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1. 개요
[math(e^{pi i}+1=0 \ e^{pi i} = {rm cis}(pi) =-1 \ e^{tau i} = {rm cis}(tau) =1)] [1], 곱셈의 항등원 [math(1)]이 등장하는 첫 번째 식이 더 많이 쓰인다. [math({rm cis}(x))]는 [math(cos x + i sin x)]의 축약 표현이다.][2]가 전류를 의미하기 때문에 허수단위로서 [math(i)] 대신 [math(j)]를 쓴다.]
오일러의 저서 《무한에 대한 연구 개론》(Introductio in analysin infinitorum, 1748)에 수록된 등식 중 하나다.
수학계에서 '이 세상의 어떤 다이아몬드보다 멋지고, 어떤 보물보다 진귀한 등식'이라는 평가를 받는 등식이다. 상식적으로 별 상관이 없어 보이는 원주율과 허수 단위와 자연로그의 밑 [math(e)]가 더하기,곱하기,거듭제곱으로 만나 딱 떨어지는 정수를 만들어낸다는 것이 많은 사람들의 경외감을 불러일으킨다.
오일러의 저서 《무한에 대한 연구 개론》(Introductio in analysin infinitorum, 1748)에 수록된 등식 중 하나다.
수학계에서 '이 세상의 어떤 다이아몬드보다 멋지고, 어떤 보물보다 진귀한 등식'이라는 평가를 받는 등식이다. 상식적으로 별 상관이 없어 보이는 원주율과 허수 단위와 자연로그의 밑 [math(e)]가 더하기,곱하기,거듭제곱으로 만나 딱 떨어지는 정수를 만들어낸다는 것이 많은 사람들의 경외감을 불러일으킨다.
2. 유도법
오일러의 공식인 [math(e^{ix} = cos x + i sin x)]에 [math(x=pi)] 또는 [math(x=tau)][3]] 를 대입하면 유도 끝.
[math(pi)] 이용: [math(cospi=-1)], [math(sinpi=0)]이므로[A]의 단위는 라디안.] [math(e^{pi i}=-1)]. 우변의 [math(-1)]을 이항하면 [math(e^{pi i}+1 = 0)].
[math(tau)] 이용: [math(costau=1)], [math(sintau=0)]이므로[A] [math(e^{tau i}=1)].
[math(2pi)]마다 값이 반복되는 각도의 특성상 [math(e^{pi i} = -1)]은 사실 특수해에 불과하고 본래는 [math(e^{left(pi+2npiright)i} = -1)]이다. 그래서 복소로그함수를 이용하여 복소수 범위의 로그값을 구할 때 함부로 이 등식을 써서는 안 되며, 적어도 각의 범위를 명시해주어야 한다. 이를 테면 [math(lnleft(-1right) = left(2n+1right)pi i)]로 [math(pi i)]뿐만 아니라 [math(3pi i)], [math(-pi i)] 등 값이 여러 개가 되기 때문에 함수가 되지 않는다.
[math(pi)] 이용: [math(cospi=-1)], [math(sinpi=0)]이므로[A]의 단위는 라디안.] [math(e^{pi i}=-1)]. 우변의 [math(-1)]을 이항하면 [math(e^{pi i}+1 = 0)].
[math(tau)] 이용: [math(costau=1)], [math(sintau=0)]이므로[A] [math(e^{tau i}=1)].
[math(2pi)]마다 값이 반복되는 각도의 특성상 [math(e^{pi i} = -1)]은 사실 특수해에 불과하고 본래는 [math(e^{left(pi+2npiright)i} = -1)]이다. 그래서 복소로그함수를 이용하여 복소수 범위의 로그값을 구할 때 함부로 이 등식을 써서는 안 되며, 적어도 각의 범위를 명시해주어야 한다. 이를 테면 [math(lnleft(-1right) = left(2n+1right)pi i)]로 [math(pi i)]뿐만 아니라 [math(3pi i)], [math(-pi i)] 등 값이 여러 개가 되기 때문에 함수가 되지 않는다.
3Blue1Brown의 영상.
