1. 개요
inscribed angle · 圓周角
파일:나무_원주각_개요.png
그림과 같이 [math(stackrelfrown{mathrm{AB}})]에 대해 [math(angle alpha)]를 [math(stackrelfrown{mathrm{AB}})]에 대한 원주각이라 하며, 이때, [math(angle beta)]를 [math(stackrelfrown{mathrm{AB}})]에 대한 중심각이라 한다.
뒤에서 증명하겠지만, 원주각과 중심각의 관계는 아래와 같다.
[math(displaystyle angle alpha = frac{angle beta}{2} )]
참고로 이 문서의 각은 호도법으로 정의된 것을 사용한다. 해당 각에 [math( 180^{circ}/pi )]을 곱해주면, 육십분법으로 정의된 각을 알 수 있다. 또한 닮음 기호는 국제적으로 통용되는 [math(sim)]을 썼다.
파일:나무_원주각_개요.png
그림과 같이 [math(stackrelfrown{mathrm{AB}})]에 대해 [math(angle alpha)]를 [math(stackrelfrown{mathrm{AB}})]에 대한 원주각이라 하며, 이때, [math(angle beta)]를 [math(stackrelfrown{mathrm{AB}})]에 대한 중심각이라 한다.
뒤에서 증명하겠지만, 원주각과 중심각의 관계는 아래와 같다.
[math(displaystyle angle alpha = frac{angle beta}{2} )]
참고로 이 문서의 각은 호도법으로 정의된 것을 사용한다. 해당 각에 [math( 180^{circ}/pi )]을 곱해주면, 육십분법으로 정의된 각을 알 수 있다. 또한 닮음 기호는 국제적으로 통용되는 [math(sim)]을 썼다.
2. 원주각의 성질
2.1. 성질 1
원주각은 호가 같다면, 점 [math(mathrm{P})]에 관계 없이 일정하다. 즉,
파일:나무_원주각_1.png
위 그림에서
[math(displaystyle alpha_{1}=alpha_{2}=alpha_{3} )]
이다.
이것은 다음과 같이 세 경우로 나누어 증명 가능하다.
[1] 원의 중심이 원주각 내부에 있을 때
파일:원주각 증명_1.png
호 [math(mathrm{AB})]에 대한 원주각 [math(angle mathrm{APB})]를 고려하고, 보조선으로 지름 [math(overline{mathrm{PQ}})]를 사용하자. 이때, 원의 반지름으로써 [math(overline{mathrm{OP}}=overline{mathrm{OA}}=overline{mathrm{OB}})]가 성립하므로 삼각형 [math(mathrm{PAO})], 삼각형 [math(mathrm{POB})]는 이등변삼각형임을 알 수 있다. 따라서
[math(displaystyle angle mathrm{APO}=angle mathrm{PAO} )], [math(displaystyle angle mathrm{OPB}=angle mathrm{OBP} )]
가 성립한다. 그런데, 삼각형 [math(mathrm{PAO})]의 [math(angle mathrm{AOP})]에 대한 외각은 [math(angle mathrm{AOQ})]이고,
[math(displaystyle angle mathrm{AOQ}=angle mathrm{APO}+angle mathrm{PAO}=2angle mathrm{APO} )]
이다. 마찬가지의 논법으로
[math(displaystyle angle mathrm{QOB}=angle mathrm{OPB}+angle mathrm{OBP}=2angle mathrm{OPB})]
임을 증명할 수 있다. 위를 종합하면,
[math(displaystyle angle mathrm{APB}=frac{1}{2}angle mathrm{AOB} )]
임을 얻는다.
[2] 원의 중심이 원주각 직선 위에 있을 때
파일:원주각 증명_2.png
호 [math(mathrm{AB})]에 대한 원주각 [math(angle mathrm{APB})]를 고려하자. 원의 반지름으로써 [math(overline{mathrm{OP}}=overline{mathrm{OA}}=overline{mathrm{OB}})]가 성립하므로 삼각형 [math(mathrm{OAB})], 삼각형 [math(mathrm{POB})]는 이등변삼각형임을 알 수 있다. 따라서 삼각형 [math(mathrm{POB})]에 대하여
[math(displaystyle angle mathrm{OPB}=angle mathrm{OBP} )]
이 성립한다. 또한, [math(angle mathrm{POB})]의 외각은 [math(angle mathrm{AOB})]이고,
[math(displaystyle angle mathrm{AOB}=angle mathrm{OPB}+angle mathrm{OBP}=2angle mathrm{OPB} )]
이 성립하므로 결국
[math(displaystyle angle mathrm{APB}=frac{1}{2}angle mathrm{AOB} )]
임을 얻는다.
