오일러 방정식(Euler's Equation)은 레온하르트 오일러에 의해 만들어진 방정식이다. 변분법과 유체역학에서 지칭하는 오일러 방정식은 서로 다른 식이므로 유의.

변분법에서 범함수의 최소, 최대를 찾는 방법으로 개발된 방정식이다.

변수를 하나만 가지는 함수 $y\left(x\right)$와 그 도함수 $y^\prime \left(x\right)$를 변수로 가지는 어떤 범함수(functional) $J$ 가 있다고 하자.

(여기서 세미콜론은, $f$는 $y, y', x$의 함수이고 또 $y, y'$는 $x$의 함수라는 뜻이다. 예를 들어 $J = \int_{x_1}^{x_2} { (y^2 + xy' + \sqrt{x})dx }$ 같은 식이다.)

이러한 범함수의 극값(극대 또는 극소)를 주는 함수 $f$가 만족시키는 미분방정식은 다음과 같다.

이 미분방정식을 오일러 방정식이라고 한다.

우선 일반적인 경우를 증명하기 전에 이해를 돕기 위해서 다음 예시를 먼저 살펴보자.

먼저, 두 점을 잇는 선을 어떤 현악기의 줄이라고 생각해 보자. 그 줄의 길이를 $L$이라 하자.
파일:오일러1.png
그 다음 줄을 손으로 1mm 정도 잡아당겨 보자. 그럼 아래 그림처럼 줄이 휘어질 것이다. (그림은 과장해서 그렸다)
파일:오일러2.png
이렇게 휘어진 줄과 원래 직선과의 차이를 $\eta (x)$라고 하자. (줄을 함수의 그래프처럼 생각하면 된다. x축이 바이올린의 줄과 평행한 좌표계에서 처음 상태를 $f(x)$라고 하고 휘어진 그래프를 $g(x)$라고 하면 $\eta (x) = g(x) -f(x)$인 것이다.) 그런데, 줄의 끝은 고정되어 있다. 즉 차이가 없는 것이다. 따라서 $\eta (x_1) = \eta(x_2) = 0$이다. (줄의 끝의 좌표가 $x_1, x_2$이다)

그럼 여기서 줄을 더 잡아당겨서 5mm 정도 잡아당기면 어떻게 될까? 차이가 5배로 커질 것이다. 즉 차이는 $5 \eta (x)$가 된다.
마찬가지로, 2mm를 잡아당기면 차이는 대략 $2 \eta (x)$이고, 10mm를 잡아당기면 $10 \eta (x)$이고, 아니면 반대 방향으로 3mm를 잡아당기면 차이는 $-3 \eta (x)$가 될 것이다. 즉 $\alpha$ mm 잡아당기면 차이는 $\alpha \eta (x)$가 된다.

이때, 줄을 함수의 그래프 $y = f(x)$라고 생각해 보자. (이제부터 간단하게 $y(x)$로 쓰자.) 먼저, 악기를 가만히 놔두면 당연히 줄은 직선(최단거리) 모양이 된다. 이것을 $y(0,x)$라고 하자. 그리고 $\alpha$ mm만큼 줄을 잡아당겼을 때의 모양을 아래 그림처럼 $y( \alpha, x)$라고 하자.
파일:오일러3.png
즉 줄을 5mm 잡아당긴 함수는 $y(5,x)$이고, 반대쪽으로 3mm 잡아당기면 $y(-3,x)$이다. 그런데 아까 줄을 $\alpha$ mm 잡아당기면 원래 상태와의 차이는 $\alpha \eta (x)$가 된다고 했다. 따라서 다음과 같이 쓸 수 있다.

