분류
1. 개요
複素平面 / Complex plane
복소수의 집합 [math(mathbb{C})]를 좌표평면 [math(mathbb{R}^{2})]에 나타내어 복소수를 직관적으로 이해할 수 있게 만든 도구이다. 가우스 평면, 복소수 평면이라고도 하며, 프랑스에서는 복소평면의 아이디어를 떠올린 사람 중 한 명인 장 로베르 아르강의 이름을 따서 아르강의 그림이라고 한다. 실직선이 실수에 대응한다고 보면 이해가 빠를 것이다.
당연한 소리지만, 0 이외에는 접점이 없는 실수와 허수를 '편의상' 한 평면에 표현한 것 뿐이니, 피타고라스 정리[1]라던가 하는 기하학적 법칙은 통하지 않는다.
복소수의 집합 [math(mathbb{C})]를 좌표평면 [math(mathbb{R}^{2})]에 나타내어 복소수를 직관적으로 이해할 수 있게 만든 도구이다. 가우스 평면, 복소수 평면이라고도 하며, 프랑스에서는 복소평면의 아이디어를 떠올린 사람 중 한 명인 장 로베르 아르강의 이름을 따서 아르강의 그림이라고 한다. 실직선이 실수에 대응한다고 보면 이해가 빠를 것이다.
당연한 소리지만, 0 이외에는 접점이 없는 실수와 허수를 '편의상' 한 평면에 표현한 것 뿐이니, 피타고라스 정리[1]라던가 하는 기하학적 법칙은 통하지 않는다.
2. 교육 과정
- 호주에서는 대학 입시에 복소평면 부분이 역삼각함수 등과 함께 입시에 나온다.
3. 다색 복소평면
바이어슈트라스 타원 함수 [math(wp)]의 그래프
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Domain coloring
복소수 관련 자료 가운데 이런 알록달록한 그림을 볼 때도 있는데, 이게 복소함수의 그래프이다. 보통 명도는 함숫값의 크기를 나타내며[6]은 시꺼멓게 표현되며 [math(pm infty)]는 허옇다.], 색도는 편각을 나타낸다. 색의 기준점은 실수 양수를 나타내는 빨간색.[7]를 익혀 두면 쉽다. 각각 빨강: [math(1)], 노랑: [math(-overlineomega)], 초록: [math(omega)], 청록: [math(-1)], 파랑: [math(overlineomega)], 자홍: [math(-omega)]의 편각이다.]
4. 평면과 복소수의 대응법
복소수와 좌표평면의 점을 일대일로 대응시킬 수 있다. 예를 들어 [math(x+iy)]를 [math(left(Re (x+iy), Im(x+iy)right) = left(x,yright))]에 대응시키면 이는 일대일 대응이 되고 벡터공간 구조를 보존해준다.
[math(i)]는 [math(left(0,,1right))]에, [math(1)]은 [math(left(1,,0right))]에 대응되기 때문에, x축을 실수축, y축을 허수축이라 부른다.
[math(i)]는 [math(left(0,,1right))]에, [math(1)]은 [math(left(1,,0right))]에 대응되기 때문에, x축을 실수축, y축을 허수축이라 부른다.
5. 덧셈 관련
5.1. 덧셈의 기하적 표현
언급했듯이, 벡터공간의 성질을 유지하며 [math(mathbb{C})]를 [math(mathbb{R}^{2})]에 대응시켰기 때문에, 두 복소수의 덧셈은 복소평면에서 두 벡터의 덧셈이 된다. 예를 들어, 두 복소수 a+bi,c+di를 더하면 복소평면에서는 두 위치벡터[8] (a.b),(c,d)의 합이므로 평행사변형법을 써서 구할 수 있다.
5.2. 켤레
복소수 [math(z)]의 켤레복소수 [math(bar{z})]는 [math(z)]의 x축 대칭이다.
5.3. 실수, 순허수
실수와 순허수는 각각 x축과 y축 위에 있다.
6. 곱셈
6.1. 극분해, 극좌표 변환
직교좌표계와 극좌표계는 간단한 변환으로 서로 바꿀 수 있는데, 같은 방식으로 복소평면에서도 적용이 가능하다. 이런 과정을 좀 더 엄밀하게 표현한 것을 극분해(polar decomposition) 라고 한다.
[math(displaystyle z = a+bi = r (cos theta + i sin theta), r=sqrt{Re(z)^{2}+Im(z)^{2}}=sqrt{a^{2}+b^{2}}, theta = arctan left({b}over{a} right) )][9]은 역탄젠트 함수를 뜻한다.]
엄밀하게는 theta 의 존재성을 확인해야 하며, 추가로 사분면에 따라 그 값을 보정해 주어야 한다.
위 식에서 r 은 양의 실수이기에, [math(dfrac{z}{r}=c+is)]([math(c=dfrac{a}{r})], [math(s=dfrac{b}{r})]는 실수)라 할 때, [math(left|dfrac{z}{r}right|^{2}=c^{2}+s^{2}=1)]이다. 따라서 실수 [math(theta)]가 존재하여 [math(c=cos theta)], [math(s=sin theta)]이다.
이걸 그대로 오일러의 공식 ([math(e^{itheta}=cos theta+isin theta)])에 적용하면 아래의 결과가 나온다.
[math( z = a+bi=r cdot e^{theta i} )]
여기서, [math(r)]은 [math(0)]과 [math(z)] 사이의 거리, [math(theta=angle z)]이다. 즉, [math(z)]를 극좌표의 형태로 표현한 것이다. 그런 이유로 이를 극분해라 부른다. 복소평면에서의 곱셈을 계산할 때 이를 활용하여 계산할 수도 있다.