[3] 원의 중심이 원주각 외부에 있을 때
파일:원주각 증명_3.png
호 [math(mathrm{AB})]에 대한 원주각 [math(angle mathrm{APB})]를 고려하고, 보조선으로 반지름 [math(overline{mathrm{OP}})]를 사용하자. 이때, 원의 반지름으로써 [math(overline{mathrm{OP}}=overline{mathrm{OA}}=overline{mathrm{OB}})]가 성립하므로 삼각형 [math(mathrm{PAO})], 삼각형 [math(mathrm{POB})]는 이등변삼각형임을 알 수 있다. 따라서 삼각형 [math(mathrm{OAP})]와 삼각형 [math(mathrm{OBP})]는 이등변삼각형이다. 따라서 다음이 성립한다:
[math(displaystyle angle mathrm{OAP}=angle mathrm{OPA} )], [math(displaystyle angle mathrm{OPB}=angle mathrm{OBP} )]
따라서
[math(displaystyle begin{aligned} angle mathrm{OBP}&=angle mathrm{OPA} +angle mathrm{APB} \&=angle mathrm{OAP} +angle mathrm{APB} end{aligned} )]
이고, 삼각형 [math(mathrm{QPB})]의 [math(angle mathrm{PQB})]에 대한 외각은 [math(angle mathrm{AQB})]이므로
[math(displaystyle angle mathrm{AQB}= angle mathrm{OAP} +2angle mathrm{APB} )]
또, 삼각형 [math(mathrm{OAQ})]의 [math(angle mathrm{OQA})]에 대한 외각은 [math(angle mathrm{AQB})]임에 따라
[math(displaystyle angle mathrm{AQB}= angle mathrm{OAP}+angle mathrm{AOB} )]
이상에서
[math(displaystyle angle mathrm{OAP}+angle mathrm{AOB}= angle mathrm{OAP} +2angle mathrm{APB} )]
의 결과를 얻으므로 정리하면,
[math(displaystyle angle mathrm{APB}=frac{1}{2}angle mathrm{AOB} )]
임을 얻는다.
따라서 우리는 [1]~[3]의 과정을 통해 원주각의 크기는 호의 길이만 같다면, 크기는 원주각의 위치에 무관함을 증명했다.
사실 [math(alpha)]가 [math(pi /2)]보다 큰 지 작은지 알면 [math(sin alpha =overlinemathrm{AB} /2R)]임을 이용하면 한 번에 나온다.
파일:나무_원주각_1.png
위 그림에서
[math(displaystyle alpha_{1}=alpha_{2}=alpha_{3} )]
이다.
이것은 다음과 같이 세 경우로 나누어 증명 가능하다.
[1] 원의 중심이 원주각 내부에 있을 때
파일:원주각 증명_1.png
호 [math(mathrm{AB})]에 대한 원주각 [math(angle mathrm{APB})]를 고려하고, 보조선으로 지름 [math(overline{mathrm{PQ}})]를 사용하자. 이때, 원의 반지름으로써 [math(overline{mathrm{OP}}=overline{mathrm{OA}}=overline{mathrm{OB}})]가 성립하므로 삼각형 [math(mathrm{PAO})], 삼각형 [math(mathrm{POB})]는 이등변삼각형임을 알 수 있다. 따라서
[math(displaystyle angle mathrm{APO}=angle mathrm{PAO} )], [math(displaystyle angle mathrm{OPB}=angle mathrm{OBP} )]
가 성립한다. 그런데, 삼각형 [math(mathrm{PAO})]의 [math(angle mathrm{AOP})]에 대한 외각은 [math(angle mathrm{AOQ})]이고,
[math(displaystyle angle mathrm{AOQ}=angle mathrm{APO}+angle mathrm{PAO}=2angle mathrm{APO} )]
이다. 마찬가지의 논법으로
[math(displaystyle angle mathrm{QOB}=angle mathrm{OPB}+angle mathrm{OBP}=2angle mathrm{OPB})]
임을 증명할 수 있다. 위를 종합하면,
[math(displaystyle angle mathrm{APB}=frac{1}{2}angle mathrm{AOB} )]
임을 얻는다.
