문서:원주각

[include(틀:기하학·위상수학)]
[목차]
== 개요 ==
{{{+1 inscribed angle · [[圓]][[周]][[角]]}}}

[[파일:나무_원주각_개요.png|width=160&align=center]]

그림과 같이 [math(\stackrel\frown{\mathrm{AB}})]에 대해 [math(\angle \alpha)]를 [math(\stackrel\frown{\mathrm{AB}})]에 대한 '''원주각'''이라 하며, 이때, [math(\angle \beta)]를 [math(\stackrel\frown{\mathrm{AB}})]에 대한 '''중심각'''이라 한다.

뒤에서 증명하겠지만, 원주각과 중심각의 관계는 아래와 같다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\displaystyle \angle  \alpha =  \frac{\angle \beta}{2}  )]}}}

참고로 이 문서의 각은 [[호도법]]으로 정의된 것을 사용한다. 해당 각에 [math( 180^{\circ}/\pi )]을 곱해주면, [[육십분법]]으로 정의된 각을 알 수 있다. 또한 닮음 기호는 국제적으로 통용되는 [math(\sim)]을 썼다.

== 원주각의 성질 ==

=== 성질 1 ===
원주각은 호가 같다면, 점 [math(\mathrm{P})]에 관계 없이 일정하다. 즉,

[[파일:나무_원주각_1.png|width=160&align=center]]

위 그림에서
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\displaystyle \alpha_{1}=\alpha_{2}=\alpha_{3} )]}}}
이다. 

이것은 다음과 같이 세 경우로 나누어 증명 가능하다. 

'''[1]''' 원의 중심이 원주각 내부에 있을 때

[[파일:원주각 증명_1.png|width=160&align=center]]

호 [math(\mathrm{AB})]에 대한 원주각 [math(\angle \mathrm{APB})]를 고려하고, 보조선으로 지름 [math(\overline{\mathrm{PQ}})]를 사용하자. 이때, 원의 반지름으로써 [math(\overline{\mathrm{OP}}=\overline{\mathrm{OA}}=\overline{\mathrm{OB}})]가 성립하므로 삼각형 [math(\mathrm{PAO})], 삼각형 [math(\mathrm{POB})]는 이등변삼각형임을 알 수 있다. 따라서 
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \angle \mathrm{APO}=\angle \mathrm{PAO} )], [math(\displaystyle \angle \mathrm{OPB}=\angle \mathrm{OBP} )]}}}
가 성립한다. 그런데, 삼각형 [math(\mathrm{PAO})]의 [math(\angle \mathrm{AOP})]에 대한 외각은 [math(\angle \mathrm{AOQ})]이고,
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \angle \mathrm{AOQ}=\angle \mathrm{APO}+\angle \mathrm{PAO}=2\angle \mathrm{APO} )]}}} 
이다. 마찬가지의 논법으로 
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \angle \mathrm{QOB}=\angle \mathrm{OPB}+\angle  \mathrm{OBP}=2\angle \mathrm{OPB})]}}}
임을 증명할 수 있다. 위를 종합하면, 
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \angle \mathrm{APB}=\frac{1}{2}\angle \mathrm{AOB} )]}}}
임을 얻는다. 

'''[2]''' 원의 중심이 원주각 직선 위에 있을 때

[[파일:원주각 증명_2.png|width=160&align=center]]

호 [math(\mathrm{AB})]에 대한 원주각 [math(\angle \mathrm{APB})]를 고려하자. 원의 반지름으로써 [math(\overline{\mathrm{OP}}=\overline{\mathrm{OA}}=\overline{\mathrm{OB}})]가 성립하므로 삼각형 [math(\mathrm{OAB})], 삼각형 [math(\mathrm{POB})]는 이등변삼각형임을 알 수 있다. 따라서 삼각형 [math(\mathrm{POB})]에 대하여
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \angle \mathrm{OPB}=\angle \mathrm{OBP} )]}}}
이 성립한다. 또한, [math(\angle \mathrm{POB})]의 외각은 [math(\angle \mathrm{AOB})]이고,
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{OPB}+\angle \mathrm{OBP}=2\angle \mathrm{OPB} )]}}}
이 성립하므로 결국
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \angle \mathrm{APB}=\frac{1}{2}\angle \mathrm{AOB} )]}}}
임을 얻는다. 

