[목차] {{{+2 Euler's identity / Euler's equation}}} == 개요 == {{{+1 [math(e^{\pi i}+1=0 \\ e^{\pi i} = {\rm cis}(\pi) =-1 \\ e^{\tau i} = {\rm cis}(\tau) =1)] }}}[* 후자 2개보다는 덧셈의 항등원 [math(0)], 곱셈의 항등원 [math(1)]이 등장하는 첫 번째 식이 더 많이 쓰인다. [math({\rm cis}(x))]는 [math(\cos x + i \sin x)]의 축약 표현이다.][* 전자공학 부문에서는 [math(i)]가 [[전류]]를 의미하기 때문에 [[허수|허수단위]]로서 [math(i)] 대신 [math(j)]를 쓴다.] [[레온하르트 오일러|오일러]]의 저서 《무한에 대한 연구 개론》(''Introductio in analysin infinitorum'', 1748)에 수록된 등식 중 하나다. 수학계에서 '​'''이 세상의 어떤 다이아몬드보다 멋지고, 어떤 보물보다 진귀한 등식''''이라는 평가를 받는 등식이다. 상식적으로 별 상관이 없어 보이는 [[원주율]]과 [[허수|허수 단위]]와 [[자연로그의 밑|자연로그의 밑 [math(e)]]]가 [[더하기]],[[곱하기]],[[거듭제곱]]으로 만나 딱 떨어지는 [[정수]]를 만들어낸다는 것이 많은 사람들의 경외감을 불러일으킨다. == 유도법 == [[오일러의 공식]]인 [math(e^{ix} = \cos x + i \sin x)]에 [math(x=\pi)] 또는 [math(x=\tau)][* [math(\tau=2\pi)]] 를 대입하면 유도 끝. [math(\pi)] 이용: [math(\cos\pi=-1)], [math(\sin\pi=0)]이므로[*A 여기서 각 [math(x)]의 단위는 [[라디안]].] [math(e^{\pi i}=-1)]. 우변의 [math(-1)]을 이항하면 [math(e^{\pi i}+1 = 0)]. [math(\tau)] 이용: [math(\cos\tau=1)], [math(\sin\tau=0)]이므로[*A] [math(e^{\tau i}=1)]. [math(2\pi)]마다 값이 반복되는 각도의 특성상 [math(e^{\pi i} = -1)]은 사실 특수해에 불과하고 본래는 [math(e^{\left(\pi+2n\pi\right)i} = -1)]이다. 그래서 복소로그함수를 이용하여 복소수 범위의 로그값을 구할 때 함부로 이 등식을 써서는 안 되며, 적어도 각의 범위를 명시해주어야 한다. 이를 테면 [math(\ln\left(-1\right) = \left(2n+1\right)\pi i)]로 [math(\pi i)]뿐만 아니라 [math(3\pi i)], [math(-\pi i)] 등 값이 여러 개가 되기 때문에 함수가 되지 않는다. || [youtube(ujHat6veADE)] || || [[3Blue1Brown]]의 영상. || 물리학에 익숙한 위키러라면 직관적으로 이해할 수 있는 좋은 방법이 있는데, [math(e^{ix})]를 변위로 놓고 미분하여 속도와 변위의 관계를 분석하는 방법이다. [math(\dfrac d{dx}e^{ix} = ie^{ix})]가 되는데, 복소 평면에서 [math(i)]를 곱한다는 건 복소 벡터를 [math(90^\circ)] 반시계 방향으로 회전하는 것과 같다. 변위 벡터와 속도 벡터가 직각을 이루면 원운동을 하는 것이므로 [math(e^{ix})]의 자취는 원을 그리게 되는데, [math(x)]란 복소 평면에서 양의 실수축을 기준으로 반시계방향으로 얼마나 많은 각도([[라디안]])로 회전했는가를 나타낸다. 따라서 [math(x=\pi)]면 [math(180^\circ)] 돈 셈이며, 여기에 있는 건 다름 아닌 [math(-1)]이다. == 응용 == 아래에 있는 식 중 [math(\mathrm{Log}\,z)]는 밑이 [math(e)]이면서 복소수 [math(z)]의 편각 [math(\arg z)]의 범위가 [math(\left(-\pi,~\pi\right])]인 [[복소로그함수]]이다.[* 복소함수론에서는 복소수 [math(z)]를 [math(z = re^{i\theta})]로 나타낼 수 있다는 특징으로부터 밑이 [math(e)]인 자연로그만을 취급하기 때문에 상용로그를 볼 일이 '''정말 없다'''. 그래서 관례적으로 밑이 [math(e)]여도 [math(\ln)]을 쓰지 않고 [math(\log)]를 쓴다.] 