즉, 그래프 $y$는 이제 $\alpha$에 따라 변하는 함수가 된 것이다. 예를 들어, 줄을 튕겨서 진동시키는 것은 $\alpha$를 진동시키는 것이라고 생각하면 된다. 그러면 당연히 줄의 길이 $L$도 $\alpha$에 대한 함수가 된다! 예를 들어, 원래 길이가 50cm였는데 줄을 잡아당기면 51cm가 될 수도 있는 것이다. 그러면 줄의 길이 $L$를 잡아당긴 거리 $\alpha$에 따라 그래프를 그릴 수 있다.
파일:오일러4.png

그런데 줄이 가장 짧을 때는 언제일까? 당연히 하나도 안 잡아당겼을 때, 즉 $\alpha=0$일 때이다. 그리고 미적분을 배우면 알겠지만 $\alpha = 0$에서 줄의 길이가 극소가 된다는 것은 미분계수가 0이라는 것을 의미한다.

결국 위 식을 풀면 최단거리는 직선일 때임을 증명할 수 있다. 이제 계산을 해 보자.
두 점 사이의 곡선의 길이 공식은 다음과 같다.

이때 $f = \sqrt{1+{y'}^2}$라고 하면 $L = \int_{x_1}^{x_2}{f dx}$라고 쓸 수 있다. 적분의 위끝 아래끝이 상수이므로 적분 기호 안에서 미분해도 된다. 이것을 $\alpha$로 미분하면

이 되는데, 그래프가 직선이라면 위 식은 0이 되어야 한다. 여기서 연쇄 법칙(합성함수의 미분법)을 쓰면, $\displaystyle \frac{ \partial f }{ \partial \alpha} = \frac{ \partial f }{ \partial y'} \frac{ \partial y' }{ \partial \alpha}$이다. 이를 계산하면

한편, 위에서 $y(\alpha ,x)=y(0,x) + \alpha \eta (x)$라는 관계식을 보자. 이를 $x$로 미분해서 도함수를 구하면 $y'(\alpha ,x) = y'(0,x) + \alpha \eta ' (x)$이다. 그런데 이것을 다시 $\alpha$로 편미분하면 $\displaystyle \frac{ \partial y' }{ \partial \alpha } = \eta ' (x)$이다. ($\alpha$를 제외하고는 다 상수로 보고 미분한다.) 이를 대입하면

그런데 이 적분은 부분적분이 되는 꼴이다. $\eta ' (x)$를 적분, $\frac{ y' }{ \sqrt {1+{y'}^2}}$를 미분할 함수로 두면 된다. 이를 계산하면 다음 식을 얻는다.

그런데 아까 줄의 끝이 고정되어 있다고 했다. 즉 $\eta (x_1) = \eta (x_2) = 0$이므로, 첫 항은 사라진다. 그러면 뒤에 있는 적분이 남는다.

여기서 잘 생각해 보자. $\eta (x)$는 잡아당긴 줄과 원래 줄의 차이었다. 그런데 줄을 한 손가락으로 당길 수도 있는 것이고, 두 손가락으로 당길 수도 있는 것이고, 활로 그을 수도 있고, 줄 맨 끝을 튕길 수도 있고, 정중앙에 손가락을 대고 튕겨서 하모닉스 소리를 낼 수도 있는 것이다. 이게 무슨 말이냐면, $\eta (x)$가 도대체 어떻게 생겼는지 알 수가 없다는 것이다. 즉 어떤 모양의 $\eta (x)$를 가져와도 무조건 저 식이 0이 되도록 해야 한다. 항등식의 성질을 생각해 보면, 그렇게 하려면 대괄호 안이 0이 되는 수밖에 없다는 것을 알아챌 수 있을 것이다.[1] 따라서

이어야 한다. 양변을 $x$로 적분하면

이고, $C$는 적분상수이다. 이를 $y'$에 대하여 정리하면

따라서 기울기는 $a$로 일정한 직선이다. 즉 $y = ax+b$를 얻는다!

여기까지가 오일러 방정식을 유도하는 과정을 예로 들어 본 것이다. 이제 일반적인 범함수에서 오일러 방정식을 유도해 보자.