'''[3]''' 원의 중심이 원주각 외부에 있을 때

[[파일:원주각 증명_3.png|width=160&align=center]]

호 [math(\mathrm{AB})]에 대한 원주각 [math(\angle \mathrm{APB})]를 고려하고, 보조선으로 반지름 [math(\overline{\mathrm{OP}})]를 사용하자. 이때, 원의 반지름으로써 [math(\overline{\mathrm{OP}}=\overline{\mathrm{OA}}=\overline{\mathrm{OB}})]가 성립하므로 삼각형 [math(\mathrm{PAO})], 삼각형 [math(\mathrm{POB})]는 이등변삼각형임을 알 수 있다. 따라서 삼각형 [math(\mathrm{OAP})]와 삼각형 [math(\mathrm{OBP})]는 이등변삼각형이다. 따라서 다음이 성립한다:
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \angle \mathrm{OAP}=\angle \mathrm{OPA} )], [math(\displaystyle \angle \mathrm{OPB}=\angle \mathrm{OBP} )]}}}
따라서
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned} \angle \mathrm{OBP}&=\angle \mathrm{OPA} +\angle \mathrm{APB} \\&=\angle \mathrm{OAP} +\angle \mathrm{APB} \end{aligned} )]}}}
이고, 삼각형 [math(\mathrm{QPB})]의 [math(\angle \mathrm{PQB})]에 대한 외각은 [math(\angle \mathrm{AQB})]이므로
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \angle \mathrm{AQB}= \angle \mathrm{OAP} +2\angle \mathrm{APB}  )]}}}
또, 삼각형 [math(\mathrm{OAQ})]의 [math(\angle \mathrm{OQA})]에 대한 외각은 [math(\angle \mathrm{AQB})]임에 따라
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \angle \mathrm{AQB}= \angle \mathrm{OAP}+\angle \mathrm{AOB}   )]}}}
이상에서
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \angle \mathrm{OAP}+\angle \mathrm{AOB}= \angle \mathrm{OAP} +2\angle \mathrm{APB}  )]}}}
의 결과를 얻으므로 정리하면,
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \angle \mathrm{APB}=\frac{1}{2}\angle \mathrm{AOB} )]}}}
임을 얻는다. 

따라서 우리는 '''[1]'''~'''[3]'''의 과정을 통해 원주각의 크기는 호의 길이만 같다면, 크기는 원주각의 위치에 무관함을 증명했다.

사실 [math(\alpha)]가 [math(\pi /2)]보다 큰 지 작은지 알면 [math(\sin \alpha =\overline\mathrm{AB} /2R)]임을 이용하면 한 번에 나온다.
=== 성질 2 ===
위의 개요 문단에서도 다뤘지만, 원주각은 중심각의 크기에 절반의 크기를 가진다. 이것의 증명 원주각이 예각, 직각, 둔각일 때를 나누어 증명한다.

'''[1] 원주각이 예각일 때'''

[[파일:나무_원주각_증명1_수정.png|width=160&align=center]]

우리는 보조선으로 선분 [math(\mathrm{PQ})]를 긋는 것부터 시작하자. 원의 반지름인 세 선분의 길이는 같다. 즉,
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\displaystyle \overline{\mathrm{AO}}=\overline{\mathrm{PO}}=\overline{\mathrm{BO}} )]}}}
이에 두 삼각형 [math(\mathrm{PAO})]와 [math(\mathrm{PBO})]는 이등변 삼각형이다. 따라서 위 그림과 같이 양끝각은 같다. 이상에서
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\displaystyle  \angle{\mathrm{AOB}}=\angle{\mathrm{AOQ}}+\angle{\mathrm{QOB}}  )]}}}
이고, 삼각형의 외각은 삼각형 내부의 두 각의 크기의 합과 같으므로
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\displaystyle  \angle{\mathrm{AOQ}}=2\angle{\mathrm{APO}},  \qquad \qquad \angle{\mathrm{QOB}}=2\angle{\mathrm{OPB}}  )]}}}
이상에서
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\displaystyle  \angle{\mathrm{AOB}}=2({\mathrm{APO}}+\angle{\mathrm{OPB}})=2 \angle{\mathrm{APB}}  )]}}}
임을 알 수 있다.

