[include(틀:특수함수의 목록)] [목차] == 개요 == '''초기하함수(Hypergeometric function, 超幾何函數)'''는 멱급수를 이용해 [[기하급수]]들을 일반화시키는 [[특수함수]]이다. 초기하함수는 특정 선형 [[미분방정식#상미분방정식|상미분방정식]]을 만족시킨다. == 정의 == 일반적으로, 확장된 정의에서는 다음과 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} {}_pF_q(a_1,\,a_2,\,\cdots,\,a_p;\,b_1,\,b_2,\,\cdots,\,b_q;\,z) & \equiv \sum_{n=0}^\infty \frac{a_1^{\bar{n}}a_2^{\bar{n}}\cdots a_p^{\bar{n} }}{b_1^{\bar{n}}b_2^{\bar{n}}\cdots b_q^{\bar{n} }}\frac{z^n}{n!} \end{aligned} )] }}} 여기에서 [math(\displaystyle a^{\bar{n}} )]는 [[팩토리얼#상승 계승|상승 팩토리얼]]이다. [math(p, q)]는 각각 [math(\{a_1,\,a_2,\,\cdots,\,a_p\})], [math(\{b_1,\,b_2,\,\cdots,\,b_q\})]의 [[노름(수학)|노름]]이다.[* 즉, [[매개변수]]로 들어갈 집합 크기에 맞춰서 [math(p, q)]를 넣어야 한다.] [math(p=2)], [math(q=1)]인 경우를 특히 많이 사용하는데, 이러한 경우를 '''가우스 초기하함수'''(Gaussian hypergeometric function)라고 하며, 다음과 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} {}_2F_1(a,\,b;\,c;\,z) \equiv \sum_{n=0}^\infty \frac{a^{\bar{n}}b^{\bar{n} }}{c^{\bar{n} }}\frac{z^n}{n!} \end{aligned} )] }}} == 몇 가지 특수한 경우 == * [math(\displaystyle {}_0F_0(;;z)=\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!}=e^z )] * [math(\displaystyle {}_0F_0(;;z) )]는 항상 [[지수함수]]이다. * [math(\displaystyle {}_0F_1\left(;\frac{1}{2};\,-\frac{z^2}{4}\right)=\cos z )] * [math(\displaystyle z\cdot{}_0F_1\left(;\frac{3}{2};\,-\frac{z^2}{4}\right)=\sin z )] * [math(\displaystyle {}_1F_0(a;;z)=\frac{1}{(1-z)^a} )] * 특히 [math(a=1)]인 경우, [math(\displaystyle {}_1F_0(1;;z)=\frac{1}{1-z}=\sum_{n=0}^\infty z^n)]이고, [math(\left\vert z \right\vert<1)]일 때 초기값 [math(1)], 공비가 [math(z)]인 [[기하급수]]이다. * [math(\displaystyle {}_2F_1(1,\,1;\,2;\,z)= \ln\left(1-z\right) )] * [math(\displaystyle {}_2F_1\left(\frac12,\,\frac12;\,1;\,z^2\right)= \frac{2}{\pi} K(z) )] * [math(\displaystyle {}_2F_1\left(-\frac12,\,\frac12;\,1;\,z^2\right)= \frac{2}{\pi} E(z) )] * [math(K(z), E(z))]는 [[타원/타원 적분|타원 적분]]이다. * [math(\displaystyle {}_4{F}_3\left(\frac{1}{5},\,\frac{2}{5},\,\frac{3}{5},\,\frac{4}{5};\,\frac{1}{2},\,\frac{3}{4},\,\frac{5}{4};\,-5\left(\frac{5z}{4}\right)^4\right) = -\frac{\mathrm{BR}(z)}{z})] * [math(\mathrm{BR}(z))]는 [[브링 근호]](Bring Radical)이다. == 관련 문서 == * [[수학 관련 정보]] * [[특수함수]] [[분류:해석학(수학)]][[분류:급수(수학)]][[분류:비초등함수]]