1. 개요
2. 예시
다음 예를 통해 전자와 후자의 차이를 확인해보자.
문제: 어느 동물농장에 돼지와 닭이 있습니다. 동물들은 모두 20마리이며, 동물들의 다리는 모두 68개입니다. 돼지와 닭은 각각 몇 마리입니까?
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<중학교 이상의 수준>
돼지를 [math(x)]마리, 닭을 [math(y)]마리라고 한 뒤, 돼지는 다리가 4개이고 닭은 다리가 2개임에 착안하여 다음과 같은 연립일차방정식을 세울 수 있으며, [math(begin{cases}x+y=20\4x+2y=68end{cases})] 아래 과정을 통해 풀 수 있다. [풀이 보기(중학생 수준)]우선 1번 식에 2를 곱해서 2번 식에서 빼자. [math((4x+2y=68) - 2(x+y=20) Rightarrow (4x - 2x) + cancel{(2y - 2y)} = (68 -40) Rightarrow 2x = 28)] [math(therefore x = 14)] 그 다음, 1번 식에 [math(x := 14)]를 취하면 [math(14+y=20 Rightarrow y=6)] 따라서 해는 [math(x=14, y=6)]이다. [풀이 보기(선형대수학 수준)]우선 선형 변환을 하면 [math(displaystyle begin{bmatrix} 1 & 1 \ 4 & 2 end{bmatrix} begin{bmatrix} x \ y end{bmatrix} = begin{bmatrix} 20 \ 68 end{bmatrix})] 역행렬을 구하기 위해 우선 행렬식을 계산해보면 다음과 같으므로 역행렬이 존재한다. [math(displaystyle mathrm{det} begin{bmatrix} 1 & 1 \ 4 & 2 end{bmatrix} = 1 times 2 - 1 times 4 = -2)] 위 행렬의 고전적 수반 행렬을 구하면 다음과 같다.[2])]을 만들어 기본행연산을 통해 [math([I|A^{-1}])]로 만드는 방식을 많이 사용하며, 그나마도 차수가 높아지면 역행렬보다는 대각화, 삼각화 등을 사용한다.] [math(displaystyle mathrm{adj} begin{bmatrix} 1 & 1 \ 4 & 2 end{bmatrix} = begin{bmatrix} 2times(-1)^{1+1} & 4times(-1)^{1+2} \ 1times(-1)^{2+1} & 1times(-1)^{2+2} end{bmatrix}^T !! = begin{bmatrix} 2 & -4 \ -1 & 1 end{bmatrix}^T !! = begin{bmatrix} 2 & -1 \ -4 & 1 end{bmatrix})] 그러므로 역행렬은 다음과 같다. [math(displaystyle begin{bmatrix} 1 & 1 \ 4 & 2 end{bmatrix}^{-1} !!! = -frac{1}{2} begin{bmatrix} 2 & -1 \ -4 & 1 end{bmatrix} = begin{bmatrix} -1 & frac12 \ 2 & -frac12 end{bmatrix})] 역행렬이 맞는지 원래 행렬에 곱해 보자. 예상대로 단위행렬이 나온다. [math(displaystyle begin{bmatrix} -1 & frac12 \ 2 & -frac12 end{bmatrix} begin{bmatrix} 1 &1 \ 4 & 2 end{bmatrix} = begin{bmatrix} -1times 1 +frac12times4 & -1times1+frac12times2 \ 2times 1 -frac12times4 & 2times1-frac12times2 end{bmatrix}= begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 end{bmatrix})] 이 역행렬을 우변의 행렬에 곱하면 다음과 같다. [math(displaystyle begin{bmatrix} -1 & frac12 \ 2 & -frac12 end{bmatrix} begin{bmatrix} 20 \ 68 end{bmatrix} = begin{bmatrix} -1 times 20 + frac12 times 68 \ 2 times 20 - frac12 times 68 end{bmatrix} = begin{bmatrix} 14 \ 6 end{bmatrix})] 따라서 해는 [math(x=14, y=6)]이다. 따라서 돼지는 14마리, 닭은 6마리이다. |
<초등학교 수준>
우선, 돼지를 □마리, 닭을 △마리라고 하자. □+△=20이 되도록 아무 수나 넣어본다. 돼지는 다리가 4개이고 닭은 다리가 2개임에 착안하여 다음과 같이 예상과 확인을 실행한다. □=12, △=8로 하면(예상), 4×□+2×△=4×12+2×8=64가 되어 문제의 조건에 맞지 않는다(확인). □=13, △=7로 하면(예상), 4×□+2×△=4×13+2×7=66이 되어 문제의 조건에 맞지 않는다(확인). □=14, △=6으로 하면(예상), 4×□+2×△=4×14+2×6=68이 되어 문제의 조건에 맞는다(확인). 따라서 돼지는 14마리, 닭은 6마리이다. |
이미 미지수를 [math(x)]나 [math(y)] 따위로 표기함을 배운 중학교와 달리, 예상과 확인을 배울 때는 [math(x)]는커녕 '미지수'라는 용어도 쓰지 않고 '어떤 수' 또는 '알 수 없는 수'라는 말로 풀어 쓴다. 또한, [math(x)] 대신 □(네모)를 쓰며, □ 다음으로는 보통 △(세모)를 쓴다. 곱셈 기호(×) 역시 생략하지 않고 그대로 쓴다.
또한, 예상과 확인에서는 연립일차방정식의 해가 0 이상의 정수가 나오는 경우만을 다룬다. 음수, 무리수 등 배우지 않은 수학 개념들이 있을 뿐 아니라, 그렇게 하지 않고서는 생각해야 할 수의 개수가 무한대로 늘어나기 때문이다. 유리수로만 확장하더라도 0과 1 사이에 무수히 많은 유리수가 존재한다. 이 차이를 인지하지 못하는 사람이 하게 되는 행위가 일명 '노가다'이다.
이 '예상과 확인'에서는 동물들의 다리 세기가 거의 클리셰 수준이다. 이것만큼 연립일차방정식을 실생활과 찰떡같이 연결할 만한 소재가 없기 때문이다.