1. 개요
2. 정의
일반적으로, 확장된 정의에서는 다음과 같다.
[math(displaystyle begin{aligned} {}_pF_q(a_1,,a_2,,cdots,,a_p;,b_1,,b_2,,cdots,,b_q;,z) & equiv sum_{n=0}^infty frac{a_1^{bar{n}}a_2^{bar{n}}cdots a_p^{bar{n} }}{b_1^{bar{n}}b_2^{bar{n}}cdots b_q^{bar{n} }}frac{z^n}{n!}
end{aligned} )]
여기에서 [math(displaystyle a^{bar{n}} )]는 상승 팩토리얼이다. [math(p, q)]는 각각 [math({a_1,,a_2,,cdots,,a_p})], [math({b_1,,b_2,,cdots,,b_q})]의 노름이다.[1]를 넣어야 한다.]
[math(p=2)], [math(q=1)]인 경우를 특히 많이 사용하는데, 이러한 경우를 가우스 초기하함수(Gaussian hypergeometric function)라고 하며, 다음과 같다.
[math(displaystyle begin{aligned} {}_2F_1(a,,b;,c;,z) equiv sum_{n=0}^infty frac{a^{bar{n}}b^{bar{n} }}{c^{bar{n} }}frac{z^n}{n!}
end{aligned} )]
[math(displaystyle begin{aligned} {}_pF_q(a_1,,a_2,,cdots,,a_p;,b_1,,b_2,,cdots,,b_q;,z) & equiv sum_{n=0}^infty frac{a_1^{bar{n}}a_2^{bar{n}}cdots a_p^{bar{n} }}{b_1^{bar{n}}b_2^{bar{n}}cdots b_q^{bar{n} }}frac{z^n}{n!}
end{aligned} )]
여기에서 [math(displaystyle a^{bar{n}} )]는 상승 팩토리얼이다. [math(p, q)]는 각각 [math({a_1,,a_2,,cdots,,a_p})], [math({b_1,,b_2,,cdots,,b_q})]의 노름이다.[1]를 넣어야 한다.]
[math(p=2)], [math(q=1)]인 경우를 특히 많이 사용하는데, 이러한 경우를 가우스 초기하함수(Gaussian hypergeometric function)라고 하며, 다음과 같다.
[math(displaystyle begin{aligned} {}_2F_1(a,,b;,c;,z) equiv sum_{n=0}^infty frac{a^{bar{n}}b^{bar{n} }}{c^{bar{n} }}frac{z^n}{n!}
end{aligned} )]
3. 몇 가지 특수한 경우
- [math(displaystyle {}_0F_0(;;z)=sum_{n=0}^infty frac{z^n}{n!}=e^z )]
- [math(displaystyle {}_0F_0(;;z) )]는 항상 지수함수이다.
- [math(displaystyle {}_0F_1left(;frac{1}{2};,-frac{z^2}{4}right)=cos z )]
- [math(displaystyle zcdot{}_0F_1left(;frac{3}{2};,-frac{z^2}{4}right)=sin z )]
- [math(displaystyle {}_1F_0(a;;z)=frac{1}{(1-z)^a} )]
- 특히 [math(a=1)]인 경우, [math(displaystyle {}_1F_0(1;;z)=frac{1}{1-z}=sum_{n=0}^infty z^n)]이고, [math(leftvert z rightvert<1)]일 때 초기값 [math(1)], 공비가 [math(z)]인 기하급수이다.
- [math(displaystyle {}_2F_1(1,,1;,2;,z)= lnleft(1-zright) )]
- [math(displaystyle {}_2F_1left(frac12,,frac12;,1;,z^2right)= frac{2}{pi} K(z) )]
- [math(displaystyle {}_2F_1left(-frac12,,frac12;,1;,z^2right)= frac{2}{pi} E(z) )]
- [math(displaystyle {}_4{F}_3left(frac{1}{5},,frac{2}{5},,frac{3}{5},,frac{4}{5};,frac{1}{2},,frac{3}{4},,frac{5}{4};,-5left(frac{5z}{4}right)^4right) = -frac{mathrm{BR}(z)}{z})]
- [math(mathrm{BR}(z))]는 브링 근호(Bring Radical)이다.