레온하르트 오일러가 증명한 정리이다.

정수론에서 유용하게 쓰이는 정리로, 합동식과 관련이 있다. 페르마의 소정리를 일반화한 것이다.
내용은 아래와 같다.

여기서 [math( varphi left( n right) )]은 [math( 1 )]부터 [math( n )]까지의 정수 중 [math( n )]과 서로소인 정수의 개수를 구하는 오일러 파이 함수다.

[math(n)] 이하의 자연수중 [math(n)]과 서로소인 수만 모아놓은 집합을 [math(S)]라 하자.
정의에 의해 [math(S)]의 원소의 개수는 [math( varphi left( n right) )]이다.

[math( S=left{b_1, cdots, b_{varphileft(nright)}right} )]

라 하자

[math(S)]의 각 원소들에 ([math(n)]과 서로소인) [math(a)]를 곱한 집합을 [math(aS)]라 하면
[math( aS=left{ab_1, cdots, ab_{varphileft(nright)}right} )]

이 때, [math(aS)]의 모든 원소들은 [math(n)]과 서로소인 수들끼리 곱한 수들이므로 그 원소들 역시 [math(n)]과 서로소.

그리고 [math(aS)]의 모든 원소는 [math(n)]로 나눈 나머지가 서로 다르다 ([math(because)] 만일 [math(ab_i equiv ab_j (text{mod}~n))], [math(1 leq i,j leq varphi left(n right))]인 서로 다른 정수 [math(i)], [math(j)]가 존재한다면, [math(a(b_i - b_j ))]가 [math(n)]의 배수. [math(a)]와 [math(n)]이 서로소이므로 [math(b_i - b_j)]가 [math(n)]의 배수. 그런데, [math(b_i)]와 [math(b_j)]가 둘 다 [math(1)]이상 [math(n)]이하의 수들이므로 [math(-(n-1) leq b_i -b_j leq (n-1))]. 이 범위에는 [math(n)]의 배수가 [math(0)]뿐이므로 [math(b_i = b_j)]. 즉, 모순)

그러므로 [math(aS)]의 원소들을 [math(n)]으로 나눈 나머지는 [math(S)]의 원소들의 재배열이 된다.

따라서 [math(S)]의 모든 원소의 곱과 [math(aS)]의 모든 원소의 곱은 [math(n)]으로 나눈 나머지가 같다.

[math( b_1cdots b_{varphileft(nright)} equiv a^{varphileft(nright)}b_1cdots b_{varphileft(nright)} left(text{mod} ~nright))]

[math( therefore ~ a^{ varphi left( n right) } equiv 1 left( text{mod}~ n right) )]

오일러 정리는 KMO 1차시험의 특성상 거듭제곱의 마지막 세 자리 수를 구하는 데 자주 사용된다. 예를 들어 [math(7^{2016})]의 마지막 세 자리 수를 구하고 싶을 때, [math(varphi left( 1000 right) = 400)]이므로 [math(7^{400} equiv 1 left(text{mod}~1000 right))]가 성립함을 이용하면, [math(7^{2016} equiv left( 7^{400} right)^5 times 7^{16} left( text{mod}~1000 right))]에 의해 [math(7^{16})]을 [math(1000)]으로 나눈 나머지를 구하면 된다.문제라면 그게 어려운 거지[4]임을 이용해서 이항정리를 통해 간략화시키면 된다.]

오일러 정리는 대표적인 공개키 암호화 방식 중 하나인 RSA의 가장 중요한 이론이 되는 정리다.
참고로 오일러 공식, 오일러 방정식과는 다른 것이다.

위의 정수론에 대한 정리와는 다른 정리이다. 내용은 다음과 같다.

함수 [math(f(x_k))]가 [math(x_k)]에 대한 [math(n)]차 동차함수이면, 다음이 성립한다.