[2] 원의 중심이 원주각 직선 위에 있을 때
파일:원주각 증명_2.png
호 [math(mathrm{AB})]에 대한 원주각 [math(angle mathrm{APB})]를 고려하자. 원의 반지름으로써 [math(overline{mathrm{OP}}=overline{mathrm{OA}}=overline{mathrm{OB}})]가 성립하므로 삼각형 [math(mathrm{OAB})], 삼각형 [math(mathrm{POB})]는 이등변삼각형임을 알 수 있다. 따라서 삼각형 [math(mathrm{POB})]에 대하여
[math(displaystyle angle mathrm{OPB}=angle mathrm{OBP} )]
이 성립한다. 또한, [math(angle mathrm{POB})]의 외각은 [math(angle mathrm{AOB})]이고,
[math(displaystyle angle mathrm{AOB}=angle mathrm{OPB}+angle mathrm{OBP}=2angle mathrm{OPB} )]
이 성립하므로 결국
[math(displaystyle angle mathrm{APB}=frac{1}{2}angle mathrm{AOB} )]
임을 얻는다.
[3] 원의 중심이 원주각 외부에 있을 때
파일:원주각 증명_3.png
호 [math(mathrm{AB})]에 대한 원주각 [math(angle mathrm{APB})]를 고려하고, 보조선으로 반지름 [math(overline{mathrm{OP}})]를 사용하자. 이때, 원의 반지름으로써 [math(overline{mathrm{OP}}=overline{mathrm{OA}}=overline{mathrm{OB}})]가 성립하므로 삼각형 [math(mathrm{PAO})], 삼각형 [math(mathrm{POB})]는 이등변삼각형임을 알 수 있다. 따라서 삼각형 [math(mathrm{OAP})]와 삼각형 [math(mathrm{OBP})]는 이등변삼각형이다. 따라서 다음이 성립한다:
[math(displaystyle angle mathrm{OAP}=angle mathrm{OPA} )], [math(displaystyle angle mathrm{OPB}=angle mathrm{OBP} )]
따라서
[math(displaystyle begin{aligned} angle mathrm{OBP}&=angle mathrm{OPA} +angle mathrm{APB} \&=angle mathrm{OAP} +angle mathrm{APB} end{aligned} )]
이고, 삼각형 [math(mathrm{QPB})]의 [math(angle mathrm{PQB})]에 대한 외각은 [math(angle mathrm{AQB})]이므로
[math(displaystyle angle mathrm{AQB}= angle mathrm{OAP} +2angle mathrm{APB} )]
또, 삼각형 [math(mathrm{OAQ})]의 [math(angle mathrm{OQA})]에 대한 외각은 [math(angle mathrm{AQB})]임에 따라
[math(displaystyle angle mathrm{AQB}= angle mathrm{OAP}+angle mathrm{AOB} )]
이상에서
[math(displaystyle angle mathrm{OAP}+angle mathrm{AOB}= angle mathrm{OAP} +2angle mathrm{APB} )]
의 결과를 얻으므로 정리하면,
[math(displaystyle angle mathrm{APB}=frac{1}{2}angle mathrm{AOB} )]
임을 얻는다.
따라서 우리는 [1]~[3]의 과정을 통해 원주각의 크기는 호의 길이만 같다면, 크기는 원주각의 위치에 무관함을 증명했다.
사실 [math(alpha)]가 [math(pi /2)]보다 큰 지 작은지 알면 [math(sin alpha =overlinemathrm{AB} /2R)]임을 이용하면 한 번에 나온다.
2.2. 성질 2
위의 개요 문단에서도 다뤘지만, 원주각은 중심각의 크기에 절반의 크기를 가진다. 이것의 증명 원주각이 예각, 직각, 둔각일 때를 나누어 증명한다.
