[include(틀:다른 뜻1, other1=싸이크로이드, rd1=비크로이드, other2=스트리트 파이터 EX의 등장인물, rd2=사이클로이드(스트리트 파이터 EX))] [include(틀:기하학·위상수학)] [목차] == 개요 == {{{+1 cycloid · [[擺]][[線]][* 파선; 한자어식 표현. 擺는 여기서 [[진자]]를 뜻한다.]}}} 원을 직선 위에서 굴렸을 때, 원 위의 한 정점이 그리는 자취를 말한다. ||<tablealign=center><tablewidth=350><bgcolor=#ffffff,#191919> {{{#!wiki style="margin: -5px -10px;" [[파일:사이클로이드_개요.gif|width=100%&align=center]]}}} || || '''사이클로이드의 정의를 잘 나타내는 그림''' || == 사이클로이드의 방정식 == [[파일:나무_사이클로이드_유도.png|width=170&align=center]] 위 그림과 같이 중심이 [math(\mathrm{C})]이고, 반지름 [math(r)]인 원을 고려하고, 이 원이 [math(x)]축과 접하면서 굴러간다고 생각해보자. 우리는 원 위의 점 [math(\mathrm{P})]가 초기엔 원점에 있었다 가정하고, 원의 중심을 회전축으로 하여 [math(\theta)]만큼 회전하여 위 그림처럼 된 경우라고 생각해보자. 유도에 앞서 점 [math(\mathrm{H})]는 점 [math(\mathrm{P})]에서 [math(x)]축에 내린 수선의 발, 점 [math(\mathrm{I})]는 점 [math(\mathrm{C})]에서 [math(x)]축에 내린 수선의 발, 점 [math(\mathrm{K})]는 점 [math(\mathrm{P})]에서 선분 [math(\mathrm{CI})]에 내린 수선의 발임을 밝히고 간다. 우선 점 [math(\mathrm{P})]의 [math(y)]좌표부터 구해보자. 이것은 {{{#!wiki style="text-align: center;" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} y=\overline{\mathrm{CI}}-\overline{\mathrm{CK}}&=r(1-\cos{\theta}) \end{aligned} )] }}} 임을 알 수 있다. [math(x)]좌표는 조금 구하기 까다로우며, [math(\overline{\mathrm{OI}})]가 [math(\theta)] 만큼 회전하면서 원호가 휩쓸고간 길이임을 이해해야 한다. 그렇다면, 구하는 것은 {{{#!wiki style="text-align: center;" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} x=\overline{\mathrm{OI}}-\overline{\mathrm{HI}}&=r(\theta-\sin{\theta}) \end{aligned} )] }}} 으로 구해진다. 따라서 우리는 사이클로이드의 [math(\theta)]에 대해 아래와 같은 매개변수 방정식을 얻는다. {{{#!wiki style="text-align: center;" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} x&=r(\theta-\sin{\theta}) \\ y&=r(1-\cos{\theta}) \qquad (0 \leq \theta \leq 2 \pi) \end{aligned} )] }}} 참고적으로, 매개변수 방정식에서 [math(\theta)]를 소거하게 되면, 아래와 같은 복잡한 방정식을 얻는다. {{{#!wiki style="text-align: center;" [br] [math(\displaystyle \left | 2 \pi \left [ \left ( \frac{1}{2} - \frac{x}{2 \pi r} \right ) - 1 \right ] + \frac{x}{r} \right | = \cos^{-1}{\left (1 - \frac{y}{r} \right )} - \sqrt{\frac{2y}{r} - \frac{y^2}{r^2}})] }}} 이를 [math(xy)]평면상 닫힌 구간 [math([0,\,4\pi r])]에서 그래프로 나타내면 아래와 같다. [[파일:나무_사이클로이드_그래프_재수정.png|width=300&align=center]] 위 그래프에서 확인할 수 있지만, 사이클로이드는 [math(x= 2 \pi r)]를 기준으로 주기적이다. 이것은 {{{#!wiki style="text-align: center;" [br] [math(\displaystyle x(\theta+2 n \pi)=x(\theta)+2 n \pi r \qquad \qquad y(\theta)=y(\theta + 2n\pi))] }}} 가 성립하기 때문이다. [math(n)]은 정수이다. === 접선의 방정식 === 접선의 기울기는 매개변수 방정식의 미분법으로 구할 수 있다. 곧, {{{#!wiki style="text-align: center;"}}} [br] [math(\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{dy}{d \theta}}{\displaystyle \frac{dx}{d \theta}}=\frac{\sin{\theta}}{1-\cos{\theta}} =\cot{\frac{\theta}{2}} )] }}} 으로 구할 수 있다. 