1. 설명
삼각 적분 함수(Trigonometric integrals)는 특수함수의 하나로, 각각 [math(mathrm{Si}(x))], [math(mathrm{Ci}(x))]로 표기하며, 정의는 다음과 같다.
[math(displaystyle begin{aligned} mathrm{Si}(x) &equiv int_{0}^{x}frac{sin{t}}{t},mathrm{d}t \ mathrm{Ci}(x) &equiv -int_{x}^{infty}frac{cos{t}}{t},mathrm{d}t end{aligned})][1]},mathrm{d}t)]로 입력할 수 있다. 요즘은 infty라 쓰면 [math(infty)]가 입력된다.]
이 함수에 대한 그래프는 아래와 같다.
파일:나무_삼각적분함수_그래프_NEW.png
위 그래프에서 보듯 [math(displaystyle lim_{x to infty} mathrm{Si}(x) = {pi}/{2} )], [math(displaystyle lim_{x to infty} mathrm{Ci}(x) = 0)]이다.
[math(displaystyle begin{aligned} mathrm{Si}(x) &equiv int_{0}^{x}frac{sin{t}}{t},mathrm{d}t \ mathrm{Ci}(x) &equiv -int_{x}^{infty}frac{cos{t}}{t},mathrm{d}t end{aligned})][1]},mathrm{d}t)]로 입력할 수 있다. 요즘은 infty라 쓰면 [math(infty)]가 입력된다.]
이 함수에 대한 그래프는 아래와 같다.
파일:나무_삼각적분함수_그래프_NEW.png
위 그래프에서 보듯 [math(displaystyle lim_{x to infty} mathrm{Si}(x) = {pi}/{2} )], [math(displaystyle lim_{x to infty} mathrm{Ci}(x) = 0)]이다.
2. 특징
특이하게도 sine, cosine만 적분이 정의되고 그 외의 삼각함수는 적분이 정의되지 않으며, 원본 함수와는 달리 [math({mathrm{Si}(x)}/{mathrm{Ci}(x)})]를 한다고 탄젠트 적분 함수를 만들 수 있는 것도 아니다.
사인곡선에서 유도되는 함수인 만큼 파동이나 전기적 신호를 다루는 학문에서 널리 쓰인다.
둘 다 대칭함수이다. [math(mathrm{Si}(x))]는 홀함수, 실수부를 취한 [math(Re(mathrm{Ci}(x)))]는 짝함수이다.[2] 범위에서 [math(mathrm{Ci}(x)=Re(mathrm{Ci}(x))+ipi)]이므로 짝함수가 아니다.]
양수 범위에서 [math({rm Si}(x))]는 [math(x=pi)]에서, [math({rm Ci}(x))]는 [math(displaystyle x=frac{pi}{2})]에서 최댓값을 갖는다.
사인곡선에서 유도되는 함수인 만큼 파동이나 전기적 신호를 다루는 학문에서 널리 쓰인다.
둘 다 대칭함수이다. [math(mathrm{Si}(x))]는 홀함수, 실수부를 취한 [math(Re(mathrm{Ci}(x)))]는 짝함수이다.[2] 범위에서 [math(mathrm{Ci}(x)=Re(mathrm{Ci}(x))+ipi)]이므로 짝함수가 아니다.]
양수 범위에서 [math({rm Si}(x))]는 [math(x=pi)]에서, [math({rm Ci}(x))]는 [math(displaystyle x=frac{pi}{2})]에서 최댓값을 갖는다.
2.1. 윌브레이엄-기브스 상수
Wilbraham-Gibbs Constant
위에서 언급한 [math({rm Si}(x))]의 최댓값인 [math({rm Si}(pi))]는 따로 윌브레이엄-기브스 상수라는 이름이 붙어 있다. 약 [math(1.851937)] 정도의 값으로, 푸리에 급수의 부산물 중 하나이다. 헨리 윌브레이엄과 조시아 윌러드 깁스가 발견했다.
저 윌브레이엄-기브스 상수에 [math(displaystyle frac{2}{pi})]를 곱하면 '기브스 상수'[3]]라는 또 다른 상수가 된다.