無 限 小 數 무한소수 는 소수점 밑으로 무한히 이어지는
소수 를 의미하며, 크게
순환소수 와 비순환소수로 나뉜다. 유한소수와 달리 소수점 아래의 자리가 끝없이 이어지는 소수를 말한다. 유명한 예로는
원주율 (=3.141592...)이 있다. 일정한 지점 이후에서 숫자가 반복되느냐에 따라 순환소수(
유리수 )와 비순환소수(
무리수 )로 나뉘며, 비순환소수는 다시 대수적 무리수와
초월수 로 나뉜다. 무한소수 중에서도 순환하는 무한소수다. 즉, 0.
3 33333...
이나 0.47
834 834834...
처럼 순환마디가 계속해서 반복되는 소수다. 순환소수를 분수로 바꾼 뒤 기약분수로 나타내면 분모의 소인수는 2, 5 이외의 것이 있다.
일정한 숫자 배열이 계속해서 반복하는 소수다. 나타낼 때는 다음과 같이 순환마디의 맨 처음 부분과 맨 마지막 부분 위에 점을 붙여 표시한다.
0.333333 ⋯ = 0. 3 ˙ 0.333333 \cdots = 0. \dot 3 0.333333 ⋯ = 0. 3 ˙ 0.1624624624 ⋯ = 0.1 6 ˙ 2 4 ˙ 0.1624624624 \cdots = 0.1 \dot 62 \dot 4 0.1624624624 ⋯ = 0.1 6 ˙ 2 4 ˙ 0.34343434 ⋯ = 0. 3 ˙ 4 ˙ 0.34343434 \cdots = 0. \dot 3 \dot 4 0.34343434 ⋯ = 0. 3 ˙ 4 ˙ 우리나라에서는 이 방법을 사용하고 있지만, 표현법에는 여러 가지가 있고, 순환마디 처음부터 끝까지 줄을 친다거나(
0.1 624 ‾ 0.1 \overline{624} 0.1 624 ) 괄호를 치는 등의 여러 가지 방법이 있다. 우리나라는 점을 찍는 걸 사용하므로, 시험을 볼 땐 점을 찍어야 한다.
첫째 자리부터 시작되면
순순환소수 라고 하고, 둘째 자리 혹은 그 이후부터 시작되면
혼순환소수 라고 한다.
순환소수의 유리화(분수로 고치기)는 다음과 같은 방법으로 가능하다.
대수적 방법
두 가지 예를 들어서 과정을 설명한다.
0. 3 ˙ 0. \dot 3 0. 3 ˙ 의 경우
a = 0.333333 ⋯ a=0.333333 \cdots a = 0.333333 ⋯ 로 놓으면
10 a = 3.333333 ⋯ 10a=3.333333 \cdots 10 a = 3.333333 ⋯ (ㄱ)
a = 0.333333 ⋯ a=0.333333 \cdots a = 0.333333 ⋯ (ㄴ)
(ㄱ)-(ㄴ)을 하면
9 a = 3 ∴ a = 1 3 9a=3 \; \therefore a=\displaystyle \frac{1}{3} 9 a = 3 ∴ a = 3 1 (
약분 을 해야 한다)
0. 1 ˙ 4285 7 ˙ 0. \dot 14285 \dot 7 0. 1 ˙ 4285 7 ˙ 의 경우
a = 0.142857142857 ⋯ a=0.142857142857 \cdots a = 0.142857142857 ⋯ 로 놓으면
1000000 a = 142857.142857 ⋯ 1000000a=142857.142857 \cdots 1000000 a = 142857.142857 ⋯ (ㄱ)
a = 0.142857142857 ⋯ a=0.142857142857 \cdots a = 0.142857142857 ⋯ (ㄴ)
(ㄱ)-(ㄴ)을 하면
999999 a = 142857 ∴ a = 142857 999999 = 1 7 999999a=142857 \; \therefore a=\displaystyle \frac{142857}{999999} = \displaystyle \frac{1}{7} 999999 a = 142857 ∴ a = 999999 142857 = 7 1
등비급수를 이용한 방법
2015 개정 교육과정 기준
미적분 에서 등장한다. 예를 들어
2.32 4 ˙ 2.32 \dot 4 2.32 4 ˙ 는 다음과 같이 유리화한다.
2.32 4 ˙ 2.32 \dot 4 2.32 4 ˙ 는
2.32 + 0.00 4 ˙ 2.32 + 0.00 \dot 4 2.32 + 0.00 4 ˙ 로 쓸 수 있다.
0.00 4 ˙ = 1 100 ( 4 10 + 4 100 + 4 1000 + ⋯ ) = 4 100 ( 1 10 + 1 100 + 1 1000 + ⋯ ) = 4 100 ∑ n = 1 ∞ ( 1 10 ) n 0.00 \dot 4 = \displaystyle \frac{1}{100} \left( \frac{4}{10} + \frac{4}{100} + \frac{4}{1000} + \cdots \right) = \displaystyle \frac{4}{100} \left( \frac{1}{10} + \frac{1}{100} + \frac{1}{1000} + \cdots \right) = \displaystyle \frac{4}{100} \sum^{\infty}_{n=1} \left( \frac{1}{10} \right)^n 0.00 4 ˙ = 100 1 ( 10 4 + 100 4 + 1000 4 + ⋯ ) = 100 4 ( 10 1 + 100 1 + 1000 1 + ⋯ ) = 100 4 n = 1 ∑ ∞ ( 10 1 ) n 여기서
Σ \Sigma Σ 이후의 부분이 바로 첫째항과 공비가 동시에
1 10 \displaystyle \frac{1}{10} 10 1 인 등비급수다.