그런데 우리는 {{{#!wiki style="text-align: center;" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} x&=r(\theta-\sin{\theta}) \\ y&=r(1-\cos{\theta}) \end{aligned} )] }}} 위의 접선의 방정식을 구하는 것이므로 {{{#!wiki style="text-align: center;" [br] [math(\displaystyle y= \cot{\frac{\theta}{2}}[x-r(\theta-\sin{\theta}) ]+r(1-\cos{\theta}) )] }}} 가 접선의 방정식임을 알 수 있다. === 곡선의 길이 === 우리는 이 문단에서 부터 한 주기([math(0 \leq \theta \leq 2 \pi)])의 곡선의 길이를 구해보고자 한다. 이것은 아래의 적분 {{{#!wiki style="text-align: center;" [br] [math(\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} \sqrt{\left( \frac{dx}{d \theta} \right)^{2}+\left( \frac{dy}{d \theta} \right)^{2}}\,d \theta)] }}} 을 함으로써 구할 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center;" [br] [math(\displaystyle \frac{dx}{d \theta}=r (1-\cos \theta) \qquad \qquad \frac{dy}{d \theta}=r\sin{\theta})] }}} 따라서 {{{#!wiki style="text-align: center;" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \sqrt{\left( \frac{dx}{d \theta} \right)^{2}+\left( \frac{dy}{d \theta} \right)^{2}} &=r \sqrt{(1-\cos{\theta})^{2}+\sin^{2}{\theta}} \\&=r \sqrt{2-2\cos{\theta}} \\&=2r \sqrt{\sin^{2}{\frac{\theta}{2} } } \\&=2r \sin{\frac{\theta}{2}} \end{aligned})] }}} 참고적으로 우리가 근호를 벗길 수 있는 이유는 한 주기([math(0 \leq \theta \leq 2 \pi)])의 곡선의 길이를 구하고 있기 때문이다. 이상에서 구하는 곡선의 길이는 {{{#!wiki style="text-align: center;" [br] [math(\displaystyle 2r \int_{0}^{2\pi} \sin{\frac{\theta}{2}}\,d \theta=8r)] }}} 임을 얻는다. === 넓이 === 우리는 한 주기의 사이클로이드 곡선과 [math(x)]축이 둘러싸는 넓이를 구해보자. 미소 면적은 [math(y)]와 [math(x)]축 상의 미소 길이 [math(dx)]의 곱인 {{{#!wiki style="text-align: center;" [br] [math(\displaystyle dA=y\,dx)] }}} 로 놓을 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center;" [br] [math(\displaystyle dx=r(1-\cos{\theta})\,d \theta)] }}} 임을 이용하고, 적분 구간은 [math(0 \leq \theta \leq 2 \pi)]임을 이용하면, {{{#!wiki style="text-align: center;" [br] [math(\displaystyle A=r^{2}\int_{0}^{2\pi}(1-\cos{\theta})^{2} \,d \theta=3 \pi r^{2})] }}} 을 얻는다. == 사이클로이드의 변형 == === 하이포사이클로이드 === '''하이포사이클로이드(Hypocycloid)'''는 사이클로이드의 변형의 한 종류로서, 사이클로이드가 직선 상 원을 굴렸을 때, 원 위의 한 점의 자취를 나타낸다면, 하이포사이클로이드는 어떤 원보다 작은 반지름의 원이 내접하면서 그 원의 원호 상에서 굴러갈 때, 작은 원 위의 한 점의 자취이다. 아래의 그림이 이 설명을 잘 나타내고 있다. ||<tablealign=center><tablewidth=250><bgcolor=#ffffff,#191919> {{{#!wiki style="margin: -0px -5px;" [[파일:Deltoid2.gif|width=100%&align=center]]}}} || || '''하이포사이클로이드의[br]정의를 잘 나타내는 그림''' || ==== 곡선의 방정식 ==== [[파일:나무_하이포사이클로이드_수수수정.png|width=310&align=center]] 위 그림과 같이 큰 원의 반지름을 [math(R)], 작은 원의 반지름을 [math(r)]이라 하자. 편의 상 점 [math(\mathrm{P})]는 큰 원과 양의 [math(x)]에 대하여, [math(x)]축과 교점인 곳에 있었다고 하자.(위의 정의 그림 참고.) 