한 지점 $(x_1,y_1)$에서 다른 지점 $(x_2,y_2)$까지 적분으로 정의된 범함수 $J = \int_{ x_1 }^{ x_2 }{ f \left\{ y(x), y'(x); x \right\} }dx$를 생각해 보자. 우리의 목표는 이러한 $J$가 극값(극대 또는 극소)가 되는 $y(x)$를 찾는 것이고, 이때의 $y(x)$를 $y(0,x)$라고 하자. 그러면 가능한 모든 $y(x)$를 아래 그림과 같이 다음과 같은 꼴로 쓸 수 있다.

파일:변분법.png

이때 $\eta (x)$는 미분가능하고 $\eta (x_1) = \eta (x_2) = 0$을 만족하는 임의의 함수이고, $\alpha$는 임의의 작은 실수이다. 위 식의 의미는 $y(x)$가 정답으로부터 $\alpha \eta (x)$만큼 살짝 벗어나 있다는 것이다. 이제 $J$는 다음과 같이 $\alpha$에 대한 함수가 되었다.

그런데 $\alpha = 0$를 대입하면 $y(\alpha ,x)$는 $y(0,x)$, 즉 극값이 된다. $\alpha = 0$에서 극값을 가진다는 것을 수학적으로 표현하면 다음과 같다.

(위 식은 간단하게 $\delta J = 0$로 쓰기도 한다. 변분 참고)

이제 편미분을 계산해 보자. $J$를 $\alpha$로 편미분하면 다음과 같다.

그런데 적분 기호의 위끝과 아래끝은 상수이므로, 적분 기호 안에서 미분할 수 있다. 다변수 함수 $f$에 연쇄 법칙을 이용하면 위 식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

그런데 $y(\alpha ,x)=y(0,x)+\alpha \eta (x)$이고, 양변을 $x$로 미분하면 $y' (\alpha ,x)=y'(0,x) + \alpha \eta ' (x)$가 된다. 그리고 당연히 $\frac{\partial}{\partial \alpha} x = 0$이다. $\alpha$로 편미분하는 것은 $x$를 상수 취급 하기 때문이다. 하지만 $y$ 및 $y'$는 $\alpha$에 대한 함수라는 것에 주목하자.[2] 따라서 각 변수를 $\alpha$로 편미분하면, 다음을 얻는다.

이를 위 식에 대입하면,

여기서 두 번째 항에 $\eta ' (x)$를 적분, $\frac{ \partial f }{ \partial y' }$를 미분할 함수로 두고 부분적분법을 적용하면 다음과 같다.

위에서$\eta \left( x \right)$를 정의할 때 $\eta (x_1) = \eta (x_2) = 0$였으므로 가운데 항은 날아간다. 이제 $\eta (x)$로 묶어서 정리하면

이 되고, 이것이 0이 되어야 한다. 그런데 이 식은 임의의 $\eta (x)$에 대하여 항상 0이 되어야 하므로, 결국 대괄호 안 전체가 0이 되는 방법밖에 없다. (사실 엄밀하게 이것은 변분법의 기본정리에 의한 것으로, 자세한 증명은 항목에 있다.) 따라서 다음의 오일러 방정식을 얻는다.

위에서 했던 평면에서 두 점 $(x_1,y_1)$과 $(x_2,y_2)$ 사이의 최단경로는 직선임을 증명해 보자.
두 점 사이를 잇는 곡선의 길이 공식은 다음과 같다.

이때 $f = \sqrt{1+{y'}^2}$이고, 목표는 $L$를 최소화시키는 것이다.

오일러 방정식 $\frac{ \partial f }{ \partial y } - \frac{ d }{ dx }\left( \frac{ \partial f }{ \partial y' } \right) = 0$에 $f = \sqrt{1+{y'}^2}$를 대입하면 바로 풀린다. 여기서 $f$는 $y'$만의 함수이므로 당연히 $\frac{ \partial f }{ \partial y } = 0$이고, 오른쪽 항만 계산하면

이다. 여기서부터는 위랑 똑같이 하면 된다. 미분 안은 상수이고, 따라서 $y'$는 상수이다. 기울기가 상수인 함수는 직선이다.