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물리학에 익숙한 위키러라면 직관적으로 이해할 수 있는 좋은 방법이 있는데, [math(e^{ix})]를 변위로 놓고 미분하여 속도와 변위의 관계를 분석하는 방법이다. [math(dfrac d{dx}e^{ix} = ie^{ix})]가 되는데, 복소 평면에서 [math(i)]를 곱한다는 건 복소 벡터를 [math(90^circ)] 반시계 방향으로 회전하는 것과 같다. 변위 벡터와 속도 벡터가 직각을 이루면 원운동을 하는 것이므로 [math(e^{ix})]의 자취는 원을 그리게 되는데, [math(x)]란 복소 평면에서 양의 실수축을 기준으로 반시계방향으로 얼마나 많은 각도(라디안)로 회전했는가를 나타낸다. 따라서 [math(x=pi)]면 [math(180^circ)] 돈 셈이며, 여기에 있는 건 다름 아닌 [math(-1)]이다.
3. 응용
아래에 있는 식 중 [math(mathrm{Log},z)]는 밑이 [math(e)]이면서 복소수 [math(z)]의 편각 [math(arg z)]의 범위가 [math(left(-pi,~piright])]인 복소로그함수이다.[6]를 [math(z = re^{itheta})]로 나타낼 수 있다는 특징으로부터 밑이 [math(e)]인 자연로그만을 취급하기 때문에 상용로그를 볼 일이 정말 없다. 그래서 관례적으로 밑이 [math(e)]여도 [math(ln)]을 쓰지 않고 [math(log)]를 쓴다.] 이에 관한 내용은 해당 문서 참조.
[math(tau = 2pi)]이므로 아래에는 [math(pi)]를 사용한 식만 썼다.
[math(tau = 2pi)]이므로 아래에는 [math(pi)]를 사용한 식만 썼다.
- [math(mathrm{Log}left(-zright) = mathrm{Log},z + mathrm{Log}left(-1right) = mathrm{Log},z + pi i)]
- [math(pi = -i mathrm{Log}left(-1right))]
- [math(i^n = cosdfrac{npi}2 + isindfrac{npi}2)]
- [math(i^i = left( e^{ln i} right)^i = left{ e^{i left( frac{pi}2 + 2kpi right)} right}^i = e^{i^2 left( frac{pi}2 + 2kpi right)} = e^{-left( frac{pi}2 + 2kpi right)})][8]인 경우 [math(e^{-frac{pi}2} = 0.207879576cdotscdots)]라는 근삿값이 나온다. 여기서 [math(k)]는 정수이다.]
- [math(i! = Gamma left( 1+i right) approx 0.4980 - 0.1549i)]
- [math(|i!| = sqrt{dfrac{pi}{sinhpi}} = 0.521564cdotscdots)]
- [math(log_iz = dfrac{mathrm{Log},z}{mathrm{Log},i} = dfrac{2mathrm{Log},z}{pi i})]
- [math(cos i = coshleft(-1right) = cosh,1 = dfrac{e + e^{-1}}2 = dfrac{e^2 + 1}{2e} = 1.54308063cdotscdots)]
- [math(sin i = -isinhleft(-1right) = isinh,1 = idfrac{e - e^{-1}}2 = idfrac{e^2 - 1}{2e} = i1.17520119cdotscdots)]
4. 평가
수학의 아름다움을 극명하게 나타내 주는 식으로 유명하다. 수학사상 가장 유명한 동시에 영역이 달랐던 다섯 가지 수인 [math(0)], [math(1)](산술), 자연로그의 밑 [math(e)](해석학), 원주율(기하학), 그리고 허수 단위 [math(i)](대수학)가 모두 들어가 있으며, 수학에서 가장 기초가 되는 사칙연산, 지수 연산 그리고 등호가 모두 쓰인다.
리처드 파인만은 이 식을 "수학에서 가장 비범한 식"이라고 불렀다.[9]
카를 프리드리히 가우스는 "이 식이 곧바로 이해되지 않는 학생이라면, 1급 수학자가 되긴 틀린 것"이라고 했다.
SF 소설가 테드 창은 이 식을 보며 "마치 절대적인 진리의 편린을 목격한 듯한 외경심을 느낀다"고 했다.
리처드 파인만은 이 식을 "수학에서 가장 비범한 식"이라고 불렀다.[9]
카를 프리드리히 가우스는 "이 식이 곧바로 이해되지 않는 학생이라면, 1급 수학자가 되긴 틀린 것"이라고 했다.