선분 [math(\mathrm{QK})]는 [math(x)]축과 평행하며, 작은 원의 중심을 [math(\mathrm{Q})]라 하면, [math(\overline{\mathrm{OQ}}=\overline{\mathrm{OL}}-\overline{\mathrm{QL}}=R-r)]이므로 {{{#!wiki style="text-align: center;" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \overline{\mathrm{OI}}&=(R-r)\cos{\theta} \\ \overline{\mathrm{IQ}}&=(R-r)\sin{\theta} \end{aligned})] }}} 임을 얻을 수 있다. [math(\angle \mathrm{KQP} \equiv \varphi )]라 놓자. 그렇다면, 우리가 찾는 점 [math(\mathrm{P})]의 [math(x)]좌표와 [math(y)]좌표는 각각 [math(\overline{\mathrm{OH}})], [math(\overline{\mathrm{HP}})]이므로 {{{#!wiki style="text-align: center;" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} x&=\overline{\mathrm{OI}}+\overline{\mathrm{JP}} \\ y&=\overline{\mathrm{IQ}}-\overline{\mathrm{QJ}} \end{aligned})] }}} 임을 알 수 있다. [math(\mathrm{H})], [math(\mathrm{I})]는 각각 [math(\mathrm{P})], [math(\mathrm{Q})]에서 [math(x)]축에 내린 수선의 발이고, [math(\mathrm{J})]는 점 [math(\mathrm{P})]에서 선분 [math(\mathrm{IQ})]에 내린 수선의 발이다. 이상의 정보들을 종합하면, 우리가 찾는 점의 각각의 좌표는 {{{#!wiki style="text-align: center;" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} x&=(R-r)\cos{\theta}+r\cos{\varphi} \\ y&=(R-r)\sin{\theta}-r\sin{\varphi} \end{aligned})] }}} 임을 알 수 있다. 그런데 위 상태에서 작은 원이 큰 원을 휩쓸고간 호의 길이는 {{{#!wiki style="text-align: center;" [br] [math(\displaystyle r(\theta+\varphi))] }}} 이고, 이것은 곧 [math(R \theta)]와 같아야 하므로 {{{#!wiki style="text-align: center;" [br] [math(\displaystyle R \theta=r(\theta+\varphi) \,\to\, \varphi=\frac{R-r}{r}\theta)] }}} 임을 얻는다. 즉, 하이포사이클로이드의 [math(\theta)]에 대한 매개변수 방정식은 {{{#!wiki style="text-align: center;" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} x&=(R-r)\cos{\theta}+r\cos{\left( \frac{R-r}{r}\theta \right)} \\ y&=(R-r)\sin{\theta}-r\sin{\left( \frac{R-r}{r}\theta \right)} \end{aligned})] }}} [math(R/r \equiv k)]라 하면, {{{#!wiki style="text-align: center;" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} x&=r(k-1)\cos{\theta}+r\cos{[(k-1)\theta]} \\ y&=r(k-1)\sin{\theta}-r\sin{[(k-1)\theta]} \end{aligned})] }}} 하이포사이클로이드의 모양은 [math(k)]의 값[* [math(k)]가 유리수라면, 닫힌 곡선이 되며, [math(k)]가 무리수라면 열린 곡선으로, 결국 [math(R-2r \leq \rho \leq R)]영역을 가득 메우게 된다. [math(\rho)]는 원점으로 부터 임의의 점까지의 거리이다.]에 따라 결정된다. 다음은 몇몇 경우에 대한 하이포사이클로이드를 나타낸 것이다. 참고로 [math(k)]가 4인 경우를 [[아스테로이드#s-5|아스테로이드(Asteroid)]]라고 한다. [[파일:나무_하이포사이클로이드_종류_수정.png|width=330&align=center]] === 에피사이클로이드 === '''에피사이클로이드(Epicycloid)'''는 사이클로이드의 변형의 한 종류로서, 사이클로이드가 직선 상 원을 굴렸을 때, 원 위의 한 점의 자취를 나타낸다면, 에피사이클로이드는 어떤 원이 다른 원에 외접하면서 그 원의 원호 상에서 굴러갈 때, 굴러가는 원 위의 한 점의 자취이다. 아래의 그림이 이 설명을 잘 나타내고 있다. ||<tablealign=center><tablewidth=250><bgcolor=#ffffff,#191919> {{{#!wiki style="margin: -0px -5px;" [[파일:EpitrochoidOn3-generation.gif|width=100%&align=center]]}}} || || '''에피사이클로이드의[br]정의를 잘 나타내는 그림''' || ==== 곡선의 방정식 ==== [[파일:나무_에피사이클로이드.png|width=310&align=center]] 위 그림과 같이 반지름 [math(R)]의 원과, 그 원에 외접하는 반지름 [math(r)]의 원을 고려하자. 