문서:1의 거듭제곱근/세제곱근

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1. 개요2. x^3=1
2.1. 성질2.2. 활용
3. x^3=-14. 예제5. 여담

1. 개요

1의 세제곱근에 대한 문서이다. 고1 1학기 교육과정의 '복소수' 파트에서 기본적으로 삼차방정식 [math(x^3=1)] 또는 [math(x^3=-1)]을 통해 배우며 이를 통해 복소수의 중요한 성질을 확인할 수 있다. 고1 교육과정에서는 소문자 오메가 [math(omega)] 로 표기한다.[1]는 보통 지수방정식 [math(xe^x =1)]의 실근 '오메가 상수'를 나타내는데 쓰인다.]

일반적으로 실수계수 삼차방정식에 허근이 존재한다면 반드시 2개의 허근이 존재하며, 그 둘은 반드시 켤레복소수이다. 그리고, 두 허근을 흔히 [math(omega)]와 [math(overline omega)]으로 표기한다. 그런데, [math(x^3=1)]에서는 특별하게도 [math(overline omega = omega^2 = dfrac{1}{omega} = -1-omega)]를 만족시키며, 다양하게 변화된 관계식이 만들어진다. 단, [math(omega)]는 임의의 삼차방정식의 허근으로도 쓰이기에, [math(x^3=1)]의 허근이 아닐 수도 있으니, 어떻게 정의되었는지 명확하게 확인해야 한다.

2. x^3=1

[math(x^3-1=0)]의 꼴로 이항한 뒤 인수분해하면

[math(x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)=0)]

이차방정식 [math(x^2+x+1=0)]을 근의 공식으로 풀면 최종적인 근은 다음과 같다.

[math(x=1;textsf{or};x=dfrac{-1pm sqrt 3i}{2})]

[math(x^3=1)](또는 [math(x^2+x+1=0)])의 한 허근이 [math(omega)]이면 다른 허근은 켤레복소수이므로 [math(overline omega)]로 표기한다.

허수지수함수를 이용해 [math(omega = {rm cis}(2pi/3) = e^{icdot{2pi}/{3}})]로도 표기할 수 있다.[2]의 편각 [math(arg omega)]이 [math(2pi/3)]이라는 이야기이다.]

2.1. 성질

  • [math(omega=dfrac{-1+sqrt 3i}{2}quadrightarrowquadoverlineomega=dfrac{-1-sqrt 3i}{2})]
    • [math(omega^2=left(dfrac{-1+sqrt 3i}{2}right)^2=dfrac{1-2sqrt 3i-3}{4}=dfrac{-1-sqrt 3i}{2}=overlineomega)]
    • [math(overlineomega^2=left(dfrac{-1-sqrt 3i}{2}right)^2=dfrac{1+2sqrt 3i-3}{4}=dfrac{-1+sqrt 3i}{2}=omega)]

[math(x^3=1)]의 한 허근이 [math(omega)]이면 다른 허근은 [math(overline omega)]이므로
  • [math(omega^3=1quadrightarrowquadomega^2=dfrac{1}{omega}quadrightarrowquadomega=dfrac{1}{omega^2})]
  • [math(overlineomega^3=1quadrightarrowquadoverlineomega^2=dfrac{1}{overlineomega}quadrightarrowquadoverlineomega=dfrac{1}{overlineomega^2})]

[math(x^2+x+1=0)]의 한 허근이 [math(omega)]이면 다른 허근은 [math(overline omega)]이므로
  • [math(omega^2+omega+1=0quadrightarrowquadomega+1+dfrac{1}{omega}=0quadrightarrowquadomega+dfrac{1}{omega}=-1)]
  • [math(overlineomega^2+overlineomega+1=0quadrightarrowquadoverlineomega+1+dfrac{1}{overlineomega}=0quadrightarrowquadoverlineomega+dfrac{1}{overlineomega}=-1)]

[math(omega+dfrac{1}{omega}=overlineomega+dfrac{1}{overlineomega}=-1)]이고 [math(left(omega+dfrac{1}{omega}right)^2=left(overlineomega+dfrac{1}{overlineomega}right)^2=1)]이므로
  • [math(omega^2+2+dfrac{1}{omega^2}=1quadrightarrowquadomega^2+dfrac{1}{omega^2}=-1)]
  • [math(overlineomega^2+2+dfrac{1}{overlineomega^2}=1quadrightarrowquadoverlineomega^2+dfrac{1}{overlineomega^2}=-1)]

이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
  • [math(omega+overlineomega=-1)]
  • [math(omegaoverlineomega=1quadrightarrowquad omega=dfrac{1}{overlineomega}quadrightarrowquad overlineomega=dfrac{1}{omega})]

한편, 삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여도 같은 결론을 도출할 수 있다.
  • [math(1+omega+overlineomega=0quadrightarrowquadomega+overlineomega=-1)]
  • [math(1cdotomegaoverlineomega=-(-1)quadrightarrowquadomegaoverlineomega=1)]

절댓값(복소평면에서의 원점과의 거리)은 다음과 같다.
  • [math(|omega| = sqrt{{Re(omega)}^2 + {Im(omega)}^2} =sqrt{left(-dfrac12right)^2+biggl(dfrac{sqrt{3}}{2}biggr)^2} = sqrt{dfrac14 +dfrac34} =1)][4]의 성질을 이용하면 절댓값이 [math(|omega|= sqrt{omegaoverlineomega}=1)]임은 자명하다.]

켤레복소수 [math(overlineomega)]는 [math(omega)]를 실수축에 대하여 대칭이동한 것이므로 [math(|omega|=|overlineomega|)]이다. 부호 함수를 취할 경우 [math({rm sgn}(omega) = omega)]가 성립한다.