오일러 방정식을 풀 때, 위의 예제처럼 $f$가 $y', x$만의 함수이고, $y$와는 독립일 경우 첫째 항 $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}$가 사라지기 때문에 풀기 쉽다. 한편, $f$가 $y, y'$만의 함수이고 $x$는 들어가지 않을 때, 즉 $f(y,y')$일 때도 쉽게 변형해서 푸는 방법이 있는데, 이를 벨트라미 항등식(Beltrami identity)라고 한다. $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = 0$일 때, 오일러 방정식은 다음 방정식과 동치이다.

참고로, 좌변은 $f$를 $y'$에 대해 르장드르 변환한 것이다.

[ 증명 보기 · 숨기기 ]

$f$는 $y,y'$의 함수이다. 따라서 연쇄 법칙에 의해

$\displaystyle \frac{df}{dx} = \frac{\partial f}{\partial y} \frac{dy}{dx} + \frac{\partial f}{\partial y'} \frac{dy'}{dx} = y' \frac{\partial f}{\partial y} + y'' \frac{\partial f}{\partial y'}$

한편, $\displaystyle y' \frac{\partial f}{\partial y'}$를 $x$로 미분하면 곱의 미분법에 의해

$\displaystyle \frac{d}{dx} \left( y' \frac{\partial f}{\partial y'} \right) = y'' \frac{\partial f}{\partial y'} + y' \frac{d}{dx} \frac{\partial f}{\partial y'}$

위 두 식에서 $y'' \frac{\partial f}{\partial y'}$를 소거하면

$\displaystyle \frac{d}{dx} \left( y' \frac{\partial f}{\partial y'} \right) = \frac{df}{dx} - y' \frac{\partial f}{\partial y} + y' \frac{d}{dx} \frac{\partial f}{\partial y'}$

여기서 마지막 두 항은 $y'$으로 묶을 수 있다. 정리하면

$\displaystyle \frac{d}{dx} \left( f - y' \frac{\partial f}{\partial y'} \right) - y' \left( \frac{\partial f}{\partial y} - \frac{d}{dx} \frac{\partial f}{\partial y'} \right) = 0$

그런데 마지막 괄호 안에 있는 식은 오일러 방정식이랑 똑같은 모양이다! 따라서 괄호 안은 0이 되어서 사라진다. 남은 항을 $x$로 적분하면 증명이 끝난다.

$\displaystyle f - y' \frac{\partial f}{\partial y' } = \mathsf{constant}$

참고로 이 식의 $f$에다가 라그랑지언 $\mathscr L$을 대입하면 이는 해밀토니언 $\mathcal H$의 정의가 된다! 따라서 이는 해밀토니언이 보존된다는 결과를 의미한다.

$(x_1,y_1)$과 $(x_2,y_2)$를 이은 곡선을 $x$축을 중심으로 회전한 회전체의 겉넓이가 최소가 되는 경로를 찾아보자. 회전체의 겉넓이 $S = \int_{x_1}^{x_2}{2 \pi y \sqrt{1 + {y'}^2} dx}$이다. 그런데 적분변수를 $dy$로 치환하면

이다. 따라서 오일러 방정식에 대입하면

이다. 양변을 $y$로 적분하면

이고, $a$는 적분상수이다. 이를 $x'$에 대해서 풀면

이다. 양변을 $y$로 적분하면($y = a \sinh \theta$로 치환해 보자)

이고, $b$는 적분상수이다. 따라서 곡선의 모양은

꼴이다. (이것은 현수선의 방정식이다. 현수선 문서와 비교해 보자)

물리적으로는 라그랑주 역학의 핵심인 최소작용의 원리를 수학적으로 표현한 것이다. 대표적으로 $x$가 시간, $y$가 거리, $f$가 라그랑지언이라고 하면 라그랑지안 역학의 기본꼴이 되며, 에너지의 표현식을 알면 힘의 작용점 분석 없이도 운동방정식을 얻을 수 있다.

유체역학에서 비점성 유체, 즉 전단응력(shearing stress)이 0인 유체의 운동량의 변화를 묘사하는 미분 방정식이다.

