합성함수 를 미분하는 공식이다. 합성함수의 미분법이라고도 한다. 연쇄 법칙을 반대로 적용한 것이
치환적분법 이다.
우리가 '합성함수의 미분'이라고 많이 접한 내용이다.
f f f 와
g g g 가 미분가능한 함수라고 하자.
y = f ( u ) y=f(u) y = f ( u ) 이고
u = g ( x ) u=g(x) u = g ( x ) 일 때,
y y y 는
x x x 로 미분가능하고 다음이 성립한다.
d y d x = d y d u d u d x \displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u} \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} d x d y = d u d y d x d u 이때
d u d x \displaystyle \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} d x d u 를 보통 속미분이라고 부른다.
u u u 가
x 1 , x 2 , ⋯ , x n x_1, x_2, \cdots , x_n x 1 , x 2 , ⋯ , x n 에 대한 미분가능한
n n n 변수 함수이고,
x j x_j x j 가 각각
t 1 , t 2 , ⋯ , t m t_1, t_2, \cdots , t_m t 1 , t 2 , ⋯ , t m 에 대한 미분가능한
m m m 변수 함수이면,
u u u 는
t 1 , t 2 , ⋯ , t m t_1, t_2, \cdots, t_m t 1 , t 2 , ⋯ , t m 에 대한 미분가능한 함수이고, 각
i = 1 , 2 , ⋯ , m i = 1,2, \cdots , m i = 1 , 2 , ⋯ , m 에 대하여 다음이 성립한다.
∂ u ∂ t i = ∂ u ∂ x 1 ∂ x 1 ∂ t i + ∂ u ∂ x 2 ∂ x 2 ∂ t i + ⋯ + ∂ u ∂ x n ∂ x n ∂ t i \displaystyle \frac{\partial u}{\partial t_i} = \frac{\partial u}{\partial x_1} \frac{\partial x_1}{\partial t_i} + \frac{\partial u}{\partial x_2} \frac{\partial x_2}{\partial t_i} + \cdots + \frac{\partial u}{\partial x_n} \frac{\partial x_n}{\partial t_i} ∂ t i ∂ u = ∂ x 1 ∂ u ∂ t i ∂ x 1 + ∂ x 2 ∂ u ∂ t i ∂ x 2 + ⋯ + ∂ x n ∂ u ∂ t i ∂ x n 다변수의 미분을
선형 변환 혹은
행렬 로 이해했다면 다음의 버전이 가장 일반적이다.
유클리드 공간의 열린 집합
X , Y , Z X, Y, Z X , Y , Z 에 대해
g : X → Y g : X \rightarrow Y g : X → Y ,
f : Y → Z f : Y \rightarrow Z f : Y → Z 가 각각 점
x 0 ∈ X x_0 \in X x 0 ∈ X ,
y 0 = g ( x 0 ) y_0 = g(x_0) y 0 = g ( x 0 ) 에서 미분가능할 때,
h = f ∘ g : X → Z h = f \circ g : X \rightarrow Z h = f ∘ g : X → Z 도
x 0 x_0 x 0 에서 미분가능하고, 그 도함수는 다음을 만족시킨다.
D h = D f ∘ D g \displaystyle Dh = Df \circ Dg D h = D f ∘ D g 여기서
D f , D g Df, Dg D f , D g 를 야코비 행렬로 보고 행렬곱을 계산하면 위의 버전을 얻을 수 있다.
흔히 고등학교 과정에서 나와있는 1변수 연쇄법칙의 증명은 엄밀하지 않은 경우가 대부분이다.
일단 위아래에서 du를 약분한다 는 헛소리는 걸러도 된다 주로 다음의 극한식을 사용하는데
lim x 1 → x f ( g ( x 1 ) ) − f ( g ( x ) ) x 1 − x = lim x 1 → x f ( g ( x 1 ) ) − f ( g ( x ) ) g ( x 1 ) − g ( x ) g ( x 1 ) − g ( x ) x 1 − x \displaystyle \lim_{x_1 \rightarrow x} \frac{f(g(x_1)) - f(g(x))}{x_1 - x} = \lim_{x_1 \rightarrow x} \frac{f(g(x_1)) - f(g(x))}{g(x_1) - g(x)} \frac{g(x_1) - g(x)}{x_1 - x} x 1 → x lim x 1 − x f ( g ( x 1 )) − f ( g ( x )) = x 1 → x lim g ( x 1 ) − g ( x ) f ( g ( x 1 )) − f ( g ( x )) x 1 − x g ( x 1 ) − g ( x ) 언뜻 보면 완벽해 보이지만 이건
g ( x 1 ) − g ( x ) g(x_1) -g(x) g ( x 1 ) − g ( x ) 가 도중에 0이 되는 경우는 우변의 분수식을 설명할 수 없다. 이것을 해결하기 위한 별도의 트릭을 사용하거나, 아니면 그냥 미분계수에 분수를 사용하지 않는 엡실론-델타 버전에 기대는 (즉
∣ f ( x + h ) − f ( x ) − h f ′ ( x ) ∣ < ϵ h |f(x+h) - f(x) - hf'(x)| < \epsilon h ∣ f ( x + h ) − f ( x ) − h f ′ ( x ) ∣ < ϵ h 이런 느낌으로) 방법이 있지만 첫번째는 번거롭고, 두번째는 고교과정 외이므로 보통 생략된다.
