$\displaystyle \frac{1}{x^2-1} =\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right)$

통분되어 있는 분수를 다른 분수들의 합과 차로 분해하는 것을 말한다. 위의 예시처럼 보통 유리식에서 더 낮은 차수의 분모들로 분해하거나, 경시대회 등에서 ${1\over {AB}}={1\over{B-A}}\left({1\over A}-{1\over B}\right)$ 등의 항등식을 이용해 아래 예시처럼 급수를 망원급수 형태로 바꾸어 값을 구한다거나 하는 경우가 있다.
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}{1\over k(k+1)(k+2)\cdots(k+m)}={1\over m}\left({{1\over m!}-{1\over (n+1)(n+2)\cdots(n+m)}}\right)$

하지만 중등교과과정 이상에서 보통 부분분수분해는, 아래에 얘기하는 유리식의 표준 부분분수분해를 일컫는다.

배경인 체 $F$가 바뀌면 기약다항식이 바뀌므로 인수분해 꼴도 바뀌어 다른 부분분수분해를 볼 수 있다. 예를 들어 유리수 및 실수 위에서는

이 복소수 위에서는

로 분해되는 식. 제곱식이 들어가 있으면

같은 예시가 있다. 물론 저건 유리수/실수 위에서고 복소수 위에서는 $c/(x+i)^2$ 꼴 등이 나올 것이다.

대수학의 기본정리에 따르면 복소계수 기약다항식은 일차다항식밖에 없고, 실계수 기약다항식은 일차다항식 혹은 허근을 갖는 이차다항식이 전부이기 때문에, 복소수/실수의 경우 $q_i$들을 1차/1차 혹은 2차로 놓을 수 있다. 유리수계수로 한정하면 더욱 높은 차수가 나올 수 있다.

존재성 및 유일성의 증명은 교과과정에선 명시적으로 나오지 않는데, 베주 항등식에 의존하기 때문.

존재성 증명

우선 다음의 보조정리를 먼저 증명한다.

다항식 $q_1(x),q_2(x)$가 서로소일 때, 다음을 만족하는 다항식 $r_1(x),r_2(x)$가 존재한다: $\displaystyle \frac{1}{q_1 q_2} = \frac{r_1}{q_1} + \frac{r_2}{q_2}$

저 분수식은 $r_1 q_2 + r_2 q_1 = 1$과 동치이므로 사실상 베주 항등식이다. 이 보조정리와 귀납법을 활용하면 유리식을 분모가 $q_i^{e_i}$인 유리식들의 합으로 일단 분해할 수 있다. 각각의 $b(x)/q_i(x)^{e_i}$ 꼴에 대해서는 일단 몫을 덜어내고, 그 다음에 $b$를 $q_i$로 나눈 나머지를 $b_{i,e_i}$로 놓아 $b_{i,e_i}/{q_i}^{e_i}$을 덜어내고, 남은 부분 $b'/{q_i}^{e_i -1}$에서 다시 분모 $q_i^{e_i -1}$ 부분을 덜어내고... 의 과정을 반복하면 된다.

유일성 증명

만약 표준 부분분수분해의 두 가지 방법이 있다면, 두 식을 빼서 비교하면 부분분수로 0을 나타내는 자명하지 않은 방법이 있다는 소리이다. 다음 식을 생각한다.
$\displaystyle 0 = a(x) + \sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{e_i} \frac{ b_{i,j}(x)} {q_i(x)^{j}}$
양변에 $q(x)$를 곱하고, $q_i(x)$로의 나누어떨어짐을 생각한다. 그러면 $q_i \vert b_{i,e_i}$이므로, 차수조건에 의해 $b_{i,e_i}=0$이다. 양변에 $q(x)$ 대신 $q(x)/q_i(x)$를 곱하면 비슷하게 $b_{i,e_i-1}=0$을 얻고, ... 이런 식으로 $b_{i,j}=0$을 보인다. 그러면 자연스럽게 $a=0$도 따라나와서, $a=0$을 나타내는 방법이 유일하다는 것이 증명되므로 모순.

일단 존재성/유일성이 밝혀진 이상, 항등식을 찾아내는 전가의 보도 미정계수법을 쓰면 된다. (...) 양쪽에 분모를 곱해 다항식으로 만들고 계수비교법을 사용하는 것이 보통이나, 자신이 있다면 $x$에 직접 숫자를 대입할 수도 있다. 이 대입법을 극한까지 활용한 다음 기법이 있다.

증명은 의외로 쉬운데, 양변에 $(x-\lambda_{i})$를 곱하고 그 다음에 $x=\lambda_i$를 대입하면 된다. 사용하기도 의외로 편하지만 쓸 수 있는 상황이 제한적이라는 당연하면서도 치명적인 단점이 있다. 다만 분모의 인수 중 제곱이 있더라도, 제곱이 아닌 인수 $x-\lambda$에 대해서는 똑같은 방식으로 $c/(x-\lambda)$ 부분을 구할 수 있다.
기법의 이름은 분모의 $(x-\lambda)$들+관련없는 항들을 싹다 손으로 가리고(...) $x$에 $\lambda$를 대입하면 된다는 뜻.

예시)

다른 애들을 무시하고 $c$만 구하고 싶다면, 양변에 $x$를 곱하고 0을 대입하면 $\displaystyle c = \frac{0^3+1}{(0-2)^2 (0-4)^2} = \frac{1}{64}$을 얻을 수 있다.

한편, $p(x)$가 $n$차 다항식 일 때, $p(x)/(x-a)^{m}$ 꼴인 경우에는, $x=a$에서의 테일러전개를 하면, 미정계수법 같은 지저분한 방법을 피할 수 있다.

이를 이용하면

가 된다.

예시) $\displaystyle\frac{x^{4}+3x^{2}-5x-2}{(x-2)^{5}}$ 일 때,

이므로,

가장 먼저 등장하는 것은 유리함수의 적분일 것이다. 실수 위에서 부분분수분해를 하면 모든 유리식의 적분을 다음 세 가지 꼴의 적분들의 합으로 모두 바꾸어 버릴 수 있다.
$\displaystyle \int \frac{dx}{(x-a)^k}, \quad \int \frac{dx}{ ((x-p)^2+q^2)^l}, \quad \int \frac{(x-p) dx}{ ((x-p)^2 + q^2)^l}$
첫번째야 뭐 쉽고, 두번째/세번째가 조금 힘들지만 각각 삼각치환과 $y=(x-p)^2$의 치환적분으로 해결가능하다. 따라서 어떤 유리함수라도 분모를 이차식 이하의 인수들로 인수분해했으면 초등함수로 적분할 수 있는 것. 물론 계산은 무지 더러울 때가 많다.

그 다음으로 나오는 것이 라플라스 변환. 미분방정식의 해에 라플라스 변환을 해서 유리식을 얻고 > 부분분수 분해 > 역변환의 과정을 비슷하게 거친다. 조합론을 공부한다면 선형점화식의 생성함수 풀이도 비슷하게 볼 수 있다.

내용은 대수학스러운데 어찌 써먹는 건 다 해석학이다...

다음과 같은 이색적인(?) 부분분수 분해도 가능하다. 중국인의 나머지 정리와의 연관성을 볼 수 있을... 수도?

실제 위의 부분분수분해 진술은 다항식환 $F[x]$를 임의의 유클리드 정역으로 바꿔도 비슷하게 성립하긴 한다.