[1] 원주각이 예각일 때
파일:나무_원주각_증명1_수정.png
우리는 보조선으로 선분 [math(mathrm{PQ})]를 긋는 것부터 시작하자. 원의 반지름인 세 선분의 길이는 같다. 즉,
[math(displaystyle overline{mathrm{AO}}=overline{mathrm{PO}}=overline{mathrm{BO}} )]
이에 두 삼각형 [math(mathrm{PAO})]와 [math(mathrm{PBO})]는 이등변 삼각형이다. 따라서 위 그림과 같이 양끝각은 같다. 이상에서
[math(displaystyle angle{mathrm{AOB}}=angle{mathrm{AOQ}}+angle{mathrm{QOB}} )]
이고, 삼각형의 외각은 삼각형 내부의 두 각의 크기의 합과 같으므로
[math(displaystyle angle{mathrm{AOQ}}=2angle{mathrm{APO}}, qquad qquad angle{mathrm{QOB}}=2angle{mathrm{OPB}} )]
이상에서
[math(displaystyle angle{mathrm{AOB}}=2({mathrm{APO}}+angle{mathrm{OPB}})=2 angle{mathrm{APB}} )]
임을 알 수 있다.
[2] 원주각이 직각일 때
파일:나무_원주각_증명2.png
우리는 보조선으로 선분 [math(mathrm{PO})]를 긋는 것부터 시작하자. 원의 반지름인 세 선분의 길이는 같다. 즉,
[math(displaystyle overline{mathrm{AO}}=overline{mathrm{PO}}=overline{mathrm{BO}} )]
이에 두 삼각형 [math(mathrm{PAO})]와 [math(mathrm{PBO})]는 이등변 삼각형이다. 따라서 위 그림과 같이 양끝각은 같다. 이상에서
[math(displaystyle angle{mathrm{AOB}}=angle{mathrm{AOP}}+angle{mathrm{POB}} )]
그런데, 삼각형의 외각은 삼각형 내부의 두 각의 크기의 합과 같으므로
[math(displaystyle angle{mathrm{AOP}}=2angle{mathrm{OPB}}, qquad qquad angle{mathrm{POB}}=2angle{mathrm{APO}} )]
이상에서
[math(displaystyle angle{mathrm{AOB}}=2(angle{mathrm{APO}}+angle{mathrm{OPB}})=2 angle{mathrm{APB}} )]
가 됨을 알 수 있다.
[3] 원주각이 둔각일 때
파일:나무_원주각 증명 3.png
우리는 보조선으로 선분 [math(mathrm{PO})]를 긋는 것부터 시작하자. 원의 반지름인 세 선분의 길이는 같다. 즉,
[math(displaystyle overline{mathrm{AO}}=overline{mathrm{PO}}=overline{mathrm{BO}} )]
이에 두 삼각형 [math(mathrm{PAO})]와 [math(mathrm{PBO})]는 이등변 삼각형이다. 따라서 위 그림과 같이 양끝각은 같다. 이상에서
[math(displaystyle angle{mathrm{AOB}}=2pi-(angle{mathrm{AOP}}+angle{mathrm{POB}}) )]
삼각형의 외각은 삼각형 내부의 두 각의 크기의 합과 같음을 이용하면,
[math(displaystyle angle{mathrm{AOP}}=pi-2angle{mathrm{APO}}, qquad qquad angle{mathrm{POB}}=pi-2angle{mathrm{OPB}} )]
이상에서
[math(displaystyle angle{mathrm{AOB}}=2(angle{mathrm{APO}}+angle{mathrm{OPB}})=2 angle{mathrm{APB}} )]
가 됨을 알 수 있다.
[1] 원주각이 예각일 때
파일:나무_원주각_증명1_수정.png
우리는 보조선으로 선분 [math(mathrm{PQ})]를 긋는 것부터 시작하자. 원의 반지름인 세 선분의 길이는 같다. 즉,
[math(displaystyle overline{mathrm{AO}}=overline{mathrm{PO}}=overline{mathrm{BO}} )]
이에 두 삼각형 [math(mathrm{PAO})]와 [math(mathrm{PBO})]는 이등변 삼각형이다. 따라서 위 그림과 같이 양끝각은 같다. 이상에서
[math(displaystyle angle{mathrm{AOB}}=angle{mathrm{AOQ}}+angle{mathrm{QOB}} )]
이고, 삼각형의 외각은 삼각형 내부의 두 각의 크기의 합과 같으므로
[math(displaystyle angle{mathrm{AOQ}}=2angle{mathrm{APO}}, qquad qquad angle{mathrm{QOB}}=2angle{mathrm{OPB}} )]
이상에서
[math(displaystyle angle{mathrm{AOB}}=2({mathrm{APO}}+angle{mathrm{OPB}})=2 angle{mathrm{APB}} )]
임을 알 수 있다.