첫 번째 방식을 이용한 일변수 연쇄법칙의 증명(접기/펼치기) 보조함수
F F F 를
F ( y ) = { f ( y ) − f ( g ( x ) ) y − g ( x ) y ≠ g ( x ) f ′ ( g ( x ) ) y = g ( x ) \displaystyle F(y) = \begin{cases} \displaystyle \frac{f(y)-f(g(x))}{y-g(x)} & y \neq g(x) \\ f'(g(x)) & y = g(x) \end{cases} F ( y ) = ⎩ ⎨ ⎧ y − g ( x ) f ( y ) − f ( g ( x )) f ′ ( g ( x )) y = g ( x ) y = g ( x ) 라 정의하자.
f f f 가
g ( x ) g(x) g ( x ) 에서 미분가능하다는 가정을 이용하면
F F F 의 연속성을 증명할 수 있다. 이제 위의 분수식하고 거의 흡사하지만 약간 다른 다음의 식을 생각한다.
f ( g ( x 1 ) ) − f ( g ( x ) ) x 1 − x = F ( g ( x 1 ) ) g ( x 1 ) − g ( x ) x 1 − x \displaystyle \frac{f(g(x_1)) - f(g(x))}{x_1 - x} = F(g(x_1))\frac{g(x_1) - g(x)}{x_1 - x} x 1 − x f ( g ( x 1 )) − f ( g ( x )) = F ( g ( x 1 )) x 1 − x g ( x 1 ) − g ( x ) 만약
g ( x 1 ) ≠ g ( x ) g(x_1) \neq g(x) g ( x 1 ) = g ( x ) 이면
F F F 의 정의를 대입하면 성립하고,
g ( x 1 ) = g ( x ) g(x_1)=g(x) g ( x 1 ) = g ( x ) 라면 양변은 모두 0이니까 성립한다. 즉 위 식은 항상 맞으면서도, 이제는 모든 함수들이 연속이기 때문에
x 1 → x x_1 \rightarrow x x 1 → x 로 극한을 보낼 수 있다. 그러면 우변은
F ( g ( x ) ) g ′ ( x ) = f ′ ( g ( x ) ) g ′ ( x ) F(g(x))g'(x) = f'(g(x))g'(x) F ( g ( x )) g ′ ( x ) = f ′ ( g ( x )) g ′ ( x ) 가 되어 증명 끝.
두 번째 방식을 이용한 다변수 연쇄법칙의 증명(접기/펼치기) 다음 일반적인 미분의 정의를 사용한다.
g : X → Y g: X \rightarrow Y g : X → Y 가
x 0 ∈ X x_0 \in X x 0 ∈ X 에서 미분가능하다는 것은, 임의의
ϵ > 0 \epsilon>0 ϵ > 0 에 대해
∣ g ( x 1 ) − g ( x 0 ) − D g ( x 0 ) ( x 1 − x 0 ) ∣ < ϵ ∣ x 1 − x 0 ∣ |g(x_1) - g(x_0) - Dg(x_0) (x_1 - x_0)| < \epsilon |x_1 - x_0| ∣ g ( x 1 ) − g ( x 0 ) − D g ( x 0 ) ( x 1 − x 0 ) ∣ < ϵ ∣ x 1 − x 0 ∣ 이 만족되는
x x x 의 근방이 존재한다는 것이다. 여기서
D g ( x 0 ) Dg(x_0) D g ( x 0 ) 는 선형사상으로 간주. 이제
y 0 = g ( x 0 ) , y 1 = g ( x 1 ) y_0 = g(x_0), y_1 = g(x_1) y 0 = g ( x 0 ) , y 1 = g ( x 1 ) 과
h = f ∘ g h = f \circ g h = f ∘ g 에 대해, 다음의 등식을 생각한다.
