power theorem

원의 현, 할선, 접선에 관한 정리를 의미한다. 여기서 방멱이란, 어떤 한 점 [math( rm{P} )]를 지나는 직선이 중심이 [math(rm O)]인 어떤 원 [math( O )]와 만나는 점을 [math( rm A )], [math( rm B )]라 했을 때, 두 선분의 곱 [math(displaystyle overline{rm PA}cdotoverline{rm PB})]를 가리킨다.

방멱 정리는 아래와 같이 3종류가 있다.

다만, 말이 3가지이지 결국 한 점 [math( rm P )]에 대해 임의의 직선에 대한 방멱이 점 [math( rm P )]가 반지름 [math(r)]의 원의 중부인지 내부인지, 직선이 원에 접하는지 두 점에서 만나는지에 상관없이

로 일정하다는 것이다.

이 문서는 원주각 문서의 내용을 방멱으로 모두 이해하고 있다는 가정 하에 작성되었다. 원주각 관련 정보를 모를 경우 해당 문서로 선수로 읽고 와야한다.

증명은 아래와 같이 한다.

파일:나무_원주각_원과 비례_1_증명.png

보조선으로 [math(overline{mathrm{AC}})], [math(overline{mathrm{BD}})]를 사용한다. 이때,

이고,

이므로

임을 알 수 있다. 이상에서

이것을 정리하면,

을 얻는다.

증명은 아래와 같이 한다.

파일:나무_원주각_원과 비례_2_증명.png

보조선으로 [math(overline{mathrm{AC}})], [math(overline{mathrm{BD}})]를 사용한다. 이때, [math(triangle{mathrm{APC}})], [math(triangle{mathrm{BPD}})]에서 [math(angle{mathrm{BPD}})]는 공통인 각이고, [math(square mathrm{ACDB})]는 원에 내접하므로 [math(angle mathrm{PAC})]의 내대각 [math(angle mathrm{CDB})]는 같다. 따라서

이고,

이 성립하므로 이것을 정리하면,

을 얻는다.

증명은 아래와 같이 한다.

파일:나무_원주각_할선과접선_증명.png

보조선으로 [math(overline{mathrm{AT}})], [math(overline{mathrm{BT}})]를 사용하자. [math(triangle{mathrm{APT}})], [math(triangle{mathrm{TPB}})]에서 [math(angle{mathrm{APT}})]는 공통이고, [math(angle{mathrm{ATP}}=angle{mathrm{ABT}})][1]가 성립하므로

이고,

이 성립하므로 이것을 정리하면,

을 얻는다.

피타고라스 정리의 역과 비슷하게 방멱의 정리에도 역이 있다.

이것의 증명은 세 점 [math(rm A)], [math(rm B)], [math(rm C)]가 원 위에 있다고 가정하고, 선분 [math(rm CP)]의 연장선과 원이 만나는 점을 [math(rm D')]라 하자. 방멱 정리에 의하여 [math( overline{rm PA}cdotoverline{rm PB}=overline{rm PC}cdotoverline{rm PD'} )]이 성립한다. 한편, [math( overline{rm PA}cdotoverline{rm PB}=overline{rm PC}cdotoverline{rm PD} )] 또한 성립하는데, 두 식을 연립하면 [math(overline{rm PD}=overline{rm PD'})]이다. 그런데 두 점 [math(rm D)], [math(rm D')] 모두 선분 [math(rm CP)]의 연장선(혹은 해당 선분) 상에 존재하므로 두 점은 같아야 한다는 결론을 얻는다. 따라서 [math( overline{rm PA}cdotoverline{rm PB}=overline{rm PC}cdotoverline{rm PD} )]을 만족하면, 네 점 [math(rm A)], [math(rm B)], [math(rm C)], [math(rm D)]는 한 원 위에 있다.