[2] 원주각이 직각일 때
파일:나무_원주각_증명2.png
우리는 보조선으로 선분 [math(mathrm{PO})]를 긋는 것부터 시작하자. 원의 반지름인 세 선분의 길이는 같다. 즉,
[math(displaystyle overline{mathrm{AO}}=overline{mathrm{PO}}=overline{mathrm{BO}} )]
이에 두 삼각형 [math(mathrm{PAO})]와 [math(mathrm{PBO})]는 이등변 삼각형이다. 따라서 위 그림과 같이 양끝각은 같다. 이상에서
[math(displaystyle angle{mathrm{AOB}}=angle{mathrm{AOP}}+angle{mathrm{POB}} )]
그런데, 삼각형의 외각은 삼각형 내부의 두 각의 크기의 합과 같으므로
[math(displaystyle angle{mathrm{AOP}}=2angle{mathrm{OPB}}, qquad qquad angle{mathrm{POB}}=2angle{mathrm{APO}} )]
이상에서
[math(displaystyle angle{mathrm{AOB}}=2(angle{mathrm{APO}}+angle{mathrm{OPB}})=2 angle{mathrm{APB}} )]
가 됨을 알 수 있다.
[3] 원주각이 둔각일 때
파일:나무_원주각 증명 3.png
우리는 보조선으로 선분 [math(mathrm{PO})]를 긋는 것부터 시작하자. 원의 반지름인 세 선분의 길이는 같다. 즉,
[math(displaystyle overline{mathrm{AO}}=overline{mathrm{PO}}=overline{mathrm{BO}} )]
이에 두 삼각형 [math(mathrm{PAO})]와 [math(mathrm{PBO})]는 이등변 삼각형이다. 따라서 위 그림과 같이 양끝각은 같다. 이상에서
[math(displaystyle angle{mathrm{AOB}}=2pi-(angle{mathrm{AOP}}+angle{mathrm{POB}}) )]
삼각형의 외각은 삼각형 내부의 두 각의 크기의 합과 같음을 이용하면,
[math(displaystyle angle{mathrm{AOP}}=pi-2angle{mathrm{APO}}, qquad qquad angle{mathrm{POB}}=pi-2angle{mathrm{OPB}} )]
이상에서
[math(displaystyle angle{mathrm{AOB}}=2(angle{mathrm{APO}}+angle{mathrm{OPB}})=2 angle{mathrm{APB}} )]
가 됨을 알 수 있다.
2.3. 기타 성질
- 지름에 대한 원주각의 크기는 직각이 된다. 이것은 성질 2를 이용하면, 지름의 경우 직선이고, 원의 중심을 통과하기 때문에 중심각은 [math(pi)]가 되므로, 원주각은 그 반은 직각이 되는 것이다. 아래의 그림을 참고하라:
파일:나무_원주각_성질3.png - 한 원에서 같은 원주각을 가지는 두 현은 길이가 같다.
- 원주각 및 중심각은 대응하는 호의 길이에 비례한다.
- 파일:나무_원주각_개요.png
상단의 그림을 해석기하학적으로 접근하면, 선분 [math(overline{rm AB})]를 그을 때 다음과 같은 관계를 도출할 수 있다:
[math(displaystyle begin{aligned} angle alpha &= dfrac12 {rm acrd}, overline{rm AB} \&= arcsin dfrac{overline{rm AB}}{2} \& = -i,{rm Log} biggl( i dfrac{overline{rm AB}}{2} + sqrt{1 - dfrac{overline{rm AB}^2}{4}} biggr) end{aligned} )]
[math({rm acrd})]는 할선으로부터 그 중심각을 구하는 역할선 함수이며, [math(arcsin)]은 역사인 함수이다. [math(rm Log)]는 복소로그함수, [math(i)]는 허수단위이다.