h ( x 1 ) − h ( x 0 ) − D f ( y 0 ) D g ( x 0 ) ( x 1 − x 0 ) = ( f ( y 1 ) − f ( y 0 ) − D f ( y 0 ) ( y 1 − y 0 ) ) + D f ( y 0 ) ( g ( x 1 ) − g ( x 0 ) − D g ( x ) ( x 1 − x 0 ) ) \displaystyle h(x_1) - h(x_0) - Df(y_0) Dg(x_0) (x_1 - x_0) = \left( f(y_1) - f(y_0) - Df(y_0) (y_1 - y_0) \right) + Df(y_0) \left(g(x_1) - g(x_0) - Dg(x) (x_1 - x_0) \right) h ( x 1 ) − h ( x 0 ) − D f ( y 0 ) D g ( x 0 ) ( x 1 − x 0 ) = ( f ( y 1 ) − f ( y 0 ) − D f ( y 0 ) ( y 1 − y 0 ) ) + D f ( y 0 ) ( g ( x 1 ) − g ( x 0 ) − D g ( x ) ( x 1 − x 0 ) ) 임의의
ϵ 1 , ϵ 2 > 0 \epsilon_1, \epsilon_2>0 ϵ 1 , ϵ 2 > 0 에 대해서,
∣ f ( y 1 ) − f ( y 0 ) − D f ( y 0 ) ( y 1 − y 0 ) ∣ < ϵ 1 ∣ y 1 − y 0 ∣ |f(y_1) - f(y_0) - Df(y_0) (y_1 - y_0)| < \epsilon_1 |y_1 - y_0| ∣ f ( y 1 ) − f ( y 0 ) − D f ( y 0 ) ( y 1 − y 0 ) ∣ < ϵ 1 ∣ y 1 − y 0 ∣ 가 만족되는
y 0 y_0 y 0 의 근방을
V 1 V_1 V 1 ,
∣ g ( x 1 ) − g ( x 0 ) − D g ( x 0 ) ( x 1 − x 0 ) ∣ < ϵ 2 ∣ x 1 − x 0 ∣ |g(x_1) - g(x_0) - Dg(x_0) (x_1 - x_0)| < \epsilon_2 |x_1 - x_0| ∣ g ( x 1 ) − g ( x 0 ) − D g ( x 0 ) ( x 1 − x 0 ) ∣ < ϵ 2 ∣ x 1 − x 0 ∣ 가 만족되는
x 0 x_0 x 0 의 근방을
U 1 U_1 U 1 라 하고,
U = g − 1 ( V 1 ) ∩ U 1 U = g^{-1}(V_1) \cap U_1 U = g − 1 ( V 1 ) ∩ U 1 으로 잡자. 그러면
U U U 위에서
∣ h ( x 1 ) − h ( x 0 ) − D f ( y ) D g ( x ) ( x 1 − x 0 ) ∣ < ϵ 1 ∣ y 1 − y 0 ∣ + ϵ 2 ∥ D f ( y 0 ) ∥ ∣ x 1 − x 0 ∣ \displaystyle |h(x_1) - h(x_0) - Df(y) Dg(x) (x_1 - x_0) | < \epsilon_1 |y_1 - y_0| + \epsilon_2 \| Df(y_0) \| |x_1 - x_0| ∣ h ( x 1 ) − h ( x 0 ) − D f ( y ) D g ( x ) ( x 1 − x 0 ) ∣ < ϵ 1 ∣ y 1 − y 0 ∣ + ϵ 2 ∥ D f ( y 0 ) ∥∣ x 1 − x 0 ∣ 이고 특히
∣ y 1 − y 0 ∣ ≤ ( ∥ D g ( x 0 ) ∥ + ϵ 2 ) ∣ x 1 − x 0 ∣ |y_1 - y_0| \le (\|Dg(x_0)\| + \epsilon_2) |x_1 - x_0| ∣ y 1 − y 0 ∣ ≤ ( ∥ D g ( x 0 ) ∥ + ϵ 2 ) ∣ x 1 − x 0 ∣ 이므로,
∣ h ( x 1 ) − h ( x 0 ) − D f ( y ) D g ( x ) ( x 1 − x 0 ) ∣ < ( ϵ 1 ( ∥ D ( g ( x 0 ) ∥ + ϵ 2 ) + ∥ D f ( y 0 ) ∥ ϵ 2 ) ∣ x 1 − x 0 ∣ \displaystyle |h(x_1) - h(x_0) - Df(y) Dg(x) (x_1 - x_0) | < \left( \epsilon_1( \|D(g(x_0)\| + \epsilon_2) + \|Df(y_0)\| \epsilon_2 \right) |x_1 - x_0| ∣ h ( x 1 ) − h ( x 0 ) − D f ( y ) D g ( x ) ( x 1 − x 0 ) ∣ < ( ϵ 1 ( ∥ D ( g ( x 0 ) ∥ + ϵ 2 ) + ∥ D f ( y 0 ) ∥ ϵ 2 ) ∣ x 1 − x 0 ∣ 을 얻는다. 이제 주어진
ϵ > 0 \epsilon>0 ϵ > 0 에 대해
ϵ 1 , ϵ 2 > 0 \epsilon_1,\epsilon_2 >0 ϵ 1 , ϵ 2 > 0 을 적절히 잡으면, 선형사상
D f ( y ) D g ( x ) Df(y) Dg(x) D f ( y ) D g ( x ) 가
h h h 의 미분계수의 조건을 만족한다는 것을 증명할 수 있다.
대학교에서는 문제를 풀 때 단순히 합성함수 미분을 하더라도 연쇄법칙에 의한 것임을 언급해주어야 점수가 안 까인다.