겔폰트-슈나이더 상수는 2의 √2 제곱, 즉 $2^{\sqrt{2}}$이다. 힐베르트의 23가지 문제 중 “$a$가 $0, 1$이 아닌 대수적 수이고 b가 유리수가 아닌 대수적 수일 때 $a^b$는 초월수인가?”의 증명 과정에서 등장한 수이다.

다비트 힐베르트가 자신의 문제들에서 리만 가설, 페르마의 마지막 정리, 그리고 $2^{\sqrt{2}}$의 초월성 증명이 이 순서대로 풀릴 것이라고 말했다. 실제로는 그 반대로 풀려서, 겔폰트-슈나이더 상수가 가장 먼저 초월수임이 밝혀졌고, 그 다음이 페르마의 마지막 정리고, 리만 가설은 현재까지도 풀리지 않았다. 1919년 쿠즈민이 이 상수가 초월수임을 밝혔고, 1934년 겔폰트와 슈나이더가 독자적으로 위의 $a^b$가 초월수임을 증명했다.

이 수의 제곱근인 $\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$은 무리수의 무리수 제곱이 유리수가 될 수 있음을 보이는 데 쓰일 수 있다. 이 수 자체나 그 제곱근이 초월수인지 아닌지, 심지어 무리수인지 유리수인지 몰라도 가능하다.[1] 단 $\sqrt{2}$가 무리수라는 게 전제가 된다.[2] 참고]

한편 무리수^무리수=유리수는 로그를 갖고도 가능하다. ${\sqrt{2}}^{\log_2 9}=3$이기 때문. 이건 $\log_2 3$가 무리수라는 것만 추가로 더 보이면 되고, 이건 겔폰트-슈나이더 상수를 이용한 증명에서 √2가 무리수임을 보이는 정도의 수준이면 된다.[증명]

또는 $e^{\ln{10}} = \pi^{\log_\pi 10} = 10$ 도 가능하...지 않을까 싶은데, 이건 먼저 ${\ln{10}}$ 이 무리수임을 증명해야 하고 이걸 증명하려면 대개 $e$가 초월수인걸 먼저 증명해야 하는 문제가 생긴다. 애초에 ${\ln{n}}$가 ${n}$이 1이 아닌 정수일 때 무리수라는 걸 확장해 증명한 게 겔폰트 슈나이더 정리이다. 반면 겔폰트 슈나이더 상수를 이용하면 겔폰트 슈나이더 상수의 제곱근인 상수${\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}$ 자체가 유리수든 무리수든 무리수^무리수=유리수를 보일 수 있다.