또한, [math({1,,omega,,overlineomega})]은 복소평면에서 원점을 중심으로 정삼각형을 그리며[5], 한 변의 길이는 [math(sqrt3)]이다.

2.2. 활용

위의 성질을 활용하여 [math(omega)]에 관한 다양한 식의 값을 묻는 문제가 나오며, 아래 열거된 예 외에도 무궁무진하게 식을 만들 수 있다.

  • [math(omega^2+overlineomega^2=(omega+overlineomega)^2-2omegaoverlineomega=(-1)^2-2cdot 1=-1)]
  • [math(dfrac{omega^2}{1+omega}+dfrac{overlineomega}{1+overlineomega^2}=dfrac{omega^2}{-omega^2}+dfrac{overlineomega}{-overlineomega}=-2)]

[math(omega^3=1)]이므로 음이 아닌 정수 [math(k)]에 대하여
  • [math(omega=omega^4=omega^7=cdots=omega^{3k+1})]
  • [math(omega^2=omega^5=omega^8=cdots=omega^{3k+2}=overlineomega)]
  • [math(omega^3=omega^6=omega^9=cdots=omega^{3k}=1)]

이 성질을 이용하면 다음과 같은 식의 값을 빠르게 구할 수 있다.
[math(displaystyle begin{aligned} sum_{j=0}^{100}omega^j &=(1+omega+omega^2)+(omega^3+omega^4+omega^5)+cdots+(omega^{96}+omega^{97}+omega^{98})+omega^{99}+omega^{100}\&=0+0+cdots+0+omega^{99}+omega^{100}\&=omega+1end{aligned})]
조금 더 일반적인 차원에서, 음이 아닌 정수 [math(k)]에 대하여
[math(displaystylesum_{j=0}^n omega^j=begin{aligned}begin{cases}1quad&textsf{if};n=3k\omega+1quad&textsf{if};n=3k+1\0quad&textsf{if};n=3k+2end{cases}end{aligned})]

3. x^3=-1

[math(x^3=-1)]인 경우도 [math(x^3=1)]인 경우와 비슷하다. [math(x^3+1=0)]의 꼴로 이항한 뒤 인수분해하면

[math(x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)=0)]

이차방정식 [math(x^2-x+1=0)]을 근의 공식으로 풀면 최종적인 근은 다음과 같다.

[math(x=-1;textsf{or};x=dfrac{1pm sqrt 3i}{2})]


참고로 [math(x^3=1)]의 한 허근을 [math(omega)]라고 할 때, [math(-1, -omega, -omega^2)] 이 [math(x^3=-1)]의 근이 된다.

4. 예제

단순히 방정식 [math(x^3=pm 1)]만을 언급하는 문제는 쉬운 편이며, 다음과 같은 문제들을 풀 줄 알아야 한다. [math(omega)]에 관한 문제는 허근 [math(omega)]의 값을 직접 구해서 풀어도 수학적으로는 옳지만, 시간이 너무 오래 걸릴뿐더러 교육학적 의의에 따른 출제자의 의도와 거리가 멀다. 이런 문제들은 [math(omega)]의 정확한 값을 알지 못해도 문제에서 묻는 [math(omega)]에 관한 식의 값 자체는 대수적으로 구할 수 있음을 깨닫게 하는 것을 목표로 삼기 때문이다.

[문제]
삼차방정식 [math(x^3+3x^2+3x+2=0)]의 한 허근을 [math(omega)]라 할 때, [math(1+omega+omega^2+cdots+omega^{40})]의 값을 구하시오.
【 풀이 보기 (펼치기 · 접기) 】
인수분해하면 [math((x+2)(x^2+x+1)=0)], 실근은 [math(x=-2)]이고 허근 [math(omega)]에 대하여 [math(omega^2+omega+1=0)]이 성립한다.

양변에 [math((omega-1))]을 곱하면 [math(omega^3-1=0)]에서 [math(omega^3=1)]

[math(begin{aligned}therefore 1+omega+omega^2+cdots+omega^{60}&=(1+omega+omega^2)+(1+omega+omega^2)+cdots+omega^{60}\&=0+0+cdots+0+omega^3=1end{aligned})]


5. 여담

  • 고1 1학기 과정이므로 수능 범위에 들어가지 않으며, 1학년 모의고사나 학교 시험에서만 중요하게 다룬다.
  • [math(x^3=1)]의 한 허근 [math(omega)]와 두 정수 [math(a)], [math(b)]에 대해서 [math(a+bomega)] 형태로 정의되는 수 체계를 아이젠슈타인 정수라고 부른다. 이는 페르마의 마지막 정리와도 연결이 되는데, [math(n = 3)]인 경우의 식 [math(x^3 + y^3 = z^3)]을 [math(left(x + yright)left(x + omega yright)left(x + {omega}^2 yright) = z^3)]으로 표현할 수 있기 때문이다.
  • 다색 복소평면을 볼 때 1의 세제곱근을 익혀두면 도움이 많이 되는데, 색도를 3등분한 것이 RGB와 딱 맞아떨어지기 때문. 즉 [math(x^3 = 1)] 기준 [math(1)]은 빨간색, [math(omega)]는 녹색, [math(overlineomega)]는 파란색으로 외워두면 복소함수의 함숫값이 띠는 편각을 쉽게 읽을 수 있다.
[1] 대문자 오메가 [math(Omega)[2] 바꿔 말하면, [math(omega)[3] 위의 [math(omegaoverlineomega=1)[4] 위의 [math(omegaoverlineomega=1)[5] 드 무아브르 공식에 의한 자명한 결과이다.