'''[2] 원주각이 직각일 때'''

[[파일:나무_원주각_증명2.png|width=160&align=center]]

우리는 보조선으로 선분 [math(\mathrm{PO})]를 긋는 것부터 시작하자. 원의 반지름인 세 선분의 길이는 같다. 즉,
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\displaystyle \overline{\mathrm{AO}}=\overline{\mathrm{PO}}=\overline{\mathrm{BO}} )]}}}
이에 두 삼각형 [math(\mathrm{PAO})]와 [math(\mathrm{PBO})]는 이등변 삼각형이다. 따라서 위 그림과 같이 양끝각은 같다. 이상에서
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\displaystyle  \angle{\mathrm{AOB}}=\angle{\mathrm{AOP}}+\angle{\mathrm{POB}}  )]}}}
그런데, 삼각형의 외각은 삼각형 내부의 두 각의 크기의 합과 같으므로
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\displaystyle  \angle{\mathrm{AOP}}=2\angle{\mathrm{OPB}},  \qquad \qquad \angle{\mathrm{POB}}=2\angle{\mathrm{APO}}  )]}}}
이상에서
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\displaystyle  \angle{\mathrm{AOB}}=2(\angle{\mathrm{APO}}+\angle{\mathrm{OPB}})=2 \angle{\mathrm{APB}}  )]}}}
가 됨을 알 수 있다.

'''[3] 원주각이 둔각일 때'''

[[파일:나무_원주각 증명 3.png|width=160&align=center]]

우리는 보조선으로 선분 [math(\mathrm{PO})]를 긋는 것부터 시작하자. 원의 반지름인 세 선분의 길이는 같다. 즉,
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\displaystyle \overline{\mathrm{AO}}=\overline{\mathrm{PO}}=\overline{\mathrm{BO}} )]}}}
이에 두 삼각형 [math(\mathrm{PAO})]와 [math(\mathrm{PBO})]는 이등변 삼각형이다. 따라서 위 그림과 같이 양끝각은 같다. 이상에서
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\displaystyle  \angle{\mathrm{AOB}}=2\pi-(\angle{\mathrm{AOP}}+\angle{\mathrm{POB}})  )]}}}
삼각형의 외각은 삼각형 내부의 두 각의 크기의 합과 같음을 이용하면,
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\displaystyle  \angle{\mathrm{AOP}}=\pi-2\angle{\mathrm{APO}},  \qquad \qquad \angle{\mathrm{POB}}=\pi-2\angle{\mathrm{OPB}}  )]}}}
이상에서
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\displaystyle  \angle{\mathrm{AOB}}=2(\angle{\mathrm{APO}}+\angle{\mathrm{OPB}})=2 \angle{\mathrm{APB}}  )]}}}
가 됨을 알 수 있다.

=== 기타 성질 ===
 * 지름에 대한 원주각의 크기는 직각이 된다. 이것은 성질 2를 이용하면, 지름의 경우 직선이고, 원의 중심을 통과하기 때문에 중심각은 [math(\pi)]가 되므로, 원주각은 그 반은 직각이 되는 것이다. 아래의 그림을 참고하라:
 [br][[파일:나무_원주각_성질3.png|width=160&align=center]]
 * 한 원에서 같은 원주각을 가지는 두 현은 길이가 같다.
 * 원주각 및 중심각은 대응하는 호의 길이에 비례한다.
  * [[파일:나무_원주각_개요.png|width=160]][br]
  상단의 그림을 [[해석기하학]]적으로 접근하면, 선분 [math(\overline{\rm AB})]를 그을 때 다음과 같은 관계를 도출할 수 있다:
  {{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \angle \alpha &= \dfrac12 {\rm acrd}\, \overline{\rm AB} \\&= \arcsin \dfrac{\overline{\rm AB}}{2} \\& = -i\,{\rm Log} \biggl( i \dfrac{\overline{\rm AB}}{2} + \sqrt{1 - \dfrac{\overline{\rm AB}^2}{4}} \biggr) \end{aligned} )]}}}
  [math({\rm acrd})]는 [[할선]]으로부터 그 중심각을 구하는 [[삼각함수/관련 함수#s-2.2|역할선 함수]]이며, [math(\arcsin)]은 [[역삼각함수|역사인 함수]]이다. [math(\rm Log)]는 [[복소로그함수]], [math(i)]는 [[허수|허수단위]]이다.
== 응용 ==
=== 원에 내접하는 사각형 ===

[[파일:나무_원주각성질4.png|width=160&align=center]]

위 그림과 같이 원에 내접하는 사각형 [math(\mathrm{APBQ})]를 고려하자. 이때, [math(\theta)]와 [math(\theta')]는 호 [math(\mathrm{AB})]의 원주각이다. 따라서 두 원주각에 대한 중심각의 합은 [math(2\pi)]가 되므로
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\displaystyle \theta+\theta'=\pi )]}}}
의 결론을 얻는데, 이는 '''원에 내접하는 사각형의 두 대각의 합은 [math(\boldsymbol{\pi})]가 됨'''을 보여준다.


