분류해석학(수학)급수(수학)Telescoping series1. 개요2. 상세3. 예시4. 기타1. 개요[편집]망원급수란 급수에서 이웃한 항들이 서로 상쇄되면서 몇 개의 항만 남고 전부 사라지는 것을 말한다. 급수를 망원급수의 형태로 바꾸면 그 합을 간단히 계산할 수 있다.2. 상세[편집]수열 {an}\left\{a_n\right\}{an}이 있다고 하자. 그러면 다음이 성립한다.∑n=1N(an−an+1)=a1−aN+1\displaystyle \sum_{n=1}^N \left(a_n - a_{n+1}\right) = a_1 - a_{N+1}n=1∑N(an−an+1)=a1−aN+1여기서 {an}\left\{a_n\right\}{an}이 특정값 LLL로 수렴한다면 다음과 같이 급수가 계산된다.∑n=1∞(an−an+1)=a1−L\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \left(a_n - a_{n+1}\right) = a_1 - Ln=1∑∞(an−an+1)=a1−L3. 예시[편집]∑n=1∞1n(n+1)=∑n=1∞(1n−1n+1)=limN→∞∑n=1N(1n−1n+1)=limN→∞(1−1N+1)=1\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)} = \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) = \lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^N \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) = \lim_{N\to\infty} \left(1 - \frac{1}{N+1} \right) =1n=1∑∞n(n+1)1=n=1∑∞(n1−n+11)=N→∞limn=1∑N(n1−n+11)=N→∞lim(1−N+11)=1∑n=1Nsin(n)=12sin12∑n=1N{cos(2n−12)−cos(2n+12)}=12csc12{cos12−cos(2N+12)}\displaystyle \sum_{n=1}^N \sin\left(n\right) =\frac{1}{2 \sin \frac{1}{2}} \sum_{n=1}^N \left\{\cos\left(\frac{2n-1}{2}\right) -\cos\left(\frac{2n+1}{2}\right)\right\}=\frac{1}{2} \csc\frac{1}{2} \left\{\cos\frac{1}{2} -\cos\left(\frac{2N+1}{2}\right)\right\}n=1∑Nsin(n)=2sin211n=1∑N{cos(22n−1)−cos(22n+1)}=21csc21{cos21−cos(22N+1)}4. 기타[편집]유명한 급수 중 그란디 급수라는 것이 있는데, 어떤 망원급수를 취하느냐에 따라 값이 달라진다. 자세한 내용은 문서 참조.