SF 소설가 테드 창은 이 식을 보며 "마치 절대적인 진리의 편린을 목격한 듯한 외경심을 느낀다"고 했다.
5. 기타
아름다움은 주관적인 개념이므로 얼마든지 다른 수식이 더 아름답다고 생각할 수도 있다. 일단 오일러의 공식 자체부터 지수와 삼각함수를 연결한다는 점에서 더 아름답다는 의견이 있으며, 모든 대수의 기본이 된다는 점에서 [math(1+1=2)]가 가장 아름답다는 의견도 많다.
[math(pi)]보다 [math(tau=2pi)]가 수학적으로 간명하며 보다 근원에 가까운 상수라고 주장하는 새원주율 지지자들은 식 [math(e^{tau i}=1)] 쪽을 선호한다. '단위원 반 바퀴'를 의미하는 [math(e^{pi i}=-1)]보다 '단위원 한 바퀴'를 나타내는 [math(e^{tau i}=1)] 쪽이 더 두 상수의 원래 관계에 가깝다는 것. 또한 [math(e^{pi i}=-1)]에서 억지로 [math(-1)]을 이항하여 [math(0)]과 [math(1)]을 식에 포함시키고 '세 가지 연산, 가장 중요한 다섯 상수가 들어갔으니 아름답다'고 주장하는 데도 거부감을 드러내며, 정 그렇게 [math(0)]과 덧셈까지 식에 포함하고 싶다면 [math(e^{tau i}=1+0)]을 쓰면 된다며 까칠하게 반응하기도 한다. 2.3 Euler's identity
Q.E.D. 증명종료에도 이 등식과 관련한 사건이 나오며, "인류의 수학사상 가장 아름다운 공식"이라 칭한다.
영화 박사가 사랑한 수식의 제목 역시 이 등식을 가리킨다.
니시오 이신도 모노가타리 시리즈에서 가장 아름다운 수식이라고 언급한 적이 있지만, 니시오 이신이 수학에 일가견이 있어서 그렇게 느끼는 건 절대 아니고, 그냥 남이 하는 얘기를 따라한 수준의 언급이다. 오와리모노가타리에서 등장하는데, 아라라기 코요미와 오이쿠라 소다치 사이의 뒤틀린 관계에 수학 및 수학 시험 성적이 주된 소재로 사용되기는 한다. 오이쿠라의 경우 아예 자칭 별명이 오일러.
[math(pi)]보다 [math(tau=2pi)]가 수학적으로 간명하며 보다 근원에 가까운 상수라고 주장하는 새원주율 지지자들은 식 [math(e^{tau i}=1)] 쪽을 선호한다. '단위원 반 바퀴'를 의미하는 [math(e^{pi i}=-1)]보다 '단위원 한 바퀴'를 나타내는 [math(e^{tau i}=1)] 쪽이 더 두 상수의 원래 관계에 가깝다는 것. 또한 [math(e^{pi i}=-1)]에서 억지로 [math(-1)]을 이항하여 [math(0)]과 [math(1)]을 식에 포함시키고 '세 가지 연산, 가장 중요한 다섯 상수가 들어갔으니 아름답다'고 주장하는 데도 거부감을 드러내며, 정 그렇게 [math(0)]과 덧셈까지 식에 포함하고 싶다면 [math(e^{tau i}=1+0)]을 쓰면 된다며 까칠하게 반응하기도 한다. 2.3 Euler's identity
Q.E.D. 증명종료에도 이 등식과 관련한 사건이 나오며, "인류의 수학사상 가장 아름다운 공식"이라 칭한다.
영화 박사가 사랑한 수식의 제목 역시 이 등식을 가리킨다.
니시오 이신도 모노가타리 시리즈에서 가장 아름다운 수식이라고 언급한 적이 있지만, 니시오 이신이 수학에 일가견이 있어서 그렇게 느끼는 건 절대 아니고, 그냥 남이 하는 얘기를 따라한 수준의 언급이다. 오와리모노가타리에서 등장하는데, 아라라기 코요미와 오이쿠라 소다치 사이의 뒤틀린 관계에 수학 및 수학 시험 성적이 주된 소재로 사용되기는 한다. 오이쿠라의 경우 아예 자칭 별명이 오일러.