[[파일:나무_원에 내접하는 사각형_내대각.png|width=240&align=center]]

위 그림과 같이 원에 내접하는 사각형 [math(\mathrm{ABCD})]과 이 사각형의 [math(\angle {\mathrm{CAB}})]의 외각 [math(\angle {\mathrm{PAC}})]를 고려하면
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\displaystyle \angle {\mathrm{CAB}}=\pi-\angle {\mathrm{PAC}} )]}}}
이때, 원에 내접하는 사각형의 두 대각의 합은 [math(\pi)]가 됨을 증명했으므로
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \angle{\mathrm{CDB}}&=\pi-\angle {\mathrm{CAB}} \\&=\pi-(\pi-\angle {\mathrm{PAC}}) \\&=\angle {\mathrm{PAC}} \end{aligned} )]}}}
이 성립함을 알 수 있다. 이때, [math(\angle{\mathrm{CDB}})]를 [math(\angle {\mathrm{PAC}})]의 '''내대각'''이라 한다. 

이상의 결과를 정리하면, '''원에 내접하는 사각형의 한 외각의 크기와 내대각의 크기는 서로 같음'''을 알 수 있고, 이 명제는 그 역도 성립함이 알려져있다.

=== 네 점이 한 원 위에 있을 조건 ===

[[파일:namu_네원이_한 원위.png|width=210&align=center]]

그림과 같이 네 점 [math(\rm A)], [math(\rm B)], [math(\rm C)], [math(\rm D)]가 한 원 위에 있으려면 다음 두 조건을 만족해야 한다.
 * 두 점 [math(\rm C)], [math(\rm D)]가 직선 [math(\rm{AB})]에 대하여 같은 쪽에 존재한다.
 * [math(\angle{\rm{ACB}}=\angle{\rm{ADB}})]
=== 접선과 현이 이루는 각 ===

[[파일:나무_원주각_접선과현.png|width=180&align=center]]

위 그림과 같이 원 외부의 점 [math(\mathrm{P})]에서 그은 원의 접선을 고려해보자. 이때, 해당 접선의 접점은 [math(\mathrm{T})]이다. 또, 접점을 지나는 한 현을 고려할 때, 이 현에 대한 호 [math(\mathrm{AT})]에 대한 원주각 [math(\angle \mathrm{AQT})]는 [math(\angle \mathrm{PTA})]와 같다. 즉,
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\displaystyle \angle \mathrm{AQT}=\angle \mathrm{PTA} )]}}}
가 성립한다.

이것의 증명은 아래와 같이 할 수 있다.

[[파일:나무_원주각_접선과현_증명.png|width=180&align=center]]

점 [math(\mathrm{Q})]를 [math(\mathrm{Q'})]으로 옮겨도 그 원주각은 같으므로 
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\displaystyle \angle \mathrm{AQT}=\angle \mathrm{AQ'T} )]}}}
이때, [math(\overline{\mathrm{TQ'}})]이 원의 지름이라면, 지름에 대한 원주각 [math(\angle \mathrm{TAQ'}=\pi/2)]임에 따라, [math(\triangle \mathrm{TAQ'})]은 직각삼각형임을 알 수 있다. 또한, 원의 지름과 접선은 수직으로 만남에 따라 [math(\angle \mathrm{PTQ'}=\pi/2)]이다. 따라서 다음이 성립한다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\displaystyle \pi-\left( \frac{\pi}{2}+\angle{\mathrm{AQ'T}} \right)=\frac{\pi}{2}-\angle \mathrm{AQT} )]}}}
이상에서
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\displaystyle \angle \mathrm{AQ'T}=\angle \mathrm{AQT}=\angle \mathrm{PTA} )]}}}
임을 얻는다.

이러한 성질을 흔히 '''접현각 성질'''이라고 줄여 부른다. 

=== [[방멱 정리|방멱 정리 (원과 비례)]] ===
[include(틀:상세 내용, 문서명=방멱 정리)]

== 기타 ==
 * 현행 대한민국 교육과정에서는 중학교 3학년 2학기 후반부에 다루게 된다. 단원 특성 상 3년간 배웠던 기하학의 내용인 합동・닮음 등의 많은 내용들을 써먹어야 하기 때문에 3년 간 본인이 학습했던 기하학 실력을 알 수 있는 단원이며, 이에 많은 학생들이 어려워하는 단원이다.

== 관련 문서 ==
 * [[수학 관련 정보]]
 * [[원(도형)]]
 * [[기하학]]

[[분류:기하학]][[분류:수학 용어]][[분류:한자어]][[분류:나무위키 수학 프로젝트]]