밀도가 $\displaystyle \rho$인 유체가 중력장 $\displaystyle \mathbf{g}$ 내에서 유체 사이의 압력이 $\displaystyle P$로 주어진 상황을 생각해보자. 어떤 폐곡면 $\mathbf{S}$로 둘러싸인 영역 $\mathbf{V}$ 내에 있는 유체가 갖는 운동량의 변화는

와 같은 방정식으로 표현된다.

여기서 좌변은 영역 $\mathbf{V}$ 내에 있는 유체의 단위 시간당 운동량의 변화량을 뜻하고 우변의 첫째항, 둘째항, 셋째항은 각각 단위 시간당 경계면 $\mathbf{S}$를 통해 유입되는 유체가 갖는 운동량, 압력에 의해 영역 $\mathbf{V}$ 내의 유체가 받는 힘, 영역 $\mathbf{V}$ 내에 있는 유체가 받는 중력을 의미한다.

위 방정식에 발산 정리를 적용하면

와 같이 정리된다.

이 방정식의 우변의 첫째항을 이항하여 정리하면 다음과 같이 오일러 방정식(Euler equation)이 유도된다. (참고: 질량에 대한 연속 방정식)

여기서 $\displaystyle\frac{D}{Dt} \equiv \frac{\partial}{\partial t}+(\mathbf{u}\cdot \nabla)=\frac{\partial}{\partial t}+u_{i} \frac{\partial}{\partial x_{i}}$는 물질 도함수(material derivative)라 불린다.

homentropic process(단위 질량당 엔트로피가 공간에 걸쳐 균일)을 가정하면 $w$를 단위 질량당 엔탈피(enthalpy)라 할 때 열역학에 따르면 $\displaystyle \frac{dP}{\rho} = dw$라 표현할 수 있는 것이 알려져 있다. 정리하면 다음과 같은 결과를 얻는다.

한편, 이 식이 다루는 대상이 '비점성'이라고 했는데, 이제 여기 좌변에다가 점성항 $- \nu \nabla^2 \mathbf{u}$를 얹어주면 바로 나비에-스톡스 방정식이 된다.

파일:오일러_방정식_유도_미소_부피.png

길이, 너비, 높이가 각각 $\text{d}x,\text{d}y,\text{d}z$인 유체의 미소부피를 고려해보자. 점성과 외력이 없다면 이 미소부피가 가속하는 이유는 각 면들에 가해지는 압력들의 차이 때문이다. 예를들어, $x$방향으로 작용하는 압력 차이는 $\displaystyle \frac{\partial P}{\partial x} \text{d}x$이다.

힘 = 압력 x 면적이므로 이 압력 차이 때문에 나타나는 힘은 $\displaystyle \frac{\partial P}{\partial x} \text{d}x\text{d}y\text{d}z=\frac{\partial P}{\partial x} \text{d}V$이다.

이게 양수라면 이 미소부피는 음의 $x$방향으로 가속하므로 $\displaystyle \text{d}F_x = -\frac{\partial P}{\partial x} \text{d}V$가 성립한다.

이제 뉴턴의 제 2법칙을 적용하자. $\displaystyle \textbf{F} =m \textbf{a} \Rightarrow -\nabla P \, \text{d}V=\text{d}m \, \textbf{a}=\rho \, \text{d}V \textbf{a} \Rightarrow -\nabla P=\rho \, \textbf{a}\Rightarrow -\nabla P=\rho \, \frac{\text{D} \textbf{u}}{\text{D}t}$.

여기서 $\displaystyle \frac{\text{D} \textbf{u}}{\text{D}t}$는 "material derivative" 또는 "total derivative"라고 하는 항이다 ($\displaystyle \textbf{u}$는 유체의 속도를 나타내는, $\displaystyle x,y,z,t$의 벡터함수다.).