첫째항이
a a a , 공비가
r r r 인 등비급수의 합이 수렴할 때 그 값은
a 1 − r \displaystyle \frac{a}{1 - r} 1 − r a 이므로,
∑ n = 1 ∞ ( 1 10 ) n = 1 10 1 − 1 10 = 1 9 \displaystyle \sum^{\infty}_{n=1} \left( \frac{1}{10} \right)^n = \displaystyle \frac{\frac{1}{10}}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{1}{9} n = 1 ∑ ∞ ( 10 1 ) n = 1 − 10 1 10 1 = 9 1 그러므로
2.32 4 ˙ = 2.32 + 0.00 4 ˙ = 232 100 + ( 4 100 × 1 9 ) = 232 100 + 4 900 = 2092 900 = 523 225 2.32 \dot 4 = 2.32 + 0.00 \dot 4 = \displaystyle \frac{232}{100} + \left( \frac{4}{100} \times \frac{1}{9} \right) = \displaystyle \frac{232}{100} + \frac{4}{900} = \displaystyle \frac{2092}{900} = \frac{523}{225} 2.32 4 ˙ = 2.32 + 0.00 4 ˙ = 100 232 + ( 100 4 × 9 1 ) = 100 232 + 900 4 = 900 2092 = 225 523
쉬운 방법
위와 같이
2.32 4 ˙ 2.32 \dot 4 2.32 4 ˙ 를 예로 들면
분모에는 (ㄱ) 순환마디의 글자 수만큼 9를 쓰고(예시로 든 수의 경우 1개), (ㄴ) 순환마디가 아닌 소수점 아래의 글자 수만큼 0을 쓴다(2개).
분자에는 (ㄱ) 유리화하려는 순환소수를 소수점과 윗점을 제외하고 쓴 수(2324)에서 (ㄴ) 순환소수를 소수점과 순환마디를 제외하고 쓴 수(232)를 뺀 수를 적는다.
위와 같은 과정을 따르면
2324 − 232 900 = 2092 900 \displaystyle \frac{2324-232}{900} = \frac{2092}{900} 900 2324 − 232 = 900 2092 이 나오게 된다. 약분까지 하면
523 225 \displaystyle \frac{523}{225} 225 523 .
[ 증명 펼치기 · 접기 ] 위의 등비급수를 이용한 풀이 과정을 다음과 같이 변형해서 쓸 수 있다.
2.32 + 0.00 4 ˙ = 232 100 + ( 4 100 × 1 10 1 − 1 10 ) = 232 100 + 4 100 × ( 1 − 1 10 ) × 10 = 232 100 + 4 100 × ( 10 − 1 ) = 232 × ( 10 − 1 ) + 4 100 × ( 10 − 1 ) = ( 2320 + 4 ) − 232 100 × 9 = 2324 − 232 900 ( = 2092 900 = 523 225 ) \begin{aligned} 2.32 + 0.00 \dot 4 &= \displaystyle \frac{232}{100} + \left( \frac{4}{100} \times \frac{\frac{1}{10}}{1 - \frac{1}{10}} \right) \\ &= \displaystyle \frac{232}{100} + \frac{4}{100 \times \left( 1 - \frac{1}{10} \right) \times 10} \\ &= \displaystyle \frac{232}{100} + \frac{4}{100 \times (10 - 1)} \\ &= \displaystyle \frac{232 \times (10 - 1) + 4}{100 \times (10 - 1)} \\ &= \displaystyle \frac{(2320 + 4) - 232}{100 \times 9} \\ &= \displaystyle \frac{2324 - 232}{900} \left( = \displaystyle \frac{2092}{900} = \frac{523}{225} \right) \end{aligned} 2.32 + 0.00 4 ˙ = 100 232 + ( 100 4 × 1 − 10 1 10 1 ) = 100 232 + 100 × ( 1 − 10 1 ) × 10 4 = 100 232 + 100 × ( 10 − 1 ) 4 = 100 × ( 10 − 1 ) 232 × ( 10 − 1 ) + 4 = 100 × 9 ( 2320 + 4 ) − 232 = 900 2324 − 232 ( = 900 2092 = 225 523 ) 여기서 마지막 줄 부분을 위와 같이 알고리즘화한 것이다.
일정한 숫자 배열이 계속해서 반복하지
않는 소수다. 순환소수(유리수)와 달리 분모, 분자가 서로소로 이루어진 기약분수로 나타낼 수 없는
무리수 며 당연히 유리수에 포함되지 않는다.
비순환소수로는
2 \sqrt{2} 2 ,
3 \sqrt{3} 3 등 대수적인 무리수와,
[math(pi) ](파이, 원주율),
자연로그의 밑 e e e ,
오메가 상수 ,
겔폰트-슈나이더 상수 등
초월수 에 속하는 무리수가 있다.
십진법 에서 유한소수로 표현되는 수라도 진법을 바꾸면 무한소수가 될 수 있다. 그 반대의 경우도 마찬가지. 예를 들어 0.2를 이진법으로 나타내면
0. 0 ˙ 01 1 ˙ ( 2 ) 0. \dot 001 \dot 1_{(2)} 0. 0 ˙ 01 1 ˙ ( 2 ) 이 나온다. 일반적으로 기약분수를
k k k 진법의 소수로 나타내었을 때 유한소수이기 위해서는 분모의 모든 소인수가
k k k 의 소인수여야 한다. 이는 십진법에서 유한소수가 될 때 분수의 분모의 소인수가 2 또는 5만 있어야 한다는 점을 생각하면 이해하기 쉽다.