편의 상 점 [math(\mathrm{P})]는 반지름 [math(R)]의 원과 양의 [math(x)]에 대하여, [math(x)]축과 교점인 곳에 있었다고 하자.(위의 정의 그림 참고.) 선분 [math(\mathrm{QK})]는 [math(x)]축과 평행하며, 작은 원의 중심을 [math(\mathrm{Q})]라 하면, [math(\overline{\mathrm{OQ}}=\overline{\mathrm{OL}}+\overline{\mathrm{LQ}}=R+r)]이므로 {{{#!wiki style="text-align: center;" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \overline{\mathrm{OI}}&=(R+r)\cos{\theta} \\ \overline{\mathrm{IQ}}&=(R+r)\sin{\theta} \end{aligned})] }}} 임을 얻을 수 있다. [math(\angle \mathrm{KQP} \equiv \varphi )]라 놓자. 그렇다면, 우리가 찾는 점 [math(\mathrm{P})]의 [math(x)]좌표와 [math(y)]좌표는 각각 [math(\overline{\mathrm{OH}})], [math(\overline{\mathrm{HP}})]이므로 {{{#!wiki style="text-align: center;" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} x&=\overline{\mathrm{OI}}+\overline{\mathrm{JP}} \\ y&=\overline{\mathrm{IQ}}-\overline{\mathrm{QJ}} \end{aligned})] }}} 임을 알 수 있다. [math(\mathrm{H})], [math(\mathrm{I})]는 각각 [math(\mathrm{P})], [math(\mathrm{Q})]에서 [math(x)]축에 내린 수선의 발이고, [math(\mathrm{J})]는 점 [math(\mathrm{P})]에서 선분 [math(\mathrm{IQ})]에 내린 수선의 발이다. 이상의 정보들을 종합하면, 우리가 찾는 점의 각각의 좌표는 {{{#!wiki style="text-align: center;" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} x&=(R+r)\cos{\theta}+r\cos{\varphi} \\ y&=(R+r)\sin{\theta}-r\sin{\varphi} \end{aligned})] }}} 임을 알 수 있다. 그런데 위 상태에서 반지름 [math(r)] 원은 반지름 [math(R)]의 원의 원호를 휩쓸고가는 길이는 {{{#!wiki style="text-align: center;" [br] [math(\displaystyle r[\pi-(\theta+\varphi) ])] }}} 이고, 이것은 곧 [math(R \theta)]와 같아야 하므로 {{{#!wiki style="text-align: center;" [br] [math(\displaystyle R \theta=r[\pi-(\theta+\varphi) ] \,\to\, \varphi=\pi-\frac{R+r}{r}\theta)] }}} 임을 얻는다. 즉, 에피사이클로이드의 [math(\theta)]에 대한 매개변수 방정식은 {{{#!wiki style="text-align: center;" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} x&=(R+r)\cos{\theta}-r\cos{\left( \frac{R+r}{r}\theta \right)} \\ y&=(R+r)\sin{\theta}-r\sin{\left( \frac{R+r}{r}\theta \right)} \end{aligned})] }}} [math(R/r \equiv k)]라 하면, {{{#!wiki style="text-align: center;" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} x&=r(k+1)\cos{\theta}-r\cos{[(k+1)\theta]} \\ y&=r(k+1)\sin{\theta}-r\sin{[(k+1)\theta]} \end{aligned})] }}} 에피사이클로이드의 모양은 [math(k)]의 값[* [math(k)]가 유리수라면, 닫힌 곡선이 되며, [math(k)]가 무리수라면 열린 곡선으로, 결국 [math(R \leq \rho \leq R+2r)]영역을 가득 메우게 된다. [math(\rho)]는 원점으로 부터 임의의 점까지의 거리이다.]에 따라 결정된다. 다음은 몇몇 경우에 대한 에피사이클로이드를 나타낸 것이다. [[파일:나무_에피사이클로이드_종류.png|width=330&align=center]] 참고적으로 [math(k=1)]일 때는 아래와 같은 에피사이클로이드가 나온다. [[파일:나무_심장형곡선_에피.png|width=190&align=center]] 바로, 심장형 곡선이라 불리는 '''카디오이드(Cardioid)'''이다. == [[사이클로이드/물리학적 문제|물리학적 문제]] == [include(틀:상세 내용, 문서명=사이클로이드/물리학적 문제)] == 관련 문서 == * [[수학 관련 정보]] * [[곡선]] * [[매개변수]] [[분류:기하학]][[분류:물리학]][[분류:나무위키 수학 프로젝트]]