[math(displaystyle z = a+bi = r (cos theta + i sin theta), r=sqrt{Re(z)^{2}+Im(z)^{2}}=sqrt{a^{2}+b^{2}}, theta = arctan left({b}over{a} right) )][9]은 역탄젠트 함수를 뜻한다.]
엄밀하게는 theta 의 존재성을 확인해야 하며, 추가로 사분면에 따라 그 값을 보정해 주어야 한다.
위 식에서 r 은 양의 실수이기에, [math(dfrac{z}{r}=c+is)]([math(c=dfrac{a}{r})], [math(s=dfrac{b}{r})]는 실수)라 할 때, [math(left|dfrac{z}{r}right|^{2}=c^{2}+s^{2}=1)]이다. 따라서 실수 [math(theta)]가 존재하여 [math(c=cos theta)], [math(s=sin theta)]이다.
이걸 그대로 오일러의 공식 ([math(e^{itheta}=cos theta+isin theta)])에 적용하면 아래의 결과가 나온다.
[math( z = a+bi=r cdot e^{theta i} )]
여기서, [math(r)]은 [math(0)]과 [math(z)] 사이의 거리, [math(theta=angle z)]이다. 즉, [math(z)]를 극좌표의 형태로 표현한 것이다. 그런 이유로 이를 극분해라 부른다. 복소평면에서의 곱셈을 계산할 때 이를 활용하여 계산할 수도 있다.
6.2. 곱셈의 기하학적 표현
허수 [math(i)]의 곱셈은 시계 반대 방향으로의 90도 회전이다. 이를 이용해서 음수끼리의 곱셈이 왜 양수가 되는지 설명하는 데 쓸 수도 있다.
극분해된 두 복소수 [math(z_{1}=r_{1} e^{theta_{1} i})]와 [math(z_{2}=r_{2} e^{theta_{2} i})]의 곱은 [math(z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2} e^{left(theta_{1}+theta_{2}right) i})]이다. 즉, 절댓값이 각각 [math(r_1)]과 [math(r_2)], 편각이 각각 [math(theta_1)]과 [math(theta_2)]인 두 복소수의 곱을 생각하면, 그 절댓값과 편각은 각각 [math(r_{1}r_{2}, theta_{1}+theta_{2})]이 된다. 이렇게 복소평면을 극좌표로 생각하면 곱셈이 아주 편해진다.
복소수의 곱셈은 그냥 계산하기 까다로울 정도로 어려운 것은 아니지만, [math( z^2, z^3)]이나 좀 더 일반화해서 [math( z^n )] 같은 것으로 계산하고자 할 때는 이렇게 변환해서 계산하는 것이 훨씬 간단하다.
극분해된 두 복소수 [math(z_{1}=r_{1} e^{theta_{1} i})]와 [math(z_{2}=r_{2} e^{theta_{2} i})]의 곱은 [math(z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2} e^{left(theta_{1}+theta_{2}right) i})]이다. 즉, 절댓값이 각각 [math(r_1)]과 [math(r_2)], 편각이 각각 [math(theta_1)]과 [math(theta_2)]인 두 복소수의 곱을 생각하면, 그 절댓값과 편각은 각각 [math(r_{1}r_{2}, theta_{1}+theta_{2})]이 된다. 이렇게 복소평면을 극좌표로 생각하면 곱셈이 아주 편해진다.
복소수의 곱셈은 그냥 계산하기 까다로울 정도로 어려운 것은 아니지만, [math( z^2, z^3)]이나 좀 더 일반화해서 [math( z^n )] 같은 것으로 계산하고자 할 때는 이렇게 변환해서 계산하는 것이 훨씬 간단하다.
[1] 정작 복소수의 절댓값은 피타고라스 정리로 구한다(...).[2] 2015 개정 교육과정을 따르는 (사실상) 이과 학생들이 반드시 배워야 하는 수학 과목이 '수학 1·2', '확률과 통계', '기하', '미적분'이 있는 만큼 일반고에서 고급 수학1를 배우는 건 하늘에 별따기처럼 어렵다. 자신이 어느 한 과목을 자습으로만 때우고 고급 수학1를 학교에서 배우고 싶다고 말해도 다른 사람들이 그렇게 하지 않아 학생 수가 너무 적어 생기는 내신 등급 계산 문제로 인해 그러한 의사를 거부당할 것이다. 다만 학교 간 협력 교육과정을 통하여 원하는 사람은 개설된 고등학교로 가서 들을 수 있게 하기도 한다.[3] 그래서 일본대학 입시를 준비하는 유학생들이 따로 교재를 구해서보거나 학원을 다녀야한다.[4] 2015 개정 교육과정을 따르는 (사실상) 이과 학생들이 반드시 배워야 하는 수학 과목이 '수학 1·2', '확률과 통계', '기하', '미적분'이 있는 만큼 일반고에서 고급 수학1를 배우는 건 하늘에 별따기처럼 어렵다. 자신이 어느 한 과목을 자습으로만 때우고 고급 수학1를 학교에서 배우고 싶다고 말해도 다른 사람들이 그렇게 하지 않아 학생 수가 너무 적어 생기는 내신 등급 계산 문제로 인해 그러한 의사를 거부당할 것이다. 다만 학교 간 협력 교육과정을 통하여 원하는 사람은 개설된 고등학교로 가서 들을 수 있게 하기도 한다.[5] 그래서 일본대학 입시를 준비하는 유학생들이 따로 교재를 구해서보거나 학원을 다녀야한다.[6] [math(0)[7] 다색 복소평면의 편각을 읽을 때 [math(x^3 = pm1)[8] (0,0)에서 그 점으로 향하는 벡터[9] [math(arctan)