이에 관한 내용은 [[자연로그#복소로그함수|해당 문서]] 참조. [math(\tau = 2\pi)]이므로 아래에는 [math(\pi)]를 사용한 식만 썼다. * {{{+1 [math(\mathrm{Log}\left(-z\right) = \mathrm{Log}\,z + \mathrm{Log}\left(-1\right) = \mathrm{Log}\,z + \pi i)]}}} * {{{+1 [math(\pi = -i \mathrm{Log}\left(-1\right))]}}} * {{{+1 [math(i^n = \cos\dfrac{n\pi}2 + i\sin\dfrac{n\pi}2)]}}} * {{{+1 [math(i^i = \left( e^{\ln i} \right)^i = \left\{ e^{i \left( \frac{\pi}2 + 2k\pi \right)} \right\}^i = e^{i^2 \left( \frac{\pi}2 + 2k\pi \right)} = e^{-\left( \frac{\pi}2 + 2k\pi \right)})]}}}[* [math(k=0)]인 경우 [math(e^{-\frac{\pi}2} = 0.207879576\cdots\cdots)]라는 근삿값이 나온다. 여기서 [math(k)]는 정수이다.] * {{{+1 [math(i! = \Gamma \left( 1+i \right) \approx 0.4980 - 0.1549i)]}}} * {{{+1 [math(|i!| = \sqrt{\dfrac{\pi}{\sinh\pi}} = 0.521564\cdots\cdots)]}}} * {{{+1 [math(\log_iz = \dfrac{\mathrm{Log}\,z}{\mathrm{Log}\,i} = \dfrac{2\mathrm{Log}\,z}{\pi i})]}}} * {{{+1 [math(\cos i = \cosh\left(-1\right) = \cosh\,1 = \dfrac{e + e^{-1}}2 = \dfrac{e^2 + 1}{2e} = 1.54308063\cdots\cdots)]}}} * {{{+1 [math(\sin i = -i\sinh\left(-1\right) = i\sinh\,1 = i\dfrac{e - e^{-1}}2 = i\dfrac{e^2 - 1}{2e} = i1.17520119\cdots\cdots)]}}} ~~[[이때는 대략 정신이 멍해진다]]~~ == 평가 == 수학의 아름다움을 극명하게 나타내 주는 식으로 유명하다. 수학사상 가장 유명한 동시에 영역이 달랐던 다섯 가지 수인 [[0|[math(0)]]], [[1|[math(1)]]]([[산술]]), [[자연로그의 밑|자연로그의 밑 [math(e)]]]([[해석학(수학)|해석학]]), [[원주율]]([[기하학]]), 그리고 [[허수]] 단위 [math(i)]([[대수학]])가 모두 들어가 있으며, 수학에서 가장 기초가 되는 [[사칙연산]], [[지수(수학)|지수]] 연산 그리고 [[등호]]가 모두 쓰인다. [[리처드 파인만]]은 이 식을 "수학에서 가장 비범한 식"이라고 불렀다.[* 오일러와 파인만 모두 직관적 사고력이 탁월하기로 유명한 학자들이다.] [[카를 프리드리히 가우스]]는 "이 식이 곧바로 이해되지 않는 학생이라면, 1급 수학자가 되긴 틀린 것"이라고 했다. [[SF]] 소설가 [[테드 창]]은 이 식을 보며 "마치 절대적인 진리의 편린을 목격한 듯한 외경심을 느낀다"고 했다. == 기타 == 아름다움은 주관적인 개념이므로 얼마든지 다른 수식이 더 아름답다고 생각할 수도 있다. 일단 [[오일러의 공식]] 자체부터 지수와 [[삼각함수]]를 연결한다는 점에서 더 아름답다는 의견이 있으며, 모든 대수의 기본이 된다는 점에서 [math(1+1=2)]가 가장 아름답다는 의견도 많다. [math(\pi)]보다 [math(\tau=2\pi)]가 수학적으로 간명하며 보다 근원에 가까운 상수라고 주장하는 [[타우#s-2|새원주율]] 지지자들은 식 [math(e^{\tau i}=1)] 쪽을 선호한다. '단위원 반 바퀴'를 의미하는 [math(e^{\pi i}=-1)]보다 '단위원 한 바퀴'를 나타내는 [math(e^{\tau i}=1)] 쪽이 더 두 상수의 원래 관계에 가깝다는 것. 또한 [math(e^{\pi i}=-1)]에서 억지로 [math(-1)]을 이항하여 [math(0)]과 [math(1)]을 식에 포함시키고 '세 가지 연산, 가장 중요한 다섯 상수가 들어갔으니 아름답다'고 주장하는 데도 거부감을 드러내며, 정 그렇게 [math(0)]과 덧셈까지 식에 포함하고 싶다면 [math(e^{\tau i}=1+0)]을 쓰면 된다며 까칠하게 반응하기도 한다. [[https://tauday.com/tau-manifesto|2.3 Euler's identity]] [[Q.E.D. 증명종료]]에도 이 등식과 관련한 사건이 나오며, "인류의 수학사상 가장 아름다운 공식"이라 칭한다. 영화 [[박사가 사랑한 수식]]의 제목 역시 이 등식을 가리킨다. 니시오 이신도 모노가타리 시리즈에서 가장 아름다운 수식이라고 언급한 적이 있지만, 니시오 이신이 수학에 일가견이 있어서 그렇게 느끼는 건 절대 아니고, 그냥 남이 하는 얘기를 따라한 수준의 언급이다. [[오와리모노가타리]]에서 등장하는데, [[아라라기 코요미]]와 [[오이쿠라 소다치]] 사이의 뒤틀린 관계에 수학 및 수학 시험 성적이 주된 소재로 사용되기는 한다. 오이쿠라의 경우 아예 자칭 별명이 오일러. == 관련 문서 == * [[수학 관련 정보]] [[분류:수학]]