$\displaystyle \frac{\text{D} \textbf{u}}{\text{D}t}=\frac{\partial \textbf{u}}{\partial t}+\frac{\partial \textbf{u}}{\partial x} \, \frac{\text{d}x}{\text{d}t}+\frac{\partial \textbf{u}}{\partial y} \, \frac{\text{d}y}{\text{d}t}+\frac{\partial \textbf{u}}{\partial z} \, \frac{\text{d}z}{\text{d}t}=\frac{\partial \textbf{u}}{\partial t}+(\frac{\partial}{\partial x} \, u_x+\frac{\partial}{\partial y} \, u_y+\frac{\partial}{\partial z} \, u_z)\textbf{u}=\frac{\partial \textbf{u}}{\partial t}+(\textbf{u}\cdot \nabla)\textbf{u}$

이제 양쪽을 $\displaystyle \rho$로 나누고 중력 같은 외력에 의한 가속도 $\displaystyle \textbf{g}$를 더해주면 된다. $\displaystyle \frac{\nabla P}{\rho}=\nabla w$를 사용하면 익숙한 오일러 방정식 완성.

보너스로, 점성을 고려하고 싶다면 우항에 $\nu \nabla^2 \textbf{u}$를 더해줘야 한다. $\nabla^2$은 라플라시안 연산자며, $\nu$는 뉴턴의 점성법칙에 나오는 점성상수[4].

점성으로 인한 가속도가 왜 $\nu \nabla^2 \textbf{u}$일까? 라플라시안 항목에서도 서술되어 있듯이, 여기서 $\nabla^2 \textbf{u}$의 물리적 의미는 어떤 미소부피의 속도와 이 미소부피 근방의 평균적인 유체 속도의 차이다. 이 속도 차이가 클수록 이 미소부피는 점성에 의해 받는 힘이 늘어나며, 이 미소부피의 속도가 주위 유체들로 (또는 주위 유체의 속도가 미소부피로) '전달'된다[5].

이렇게 $\nu \nabla^2 \textbf{u}$를 우변에 더해주고 좌변으로 옮기면 나오는게 그 유명한 (비압축성) 나비에-스토크스 방정식. 더 자세한 정보는 나비에-스토크스 방정식 문서에.

뉴턴법칙 중 제2법칙을 유체의 운동에 적용한 것에 지나지 않는다.

이 방정식은 (위치에 따른) 압력의 차이와 유체에 가해지는 중력이 유체의 운동량의 (시간에 따른) 변화를 유도함을 표현한다.

오일러 방정식을 텐서를 이용하여 정리한 방정식이다. 여기서 $\displaystyle \mathbf{\Pi}$는 운동량 선속 텐서(momentum flux tensor)라 불리는 2차 텐서이다.

오일러 방정식에서

$\displaystyle \rho \left [ \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + \left ( \mathbf{u} \cdot \nabla \right ) \mathbf{u} \right ] = \frac{\partial}{\partial t} \left ( \rho \mathbf{u} \right ) - \mathbf{u} \frac{\partial \rho}{\partial t} + \left ( \rho \mathbf{u} \cdot \nabla \right ) \mathbf{u} = \frac{\partial}{\partial t} \left ( \rho \mathbf{u} \right ) + \mathbf{u} \left [ \nabla \cdot \left ( \rho \mathbf{u} \right ) \right ] + \left ( \rho \mathbf{u} \cdot \nabla \right ) \mathbf{u} = \frac{\partial}{\partial t} \left ( \rho \mathbf{u} \right ) + \mathbf{e}_{i} \nabla \cdot \left ( \rho u_{i} \mathbf{u} \right )$

$\displaystyle \nabla P = \mathbf{e}_{i} \frac{\partial P}{\partial x_{i}} = \mathbf{e}_{i} \frac{\partial}{\partial x_{j}}(P \delta_{ij}) = \mathbf{e}_{i} \nabla \cdot\left [ \mathbf{e}_{j}(P \delta_{ij}) \right ]$

라 할 수 있으므로 이를 대입하여 정리하면 다음과 같이 정리된다. (참고: 질량에 대한 연속 방정식)

$\displaystyle \Pi_{ij} \equiv P \delta_{ij} + \rho u_{i} u_{j}$라 정의하면

과 같이 운동량에 대한 연속 방정식을 얻는다.