3. 응용
3.1. 원에 내접하는 사각형
파일:나무_원주각성질4.png
위 그림과 같이 원에 내접하는 사각형 [math(mathrm{APBQ})]를 고려하자. 이때, [math(theta)]와 [math(theta')]는 호 [math(mathrm{AB})]의 원주각이다. 따라서 두 원주각에 대한 중심각의 합은 [math(2pi)]가 되므로
[math(displaystyle theta+theta'=pi )]
의 결론을 얻는데, 이는 원에 내접하는 사각형의 두 대각의 합은 [math(boldsymbol{pi})]가 됨을 보여준다.
파일:나무_원에 내접하는 사각형_내대각.png
위 그림과 같이 원에 내접하는 사각형 [math(mathrm{ABCD})]과 이 사각형의 [math(angle {mathrm{CAB}})]의 외각 [math(angle {mathrm{PAC}})]를 고려하면
[math(displaystyle angle {mathrm{CAB}}=pi-angle {mathrm{PAC}} )]
이때, 원에 내접하는 사각형의 두 대각의 합은 [math(pi)]가 됨을 증명했으므로
[math(displaystyle begin{aligned} angle{mathrm{CDB}}&=pi-angle {mathrm{CAB}} \&=pi-(pi-angle {mathrm{PAC}}) \&=angle {mathrm{PAC}} end{aligned} )]
이 성립함을 알 수 있다. 이때, [math(angle{mathrm{CDB}})]를 [math(angle {mathrm{PAC}})]의 내대각이라 한다.
이상의 결과를 정리하면, 원에 내접하는 사각형의 한 외각의 크기와 내대각의 크기는 서로 같음을 알 수 있고, 이 명제는 그 역도 성립함이 알려져있다.
3.2. 네 점이 한 원 위에 있을 조건
파일:namu_네원이_한 원위.png
그림과 같이 네 점 [math(rm A)], [math(rm B)], [math(rm C)], [math(rm D)]가 한 원 위에 있으려면 다음 두 조건을 만족해야 한다.
- 두 점 [math(rm C)], [math(rm D)]가 직선 [math(rm{AB})]에 대하여 같은 쪽에 존재한다.
- [math(angle{rm{ACB}}=angle{rm{ADB}})]
3.3. 접선과 현이 이루는 각
파일:나무_원주각_접선과현.png
위 그림과 같이 원 외부의 점 [math(mathrm{P})]에서 그은 원의 접선을 고려해보자. 이때, 해당 접선의 접점은 [math(mathrm{T})]이다. 또, 접점을 지나는 한 현을 고려할 때, 이 현에 대한 호 [math(mathrm{AT})]에 대한 원주각 [math(angle mathrm{AQT})]는 [math(angle mathrm{PTA})]와 같다. 즉,
[math(displaystyle angle mathrm{AQT}=angle mathrm{PTA} )]
가 성립한다.
이것의 증명은 아래와 같이 할 수 있다.
파일:나무_원주각_접선과현_증명.png
점 [math(mathrm{Q})]를 [math(mathrm{Q'})]으로 옮겨도 그 원주각은 같으므로
[math(displaystyle angle mathrm{AQT}=angle mathrm{AQ'T} )]
이때, [math(overline{mathrm{TQ'}})]이 원의 지름이라면, 지름에 대한 원주각 [math(angle mathrm{TAQ'}=pi/2)]임에 따라, [math(triangle mathrm{TAQ'})]은 직각삼각형임을 알 수 있다. 또한, 원의 지름과 접선은 수직으로 만남에 따라 [math(angle mathrm{PTQ'}=pi/2)]이다. 따라서 다음이 성립한다.
[math(displaystyle pi-left( frac{pi}{2}+angle{mathrm{AQ'T}} right)=frac{pi}{2}-angle mathrm{AQT} )]
이상에서
[math(displaystyle angle mathrm{AQ'T}=angle mathrm{AQT}=angle mathrm{PTA} )]
임을 얻는다.
이러한 성질을 흔히 접현각 성질이라고 줄여 부른다.
3.4. 방멱 정리 (원과 비례)
4. 기타
- 현행 대한민국 교육과정에서는 중학교 3학년 2학기 후반부에 다루게 된다. 단원 특성 상 3년간 배웠던 기하학의 내용인 합동・닮음 등의 많은 내용들을 써먹어야 하기 때문에 3년 간 본인이 학습했던 기하학 실력을 알 수 있는 단원이며, 이에 많은 학생들이 어려워하는 단원이다.