빛이라면 {{{+1 [math( n = {c_0 \over v} )]}}} 가 된다. == 빛(전자기파)에 대한 증명 == 스넬의 법칙은 등방성을 가지는 매질에 대하여 파동이 갖는 일반적인 성질이다. 이 문단에서는 특히 빛([[전자기파]])에 대하여 스넬의 법칙을 고려해 보도록 하자. [[파일:스넬의 법칙.png|width=500&height=300]] 위와 같은 서로 다른 매질간의 경계를 생각하자. 만일 단일파장을 갖는 파동(monochromatic wave)이면서 평면파(plane wave)인 파동 입사되었다고 가정하자. 또한 이 빛은 횡파이다. [[맥스웰 방정식]]을 읽고 온 위키러들이라면 빛은 일종의 파동으로 전기장과 자기장의 연속적인 진동으로 이해할 수 있음을 안다. 맥스웰 방정식으로부터 유도되는 파동방정식은 [math( \displaystyle (\nabla ^2 - \mu\epsilon {\partial \over \partial t}^2)(\vec{E}, \vec{B}) = 0)] 의 꼴이고 위의 가정에 의하면 위 식은 다시 [math( \displaystyle (-k^2 + \mu\epsilon \omega^2)(\vec{E}, \vec{B}) = 0)] 로 쓰이므로 파수벡터의 크기와 진동수 간의 관계는 [math( \displaystyle k = \sqrt{\mu\epsilon}\omega)] 따라서 입사되는 빛은 가정한 조건 하에서 아래의 전기장과 자기장에 대한 식으로 표현된다. 먼저 전기장에 대하여 다음의 식으로 쓸 수있고 [math( \displaystyle \vec{E}(\vec{r}, t) = \vec{E}_{0}e^{i \vec{k} \cdot \vec{r} - \omega t} )] 자기장에 대한 식은 [[맥스웰 방정식]]중 패러데이 법칙 [math( \displaystyle \nabla \times \vec{E} + {\partial \over \partial t} \vec{B} = 0 )] 로부터 [math( \displaystyle i\vec{k} \times \vec{E} - i\omega \vec{B} = 0 )] 임을 얻고 [math( \displaystyle k\hat{k} \times \vec{E} - \omega \vec{B} = 0 )] 에서 파수와 진동수 관계식을 넣으면 [math( \displaystyle \vec{B} = \sqrt{\mu\epsilon}\hat{k} \times \vec{E} )]임을 얻는다. 마찬가지로, 입사된 이후에 굴절되는 파동과 반사되는 파동 모두에 대하여 [math( \displaystyle \vec{E}_1(\vec{r}, t) = \vec{E}_{1,0}e^{i \vec{k}_1 \cdot \vec{r} - \omega t} )] [math( \displaystyle \vec{B}_1 = \sqrt{\mu_1\epsilon_1}\hat{k}_1 \times \vec{E}_1 )] [math( \displaystyle \vec{E_1'}(\vec{r}, t) = \vec{E_{1,0}'}e^{i \vec{k_1'} \cdot \vec{r} - \omega t} )] [math( \displaystyle \vec{B_1'} = \sqrt{\mu_1\epsilon_1}\hat{k_1'} \times \vec{E_1'} )] [math( \displaystyle \vec{E}_2(\vec{r}, t) = \vec{E}_{2,0}e^{i \vec{k}_2 \cdot \vec{r} - \omega t} )] [math( \displaystyle \vec{B}_2 = \sqrt{\mu_2\epsilon_2}\hat{k}_2 \times \vec{E}_2 )] 이제 경계면을 임의로 [math( z=0 )]인 좌표계를 잡으면 해당 경계면에서 파동은 연속적이어야 한다. 그말인즉슨, 위 식의 전기장과 자기장에서 시간과 공간에 따라 변화하는 항인 [math( e^{i \vec{k} \cdot \vec{r} - \omega t} )] 가 z=0일때 모두 같아진다는 뜻이다. [math( [\vec{k_1} \cdot \vec{r} ]_{z=0} = [\vec{k_1}' \cdot \vec{r} ]_{z=0}=[\vec{k_2} \cdot \vec{r} ]_{z=0} )] [math( k_1 \sin{\theta_1} = k_1' \sin{\theta_1'} = k_2 \sin{\theta_2} )] 여기서 [math( k_1 = k_1 )]인데 왜냐하면 입사한 파동과 반사된 파동은 같은 매질([math( \mu, \epsilon)]이 서로 같다)에서 진행하고 있고 진동수 [math( \omega)]는 고정이기 때문이다. 또한 [math( \displaystyle k = \sqrt{\mu\epsilon} \omega )] [math( \displaystyle k c = \sqrt{\mu\epsilon \over \mu_0\epsilon_0} \omega )] 즉,[math( \displaystyle n = {c\over v} = \sqrt{\mu\epsilon \over \mu_0\epsilon_0} = {k c\over \omega} )] 따라서 [math( n_1 \sin{\theta_1} = n_1 \sin{\theta_1'} = n_2 \sin{\theta_2} )]로부터 입사각과 반사각이 항상 같음[math( \theta_1 = \theta_1')]과 스넬의 법칙 [math( n_1 \sin{\theta_1} = n_2 \sin{\theta_2} )] 이 유도된다. == 응용 == [[사이클로이드]]가 최단강하곡선이라는 것을 증명할 때 베르누이 요한이 "빛이 밀도가 점점 증가하는 물질의 연속적인 층을 통과할 때 만드는 곡선을 찾아라" 라는 문제로 바꾸어 스넬의 법칙을 응용할 수 있다. 스넬의 법칙을 응용하여 n1>n2 일때, 굴절각을 90도로 설정하고 풀면 전반사가 최초로 일어나는 순간의 각인 임계각을 구할 수 있다. == 기타 == ~~[[적외선 굴절기]] 원리라 [[카더라]]~~ [[분류:물리학]]